海南华侨中学小课题

海南华侨中学小课题
题目“简单逻辑推理”教学三维研究（中期报告教学设计）
课题研究李红庆符清杰、苏松廉课题研究方向教学三维研究
海南华侨中学数学教研组
数学教研组 李红庆 符清杰
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
【知识与技能】
定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句．．
叫做命题（proposition ）．其中判断为真的语句叫做真命题（true proposition ），判断为假的语句叫做假命题（false proposition ）．
命题一般要具备两个条件：1）、一般它是陈述句，2）、能判断出真假．
命题由题设和结论组成，可写成“若p ，则q ”的形式．
确定一个命题的真假的一般方法是：当确定一个命题正确时，要用推理的方法进行证明；当确定一个命题不正确时，只要举出反例即可．
【过程与方法】
例1 下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）平行四边形的对角线互相平分吗？
（2）62<x ．
（3）二次函数的图像是一条抛物线．
（4）奇函数的图像关于原点成中心对称图形．
（5）求证：x ∈R ，方程012
=++x x 无实数解．
（6）难道金钱是万能的吗？
解：（1）是疑问句，没有作出真假判断的结果，因此不是命题．
（2）是陈述句，但真假难断．如1=x 时，62<x 成立；但5=x 时，62<x 不成立．所以（2）不是命题．
（3）因为符合命题一般具备的两个条件，所以是命题并且为真命题．
（4）因为符合命题的两个条件，所以是命题并且为真命题．
（5）是祈使句，所以不是命题．
（6）是反诘句，能表示命题．命题一般情况下是陈述句，但也可以为反诘句，其要领是：能判断真假的语句．．．．．．．．
． 例2 把下列命题写成“若p ，则q ”的形式
（1）两直线平行同位角相等；
（2）等腰梯形的两条对角线相等；
（3）对顶角相等；
（4）0是最小的自然数；
（5）正方形不是菱形．
解：（1）若两直线平行，则同位角相等．
（2）若两条线段是一个等腰梯形的两条对角线，则这两条线段相等．
（3）若两个角是对顶角，则这两个角相等．
（4）若一个数为0，则它是最小自然数．
（5）若一个四边形是正方形，则它不是菱形．
例3 指出下列命题中的条件p 和结论q ：
⑴ 垂直于同一平面的两条直线平行；
⑵ 线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等．
解；⑴ 条件p ：两条直线垂直于同一个平面，结论q ：这两条直线平行．
⑵ 条件p ：线段垂直平分线上的点，结论q ：这点与这条线段两端点的距离相等． ●题目答疑
4P 2 ⑴ （真）因为能被6整除，即被2⨯3整除，又2与3互质，所以能被3整除．
⑵（假）若四边形是平面图形，只能为菱形，不一定为正方形；若四边形不是平面平面图形，则为空间四边形．
⑶ （真），⑷ （真）．
34P ⑴ 若两条线段是一个等腰三角形两腰的中线，则这两条线段相等．
⑵ 若函数是偶函数，则这个函数的图像关于y 轴对称．
⑶ 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行．
【情态与价值】．
一、选择题
1、下列语句为命题的是 （ ）
A 、集合{}Z n n x x A ∈==,2|是奇数集
B 、32=x
C 、连接A 、B 两点的线段
D 、小于直角的角
2、语句：⑴ 没有偶数是质数； ⑵垂直于同一条直线的两个平面平行吗？
⑶ 0652=+-x x ； ⑷ 难道3不是12的约数吗？
这四个语句中是命题的语句共有 （ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
二、填空题
1、下列命题：
⑴ 若c b b a ··=，则a c = ； ⑵ 若b a >，则b
a 11< ； ⑶ 对于实数x ，若20x -=，则02≤-x ；⑷ 若0>p 则p p >2．
则以上命题中真命题是 ；假命题是 ．
2、把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式：
梯形不是平行四边形： 等腰三角形底角相等：
三、解答题
把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断是真命题，还是假命题．
⑴ 负数的立方是负数； ⑵ 等式两边都乘以同一数，所得结果仍是等式；
⑶ 到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线； ⑷ 等边三角形的三个内角相等；
⑸ 当0>a 时，函数b ax y +=的值随x 的值的增加而增加．
