置信度(置信区间计算方法)讲解

由，概率
i1
n
(Xi )2
P
2 1 2
(n)
i 1
2
2
2
(n)
1
得 2 的置信度为1置信区间为
n (Xi )2 n (Xi )2
i1
, i1
(3)
ch73
2
(n)
2
12
2
(n)
82
(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
选取
K
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
X 2,,
X n, )
X
~
N (0,1)
ch73
n
79
由
X
P
n
z
2
确定 z 2
解 X
z
2
n
得 的置信度为 1 的置信区间为
( X z 0 , X z 0 )
2n
2n
ch73
80
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
X t (n 1) S , X t (n 1) S (2)
得置信区间(T1, T2 )
引例中
(T1, T2 ) ( X 1.96
1 5
,
X 1.96
1 5
)
ch73
78
置信区间常用公式
(一) 一个正态总体 X ~N ( 2)的情形
(1) 方差 2已知, 的置信区间
( X z
, X z
)
(1)
2n
2n
推导
由
X
2 ~ N( , )
选取枢轴量
n
g(X1,
例如
X～N ( , 1/ 5)
取枢轴量
ch73
g(X1,
X 2 ,,
Xn,
)
X
1/5
~ N(0,1)
77
给定置信度 1 ,定出常数 a , b ,使得
P(a g(X1, X 2 , X n , ) b) 1 ( 引例中 a 1.96, b 1.96)
由 a g(X1, X 2, X n, ) b 解出 T1 , T2
查表 t0.025 (5) 2.5706
6
由给定数据算得 x 14.95
ch73
s2
1 5
(
6 i 1
xi2
6x2)
0.051 .
s 0.226 85
由公式 (2) 得 的置信区间为
(x
s 6 t0.025 (5),
x
s 6 t0.025 (5) )
(14.71, 15.187 )
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
再
求参数
保证 提高
置信区间 可靠性 精 度
ch73
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
g( X x , X 2 ,, X n , ) — 称为枢轴量
它含有待估参数, 不含其它未知参数,
它的分布已知, 且分布不依赖于待估参
数 (常由 的点估计出发考虑 ).
ch73
71
为何要取 z / 2 ?
当置信区间为( X z
2
1 5
,
X z
2
1 5
)
时
区间的长度为 2z
2
1 5
——
达到最短
ch73
72
0.4 0.3 0.2 0.1
z-2 1
2
-1
0.4
0.3
0.2
0.1
z-2 -1
ch73
1
3
z 1
2
2
z 1
2
2
3
取 = 0.05
z
2
z12
1.96 (1.96)
正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机
抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间
置信度
(3) 求方差 2的置信区间.
均为0.95
解 (1) X ~ N (, 0.06 / 6) 即N (,0.01)
区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1),
的无偏、有效点估计为 X
常数
随机变量
不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据
所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
ch73
68
如引例中，要找一个区间,使其包含 的
真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
则由
P(
2 12
(n 1)S 2
2
2
)
1
2
0.15 0.125
0.1
2
0.075
0.05
得 2 的置信区间为
0.025
ch73
(n 1)S 2 ,
2
(n
1)
2
(n 1)S 2
2 12
(n 1)
-2
2
•2 4
2
1
2
• 6
8 10
2
2
(4)
83
例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从
置信上限
74
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠.
越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73 常选最小的一个.
X ~ N , 1
5
X ~ N 0, 1
1 5
取 0.05
查表得 z /2 1.96
ch73
69
这说明
P
X
1.96 0.05
1 5
即
P X 1.96
1 5
X
1.96
1 5
0.95
称随机区间 X 1.96
1wk.baidu.com5
,
X 1.96
1 5
为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
X
~ N (0,1) 0.1 ch73
z z0.025 1.96 2
84
由给定数据算得
x
1 6
6 i 1
xi
14.95
由公式 (1) 得 的置信区间为
( 14.95 1.96 0.1, 14.95 1.96 0.1 )
( 14.75 , 15.15 )
(2)
取T
X
S
~ t(5)
2
n
2
n
推导 选取枢轴量 T X ~ T (n 1)
S
由
P
X
S n
n
t (n 1) 确定t (n 1)
2
2
故 的置信区间为 X t (n 1) S , X t (n 1) S
ch73
2
n
2
n
81
(3) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间
取枢轴量Q
n
Xi
2
~
2 (n)
3.92
z 2
3
z13
1.84 (2.13)
3.97
73
置信区间的定义
设 为待估参数, 是一给定的数,
( 0<<1). 若能找到统计量 T1, T2 , 使
P(T1 T2) 1
则称 [T1, T2 ]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计.
T1
置信下限
ch73
T2
ch73
70
置信区间的意义
反复抽取容量为5的样本,都可得 一个区间,此区间不一定包含未知参数
的真值, 而包含真值的区间占95%.
若测得 一组样本值, 算得 x 1.86 则得一区间(1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877)
它可能包含也可能不包含 的真值, 反复
抽样得到的区间中有95%包含 的真值.