三次函数的性质及简单应用

三次函数的性质及简单应用

发表时间：2011-02-22T11:12:46.477Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2011年第3期供稿作者：徐树富[导读] 三次函数问题,可通过求导转化为二次函数或二次方程问题

徐树富

摘要：本文运用导数的知识来研究一般的三次函数的性质，为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据，为解决高考中三次函数单调性、最值等问题找到了有效的方法。

关键词：三次函数；性质；最值；单调性；对称性

作者简介：徐树富，任教于浙江省衢州高级中学。

二次函数的有关性质及其应用是函数内容中的一个重点，而随着导数知识的介入，三次函数在函数问题的研究中凸显出其重要性。三次函数问题,可通过求导转化为二次函数或二次方程问题,然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。笔者就教学及解题中碰到的一些三次函数的性质进行一些初浅的探讨。

一、一般的三次函数的图象与性质：

1．函数的定义域与值域均为R。

2．极值：

3．单调性：

（1）证明：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即

（4）过对称中心的曲线的切线有且只有一条；

（5）把函数的图象按向量平移后得到的图象关于原点中心对称。

6．图象有两种形状：

图二图三

二、与三次函数有关的问题

2.三次函数解析式的形式

三、应用举例

三次函数的导函数是二次函数，因此，熟练把握二次函数的图像与性质便是研究三次函数图像与性质的起点。

函数是高中数学的核心内容，在新教材高三数学选修本中虽然利用了导数方法重新研究了函数的若干性质，但是在离开导数背景的函数问题的学习与研究中，大多数学生仍然未能自觉地想到用导数方法来解决高中数学教学中遇到的用初等方法较难解决的问题，为克服这一思维定势，在与二次函数比较的基础上，对三次函数的性质进行系统的梳理，旨在使学生真正学会用导数作为工具研究函数的性质、并能将该思想方法早日纳入到原有的知识结构之中，形成自觉的应用意识。

作者单位：浙江省衢州高级中学

邮政编码：324006

The Nature of Cubic Function and Its Simple Application

XU Shufu

Abstract: This paper studies the nature of cubic function with derivative knowledge, which supplies ways to probe into the nature of higher-order function and finds effective methods of solving monotony and maxima and minima of cubic function.

Key words: cubic function; nature; maxima and minima; monotony; symmetry