1.1 .2 四种命题、1.1 .3四种命题的相互关系
【知识与技能】
互为逆命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个
命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题（original proposition ），另
外一个命题叫做原命题的逆命题（inverse proposition ）．
互为否命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否
定，那么这两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题（original
proposition ），另外一个命题叫做原命题的否命题（negative proposition ）．
互为逆否命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论否定和条件的否
定，那么这两个命题叫做互逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另外一
个命题叫做原命题的逆否命题（inverse and negative proposition ）．
知识脉络：命题⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧------→等价性命题的互为逆否的相互关系式四种命题形式命题四种逆否命题否命题逆命题 本节重点：四种命题的形式及其相互关系，互为逆否命题的等价性．
⑴ 命题的四种形式：
原命题：若p 则q
逆命题：若q 则p （交换原命题的题设和结论）
否命题：若q p ⌝⌝则（同时否定原命题的题设和结论）
逆否命题：若p q ⌝⌝则（交换原命题的题设和结论，并且同时否定）
⑵ 四种命题的相互关系：
⑶ 四种命题的真假性
a ） 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
b ） 两个命题互为逆命题，或互为否命题，它们的真假性没有关系．
方法指导：
互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．当一个命题的真假性难于判断或证明时，可以转化为其逆否命题进行判断或证明．互为逆否命题的真假性的等价性是反证法的理论依据，请同学注意使用反证法．
【过程与方法】
例题剖析：
例1 分别写出命题“若22
0x y +=，则x ，y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．
解：逆命题：若x ，y 全为零，则220x y +=；
否命题：若220x y +≠，则x 、y 不全．
为零； 逆否命题：若x 、y 不全为零，则220x y +≠．
注意：“x ，y 全．为零”的否定是“x 、y 不全．．为零”而不是“x 、y 全不．．
为零”． 例2 若,,a b c 均为实数，且222a x x π=-+，223b y y π=-+，226c z z π=-+． 求证：,,a b c 中至少．．
有一个大于零． 分析：直接从原命题中证,,a b c 中至少．．
有一个大于零，情况复杂，难度较大，可考虑证明它的逆否命题．结论的否定是：a 、b 、c 都不．．
大于0．即0,0,0a b c ≤≤≤． 证明（反证法）：设a 、b 、c 都不．．
大于0．即0,0,0a b c ≤≤≤，则0a b c ++≤， 222222236a b c x x y y z z πππ
++=-++-++-+ ()()()2222121213x x y y z z π=-++-++-++-
()()()222111330x y z ππ=-+-+-+-≥->
即 0a b c ++>这与0a b c ++≤矛盾．这表明原命题的逆否命题为真，从而证
明原命题也为真．即 ,,a b c 中至少有一个大于零．
一题多解，融合知识，拓展思维
例3 判断原命题“若0m >，则20x x m +-=有．
实数根”的逆否命题的真假性． 剖析：可以直接进行逻辑推理，也可以借用集合关系判断；可以从逆否命题直接剖
析，也可以先判断原命题的真假性，然后利用互为逆否命题的等价关系进行
判断．
解法一：0m >， ∴ 40m >， ∴判别式410m ∆=+>
∴方程20x x m +-=有实数根． 故原命题为真，从而其逆否命题也为真． 解法二：直接判断逆否命题
∵ 方程20x x m +-=无实数根 ∴判别式410m ∆=+<
∴ 14
m <- ∴0m ≤成立，即20x x m +-=无实数根，则0m ≤为真． 解法三：p ：0m >， q ：方程20x x m +-=有实数根
∴ p ：{}
0A m R m =∈>
