完全平方公式与平方差公式

《完全平方公式与平方差公式》教学设计

第1课时完全平方公式

一、情境导入 计算：

⑴(x + 1)2; (2)(x - 1)2

； (3)(a + b)2;

(4)(a -b)2

.

由上述计算，你发现了什么结论? 二、合作探究

探究点：完全平方公式

【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算

B 利用完全平方公式计算： (1) (5 - a)2

； (2) (-3m -4n)2; (3) ( -3a + b)2.

解析：直接运用完全平方公式进行计算即可.

1能根据多项式的乘法推导出完全平方公式; 2.理解并掌握完全平方公式，并能进行计算.

(重点) (重点、难点)

解：(1)(5-a)2= 25- 10a + a2;

(2)(—3m—4n)2= 9m2+ 24mn+ 16n2;

(3)(—3a + b)2= 9a2—6ab + b2.

方法总结：完全平方公式：(a±))2= a2±2ab + b2.可巧记为“首平方,

末平方，首末两倍中间放”.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题

B如果36x2+(m+ 1)xy + 25『是一个完全平方式，求m的值.

解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m 的值.

解：T 36x2+ (m+ 1)xy+ 25y2= (6x)2+ (m+ 1)xy+ (5y)2，二(m + 1)xy= 士2 • 6x • 5y,「. m+ 1 = ± 60,—m= 59 或一61.

方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型三】运用完全平方公式进行简便计算

(1)992；(2)1022.

解析：(1)把99写成(100—1)的形式，然后利用完全平方公式展开计

算.(2)可把102分成100+ 2,然后根据完全平方公式计算.

解：(1)992= (100—1)2= 1002—2X 100+ 12= 100 00- 200 + 1 = 9801;

(2)1022= (100 + 2)2= 1002+ 2X 100X 2+ 4= 10404.

方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成

整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 13题 【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值

1 1

(1) 求X 2+7的值；

X y (2) 求(x 2

+ 1)(/ + 1)的值.

解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代 入，即可求出答案.

解：(1) •/ (x +y)2

= 9, (x — y)2

= 1,二x 2

+2xy + y 2

= 9, x 2

— 2xy + y 2

=

1,

1 1 x 2

+ y 2

(x + y ) 2

— 2xy 9— 2X 2 5

4xy = 9—1 = 8,二xy = 2

,二护+ y ^= ~x^ = xT =

2

2

=

4；

(2) •/ (x + y)2

= 9, xy = 2,二(x 2

+ 1)(/ + 1) = x 2

y 2

+ y 2

+/+ 1 = x 2y 2

+ (x + y)2— 2xy + 1 = 22

+ 9—2X 2 + 1 = 10.

方法总结：所求的展开式中都含有xy 或x + y 时，我们可以把它们看 作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 9题

【类型五】完全平方公式的几何背景

图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释

(a + b)2

— (a —

b)2

=4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是 ( )

[W1 若(x + y)2= 9,且(x —y)2 = 1.

[1 15 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的

图甲

图乙

A. a 2— b 2

= (a + b)(a — b) B. (a — b)(a + 2b) = a 2

+ ab —2b 2

C. (a — b)2

= a 2

— 2ab + b 2 D. (a + b)2

= a 2

+ 2ab + b 2

解析：空白部分的面积为(a — b)2

，还可以表示为a 2

— 2ab + b 2

，所以, 此等式是(a —b)2

= a 2

— 2ab + b 2

.故选 C.

方法总结： 通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几 何解释.

变式训练： 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 7题 【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题

D 下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如

(a

+ b)n

(n 为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出 (a +

b)6

展开式中所缺的系数.

(a + b)1

= a + b ,

(a + b)2

= a 2

+ 2ab + b 2

,

33

2

2

3

(a + b)3

= a 3

+ 3a 2

b + 3ab 2

+ b 3

,

则(a + b)6

= a 6

+ 6a 5

b + 15a 4b 2

+ _________ ^3

b 3

+ 15a 2b 4

+ 6ab 5

+ b 6

. 解析：由(a + b)1

= a + b , (a + b)2

= a 2

+ 2ab + b 2

, (a + b)3

= a 3

+ 3a 2

b +

3ab 2 + b 3可得(a + b)n

的各项展开式的系数除首尾两项都是 1夕卜，其余各项 系数都

等于(a + b)n -1

的相邻两个系数的和，由此可得(a + b)4

的各项系数依 次为1、4、6、

4、1; (a + b)5的各项系数依次为1、5

、10、10、5、1;因 此(a + b)6

的系数分别为

1