第七章弯曲应力

第八部分 弯曲变形

8.1 预备知识

一、基本概念

1、积分法和叠加法求弯曲变形；

2、用变形比较法解超静定梁。

二、重点与难点

1、叠加法求弯曲变形；

2、用变形比较法解超静定梁。

三、解题方法要点

1、 2、

8.2 典型题解

一、计算题

一悬臂梁，梁上荷载如图所示，梁的弯曲刚度为EI ，求自由端截面的转角和挠度。

解：梁在荷载作用下的挠曲线如图8—7a 中之虚线所示，其中B /C /

段为直线，因之C 、B 两截面的转角相同，即

z

B C

EI qi 63

==θθ

C 截面的挠度可视为由现两部分组成，一为yB (即B 截面的挠度，按图8—7b 之简图求之)，另一为由B 截面转过B θ角而引起的C 截面之位移a y (B /C /

段相当于刚体向下平移B y ，

B

再绕B /

点转过B θ角)。因梁的变形很小，a y 可用B a θ来表示。B y 值可由查表得

z

B EI ql y 84

=

C 截面的挠度为

⎪⎭

⎫

⎝⎛+=+=+=34268334a l EI ql EI ql EI ql a y y z z z B B C θ

二、计算题

一悬臂梁，其弯曲刚度为z EI 、梁上荷载如图所示，求Ｃ截面的挠度。

解：由于表中没有图所示情况的计算公式，但此题仍可用叠加法计算。图a 的情况相当于图b 、c 两种情况的叠加。图b 中C 截面的找度为1yc ，其值为

z

EI ql yc 84

1=

图c 中C 截面的挠度为2yc ，其值可按计算题一之方法，即

z z z EI ql EI l q l EI l q yc 384762282434

2-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪

⎭⎫ ⎝⎛⋅-=

A

A

1

A

2

(a)

(b)

(c)

C 截面的挠度则为

z

z z EI ql EI ql EI ql yc yc yc 38441384784

4421=-=+=

（此题是否还有其它叠加方法，读者可自行考虑之）。

三、计算题

一外伸梁，梁上荷载如图所示。梁的弯曲刚度为z EI ，求C 截面的挠度。

解： 外伸梁在荷载作用下的挠曲线如图a 中虚线所示，两支座处只产生转角而挠度等零。在计算C 截面的挠度时，将梁的BC 段可先看成B 端为固定端的悬臂梁（图c ），此悬臂梁在均布荷载q 的作用下，C 截面的挠度为1yc 。但外伸梁上下班B 截面并非固不动，而要产生转角B θ，B 截面转B θ角使C 截面也要产生向下的竖向位移（相当于刚体转动），该竖向位移用2yc 表示（图e ）。将图c 的1yc 与图8—9e 的1yc 与图e 中的yc 2相叠加，就是外伸梁上C 截面的挠度yc 。即21yc yc yc +=

因B θ很小，yc 2可用B a θ来表示。外伸梁上B 截面的转角B θ，相当于图b 所示荷载作用下简支梁上B 截面的转角。因集中力qa 是作用在支座上，故不引起梁的变形，仅力矩

⎪⎭

⎫

⎝⎛=221qa M M 使梁变形。简支梁在M 作用下B 截面的转角可从表中查得为

=1/2qa 2

1

2

(a)

(b)

(c)

(e)

(d)

z

z z B EI l qa EI l

qa EI Ml 6321322=

==θ 所以

z

B EI l qa a yc 63==θ

从表查得

z

EI qa yc 84

1=

外伸梁上C 截面的挠度则为

()a l EI qa EI l qa EI qa yc yc yc z

z z 3424683

3421+=

+=+=

四、计算题

简支梁受三角形分布荷载作用，如图所示。 （1）试导出该梁的挠曲线方程； （2）确定该梁的最大挠度。

解：首先求支反力

()

↑=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=6

3121ql l ql l I R A

3

616)(x l

q x ql x M -=

3

//616)(x l

q x ql x M EIy +-=-=

C x l q x ql EIy ++-=4

2/2412

D Cx x l

q x ql EIy +++-=5

312036

x

由边界条件： 0=x ， 0=y l x = , 0=y

得D=0 ，C=

360

73

ql )7310(3603607120364422353l x x l l

qx

x ql x l q x ql EIy ++-=++-=

再求m ax f 。 令

0360

724123

42=++-=ql x l q x ql EI θ

015

724

222=+

+-l x x l 得

l x 519.0=

所以

EI

ql f 4

max

00652.0= 讨论 本题说明积分法求变形的具体作法，积分常数的确定以及最大挠度的确定；简支梁上，当截面转角为零时，挠度为最大值。本例y 坐标正向向下，挠曲线近似微分方程改变符号。

五、计算题

抗弯刚度为EI 的等直梁，其左端为一块滑动约束，并承受集中力P ，如图。试求梁的挠曲线方程及滑块A 的铅垂位移，梁跨度为 l 。

解:

求出梁在两端的支反力 Pl M A =, P R B =

M A

x