q ：{20B m R x x m =∈+-=有实根}=14m R m ⎧⎫∈≥-⎨⎬⎩⎭
∵ A B Ø ∴ 若p 则q 为真，即原命题为真．从而其逆否命题为真．
解法四：p ：0m >， q ：方程2
0x x m +-=有实数根
∴ p ⌝：0m ≤， q ⌝：20x x m +-=无实数根 ∴ p ⌝：{}
0R A m R m =∈≤ð， q ⌝：{2|0R B m R x x m =∈+-=ð 无实根}14m R m ⎧⎫=∈<-⎨⎬⎩⎭． ∵ R R B A Ø
痧 ∴ 若q ⌝，则 p ⌝为真， 即其逆否命题为真．
●题目答疑 410A P ：如图1.1-1，在ABC 中，已知AB AC ≠，求证：B C ∠≠∠． 证明（反证法）：假设B C ∠=∠，则ABC 是等腰三角形
∴AB=AC 这与已知AB AC ≠矛盾，
从而证明：B C ∠≠∠．
110B P ：（反证法）：p q
=（其中,p q 是互质的正整数），则 2
22p p n q q ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，∵n 为整数，∴有理数p q 的平方2p q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为整数，∵p 、q 互质，∴q=1 2n p =，这与已
知矛盾．
210B P ：已知：如图1.1-2，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于P ，且AB 、CD 不是直径．
求证：弦AB 、CD 不被P 平分．
分析：假设弦AB 、CD 被P 平分，连结OP 后，可
推出AB 、CD 都与OP 垂直，则出现矛盾．
证明：假设弦AB 、CD 被P 平分，由于P 点一定不是圆心O ，连续OP ，根据垂
径定理的推论，有OP ⊥AB ，OP ⊥CD ，即过P 点有两条直线与OP 垂直，
这与垂线的性质矛盾．∴弦AB 、CD 不被P 平分．
【情态与价值】．
一、选择题
1、A 是B 的子集叙说语言是“若对于任意的x A x B ∈⇒∈，则称A B ⊆”．那么A
不是B 的子集合的叙说语言正确的是 （ ）
A 、任意的x A x
B ∈⇒∉ B 、存在0x A ∈，但0x B ∉
C 、任意x A x B ∉⇒∈
D 、存在0x A ∈，且0x B ∈
2、命题“若(k y k x =
不为0常数），则x 与y 成反比例关系”的否命题是 （ ） A 、若k y x
≠，则x 与y 成正比例关系； B 、若k y x
≠，则x 与y 成反比例关系； C 、若x 与y 不成反比例关系，则k y x
≠； D 、若k y x
≠，则x 与y 不成反比例关系． 二、填空题
1、命题“ABC 中，如果90C ∠=，那么222c a b =+”的逆否命题是
2、下列四个命题中正确的命题的序号是
⑴ “若1x =，则2320x x -+=”的逆命题
⑵ “若1x >，则21x >”的否命题
⑶ “面积相等的三角形都不是全等三角形”
⑷ “若0xy =；则0x =，或0y =”．
三、解答题
1、写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题．并分别判断它们的真假．
⑴ 若x y +为偶数，则x 、y 均为偶数；
⑵ 若22
0x y +=，则x=0，且y=0．
2
3、证明：若ABC 不是正三角形，则内角A 、B 、C 中至少有一个大于60．
1.2 充分条件与必要条件
【知识与技能】
一、基础知识
1、充分条件与必要条件
“若p ，则q ”为真命题，即p q ⇒．则称p 是q 的充分条件（sufficient condition ）．q
是p 的必要条件（necessary condition ）．由定义可见：要判断p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件，只要判断p 能否推出q （或q 能否推出p ）即可．
2、充要条件
若既有p q ⇒，又有q p ⇒，即p q ⇔．则称p 是q 的充要条件（sufficient and necessary condition ）．由定义知：p 与q 互为充要条件．
3、给定两个条件A 、B （以后条件和结论统称为条件），要判断A 是B 的什么条件，只要考虑命题“若A ，则B ”，以此命题为原命题，判断原命题和逆命题的真假性即可． ⑴ 若原命题为真，则A 是B 的充分条件；
⑵ 若逆命题为真，则A 是B 的必要条件；
⑶ 若原命题为真，且逆命题也为真，则A 是B 的充要条件；
⑷ 若原命题为真，且逆命题为假，则称A 是B 的充分而不必要条件；
⑸ 若原命题为假，但逆命题为真，则称A 是B 的必要而不充分条件；
⑹ 若原命题为假，且逆命题也为假，则称A 既不是B 的充分条件也不是必要条件．
二、学法指导
1、知识结构
2、方法指导
充分条件、必要条件的判断是本节的重点．判断充分条件，必要条件时，首先要分清命题的条件和结论，由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件；由结论推出条件，则条件是结论的必要条件．两者都成立，则条件是结论的充要条件．
【过程与方法】
例题剖析：
例1 “2,2a b >>”是“4,4a b ab +>>”的什么条件 ？
解：由2,2a b >>可得4,4a b ab +>>，
所以“2,2a b >>”是“4,4a b ab +>>”的充分条件．
另令：2,5a b ==显然满足“4,4a b ab +>>”，但“2,2a b >>”不成立，
所以“2,2a b >>”是“4,4a b ab +>>”的充分而不必要条件．
例2 在R 上函数()2
f x ax bx c =++的值恒为正值的充要条件是什么？ 解：在R 上函数()f x 的值恒为正值的充要条件是20
40a b ac >⎧⎨-<⎩，或00,0
a c
b =⎧⎨>=⎩．
注意：解题时注意缜密思考，别忽略了0a =时的情形．
例3 已知关于x 的一元二次方程组()()
()222440144450
2mx x m Z x mx m m ⎧-+=⎪∈⎨-+--=⎪⎩, 求证：方程（1）和（2）的根都是整数的充要条件是1m =． 分析：设q ：方程（1）和（2）的根都是整数，p ：1m =．则本题实质上是证明“若
p ，则q ”（充分性），和“若q ，则p ”（必要性）均为真．
证明：充分性：
若1m =，则方程（1）化为：2440x x -+=，它的根是整数；
则方程（2）化为：2450x x --=，它的根也是整数．
必要性：
若方程（1）（2）的根均为整数时，则
方程（1）有实数根的充要条件是1164401m m ∆=-≥⇒≤，
方程（2）有实数根的充要条件是()
2221644450m m m ∆=---≥． 解之：514
m -≤≤，又 ∵ m Z ∈，∴ 1m =-，或0m =，或1m =． 当1m =-时，方程（1）为2440x x +-=无整数根；
当0m =时，方程（2）为2
50x -=无整数根；
当1m =时，由充分性证明过程知方程（1）和（2）的根均为整数．
故方程（1）和（2）的根均为整数根的充要条件是1m =．
例4 （发散创新）关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集是空集的充要条件是什么？并给出相应证明．
分析：一般先探求必要条件，然后证明这一条件也是充分条件．
必要性：若关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为空集．即对任意的实数x ， 2ax bx c ++的值恒为负．考察函数()2f x ax bx c =++，欲使()f x 恒为负值，则 20
40a b ac <⎧⎨-<⎩，或00
,0a b c =⎧⎨=<⎩这就探求到必要条件，探求过程就是必要性的证明． 充分性：若2040
a b ac <⎧⎨-<⎩时，则 ()2f x ax bx c =++22424b ac b a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵ 2
02b a x a ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭ ， 2404ac b a -< ∴ ()2f x ax bx c =++的值恒为负． 若00,0
a b c =⎧⎨=<⎩时，此时20ax bx c ++≥即为0c ≥，又∵0c < ∴ 0c ≥的解为空集．
所以：关于x 的不等式2
0ax bx c ++≥的解集是空集的充要条件为
20
40a b ac <⎧⎨-<⎩，或 00,0
a b c =⎧⎨=<⎩．
●题目答疑
215B P ：证明：
（充分性） 若222a b c ab bc ca ++=++，则2222222220a b c ab bc ca ++---=．
所以 ()()()2222222220a a b b b b c c c c a a -++
-++-+= 即 ()()
()2220a b b c c a a b c -+-+-=⇒==，∴ABC 是正三角形．
（必要性） 若ABC 是正三角形，则a b c ==，等式222a b c ab bc ca ++=++成立．
【情态与价值】．
一、选择题
1、设p ：2320x x -+≠ ， q ：1x ≠．那么p 是q 的 （ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
2、在给出的下列各组条件中，p 是q 的充要条件的是. （ ）
⑴ p ：0ab =， q ：220a b += ；⑵ p ：0xy ≥ ，q ：||||||x y x y +=+；
⑶ p ：|1|2x ->，q ：1x <-； ⑷ p ：0m > ，q ：方程20x x m --=有实根．
A 、1组
B 、2组
C 、3组
D 、4组
3、方程2
210ax x ++=中至少有一个负实数根的充要条件是 （ ）
A 、01a <≤
B 、1a <
C 、1a ≤
D 、1a ≤，且0a ≠． 二、填空题
1、设A 是B 的充分不必要条件，则A ⌝是B ⌝的 条件；
2、若使22530x x --<成立的一个 条件为13x -<≤；
3、已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 条
件，A ⌝是B ⌝的 条件．
三、解答题
1、求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一根为1的充要条件是0a b c ++=．
2、设a 、b 是非零向量，且a ()11,x y =，b ()22,x y =
求证：a 与b 相互垂直的充要条件是 12120x x y y +=．
1.3 简单的逻辑联词
1.3.1 且，1.3.2 或，1.3.3非
【知识与技能】
一、 学法指导
1、知识脉络 ：
2、方法指导：
（1）逻辑的联语词“且”“或”“非”与日常用语言中的“且”“或”“非”的意义不尽相同，要结合真假来理解，也可以理解为集合的交、并、补的运算．
（2）简单命题与复合命题：
简单命题：不含逻辑联语词的命题；
复合命题：由简单命题和逻辑联语词“且”“或”“非”构成的命题．
（3）正确理解逻辑联语词
“且”是两者必须的意思，表示为“p q ∧”．如命题“若0x ≠且1x ≠，则
()10x x -≠”
，其含义是x 既要不等于0，也要不等于1时，才能保证()10x x -≠． “或”是两者皆可的意思，表示为“p q ∨”．如命题“0x =或1x =是方程
2x x =的根”，其含义有三种情形：0x =是方程2x x =的根；1x =是方程2x x =的
根；0x =和1x =都是方程2x x =的根．
“非”是对命题的否定，表示“p ⌝”与否命题不同，注意区别．如：命题p ：
35能被5整除，p ⌝：35不能被5整除．而否命题：不是35的数不能被5整除（它是分别对命题的条件和结论分别否定得到的命题）．
3、复合命题的真假判断真值表： 复合命题的真值简记口诀：
P 或q ：一真必真 P 且q ：一假必假 非p ： 真假相对
【过程与方法】
例题剖析：
例1 分别写出下列各组命题构成的“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”形式的复合命题，并判断所得的复合命题的真假． 简单命题 复合命题
p q p q ∨ p q ∧ p ⌝ 真 真 真 真 假
真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真
（1） p ：正△ABC 三个内角都相等，q ：正△ABC 有一个角是直角．
（2） p ：0=φ，q ：0φ∈．
（3） p ：菱形的对角线相等，q ：菱形的四个内角相等。

解：（1）p 且q ：正△ABC 三个内角都相等且有一个内角是直角；
P 或q ：正△ABC 三个内角都相等，或有一个内角是直角；
非p ：正△ABC 三个内角不全相等．
由于命题p 为真，命题q 为假，所以“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，非p 为假命题．
（2）p 且q ：0=φ，且0φ∈ ；p 或q ：0=φ，或0φ∈；非p ：0φ≠．
由于命题p 为假，命题q 也为假，所以“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为假命题，非p 为真命题．
（3）p 且q ：菱形的对角线相等且四个内角也相等；
P 或q ：菱形的对角线相等，或菱形的四个内角相等；
非p ：菱形的对角线不相等．
由于命题p 为假，命题q 为假，所以“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为假命题，
非p 为真命题．
例2 分别指出下列各题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．
（1）5或6是30的约数；
（2）两条异面直线不平行也不相交；
（3）方程2
230x x --=没有实数根．
解：（1）p q ∨形式： p ：5是30的约数（真），q ：6是30的约数（真）．∴p q ∨
为真命题．
（2）p q ∧形式：p ：两条异面直线不平行（真），q ：两条异面直线不相交（真）． ∴p q ∧为真命题．
（3）p ⌝形式：p ：方程2230x x --=有实数根（真），∴p ⌝为假命题．
例3 如果命题“非p 或q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为 （ ）
（1）命题“p 且q ”是真命题 （2）命题“p 且q ”是假命题
（3）命题“p 或q ”是真命题 （4）命题“p 或q ”是假命题
A 、（1）（3）
B 、（2）（4）
C 、（2）（3）
D 、（1）（4）
解：∵“非p 或q ”是假命题，∴非p 、q 均为假命题，∴p 为真命题，q 为假命题，
∴ “p q ∧”为假，“p q ∨”为真，故（2）（3）正确，选择C ． 【情态与价值】．
一、选择题
1、命题“方程210x -=的解是1x =±”．使用的逻辑联语词的情况是 （ ）
A 、没有使用逻辑联语词
B 、使用了逻辑联语词“且”
C 、使用了逻辑联语词“或”
D 、使用了逻辑联语词“非”
2、设语句：p ：1x =，q ⌝：2890x x +-=则下列各选项为真命题的是 （ ）
A 、p q ∧
B 、p q ∨
C 、若p ⌝则q ⌝
D 、若q 则p ⌝
二、填空题：
1、已知下列三个方程24430,x ax a +-+=()2210,x a x a +-+=2
220x ax a +-=至少有一个方程有实数根，则实数a 的范围是
2、命题p ：“三角形的内角中至少有一个不大于60”则p ⌝： ， 则p ⌝是 （真、假）命题．
3、命题“非空集合A B 中的元素既是A 中的元素，也是B 中的元素”是 形式命题，命题“非空集合A B 中的元素是A 中的元素，或是B 中的元素”是 形式命题．
三、解答题：
已知函数()f x 对其定义域内的任意实数a 、b ，当a b <时，都有()()f a f b <， 证明：()0f x =至多有一个实根．
1.4 全称量词与存在量词
【知识与技能】
方法指导：
1、本节重点 （1）理解全称量词和存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．
（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示
含有量词的命题及判断其命题的真假性．
（3）会写出含有一个量词的命题的否定，为进一步学好反证法奠定基础．
2、常见的全称量词（universal quantifier ）：“对所有的”，“对任意一个”，“对每一个”，
“任给”等．用符号“∀”表示．
常见的存在量词（existential quantifier ）：“存在一个”，“至少有一个”，“有些”，“有
的”，“对某个”等．用符号“∃”表示．
3、全称命题表示为p ：(),x M p x ∀∈，全称命题的否定为：p ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝． 如：全称命题：p ：所有的整数的平方是自然数．
它的否定：p ⌝：并非所有整数的平方是自然数．由此可见，全称命题的否定
是特称命题，反之亦然．
【过程与方法】
例题剖析：
例1 写出下列命题的否定：
（1） 每条直线在y 轴上都有一个截距，
（2） 32
,x N x x ∀∈>，
（3） 存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．
解：命题的否定：（1）并非每条直线在y 轴上都有截距．或有些直线在y 轴上没有截距．
（2）并非所有32,x N x x ∈>．或 32000,x N x x ∃∈≤． （3）不存在四边形，它的对角线互相垂直且平分．或任意四边形，它的
对角线不垂直，或不平分．
注意：正确写出命题的否定，要注意原结论词与反设词的关系，同时要区别命题的否定
与否命题的差异．
【情态与价值】．
一、选择题
1、用反证法证明：“三角形内角中至多有一个是钝角”时，反设词正确的是 （ ）
A 、假设至少有一个钝角
B 、假设至少有两个钝角
C 、假设没有钝角
D 、假设没有钝角或至少有两个钝角
2、下列命题正确的是 （ ）
（1）“若220x y +≠，则x 、y 不全为零”的逆命题
（2）“正多边形都相似”的逆命题
（3）“若a +a 是无理数”的逆命题
（4）“若a ∥b ，c ∥b ，则a ∥c ”的逆命题
A 、（1）（2）（3）
B 、（1）（3）
C 、（1）（4）
D 、（1）
二、填空题：
1、已知命题P ：不等式2
230x x -->的解集是｛|3x x <｝，命题q ：不等式2230x x -->的解集是{}|1x x ≤-．
则 p q ∧的命题为 p q ∨的命题为 p ⌝命题的为
2、“整数范围内，a ，b 是偶数，则a b +是偶数”，则它的逆命题是
三、解答题：
证明关于x 的方程2110x p x q ++=与2220x p x q ++=中，至少有一个方程有实
数根．（提示：用反证明法证明）．。