波导特性阻抗的新概念

o C Z b a C Z 波导特性阻抗的新概念
1 引言
阻抗是电路理论的基本概念。

特性阻抗是传输线理论与微波电路理论的基本概念。

波导特性阻抗是波导这种电磁能量传输系统的基本而又实用的概念。

波导特性阻抗的主要应用是计算截面尺寸变化产生的反射，由此可以对波导生产工艺提出合理的公差要求。

许多国家都有波导标准，并有国际性的波导标准（IEC 标准）。

波导标准中工艺公差的规定是以特性阻抗理论为依据的。

特性阻抗的具体应用还有设计波导过渡、设计波导滤波器、计算截面变化型标准负载反射值等。

由谢昆诺夫引入[1]并载入大量书籍(例如[2~5])而被长期应用的矩形波导特性阻抗（部分书籍又称等效阻抗，以下简称旧特性阻抗）是个不正确的概念。

它从三十年代末产生到此文前，一直陷于物理意义的费解和逻辑上 的混乱。

用此概念计算反射与实验不符，更是其致命伤。

国际上多次出现 对旧特性阻抗的异议[6~9] ，但一则未指明旧特性阻抗的弊病，二则所提出的唯象阻抗本身也不完整，遂未能变革这个概念。

本文分析了旧特性阻抗的弊病，提出关于定义波导特性阻抗的法则， 建立了矩形波导与远程圆波导特性阻抗的新概念，并联系到实际应用的问题。

2 矩形波导旧特性阻抗的问题
矩形波导旧特性阻抗是类比于双线、同轴线引入的，用了总电流的概念，并随意选取电 压电流值。

所得结果为
其中，a 为矩形波导宽边长，b 为窄边长，Z o 为波阻抗，C 为某一常数，随定义方式而不同：由宽边中间电压与电流定义时，C =π/2；由功率与宽边中间电压定义时，C = 2；由功率与电流定义时， C =π/8。

这样定义的特性阻抗，有下列问题：
(1) 定义量选取的随意性
由电压与电流定义特性阻抗时，电压V 取宽边中间电压值或空间均方根值。

这种选取是人为的。

用集总参数的量代表分布参数的量，还有多种乃至无数种选取方式。

定义量选取的
2VI WI WV Z Z Z =2
22⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a b c c a 随意性，说明这样定义的特性阻抗不受电磁运动规律的约束，不是某一电磁运动规律的表达。

(2) 由电流电压定义的阻抗不能计算能流
由阻抗不能计算能流，这本已说明阻抗定义的不合理性，却又反过来用功率与电压、功率与电流定义两个特性阻抗。

谢昆诺夫还证明，电压电流 阻抗Z VI 、功率电压阻抗Z WV 与功 率电流阻抗Z WI 三者之间的关系为
由于三种定义都是人为的规定，它们之间的关系不可能反映客观规律，这种推证是没有意义的。

且看，任意给出三个毫无关系的量a 、b 、c ，总有
这不反映任何物理规律，不过是在数学上兜圈子。

(3)用来计算反射，前提错误
类比于双线，用特性阻抗计算截面尺寸变化引起的反射时，是必然承认两个前提的，即主波电压连续与纵向电流连续。

事实上，当宽边变化时，主波纵向电流是不连续的。

连续条件错了，就是以阻抗处理变截面问题的前提错了，特性阻抗也就失去了其主要的应用意义。

(4)不具有确定性
在一定边界条件下，场方程的解是唯一的，也就是说，波导中场的存在与分布关系是确定的。

这使得表征电路特性的阻抗（二场量在此特定电路中的关系）也应具有确定性（即唯一性）。

旧特性阻抗不具有确定性，是它不反映客观规律的一种表现。

(5) 与实验不符
引入特性阻抗的主要目的是处理传输反射问题，用旧特性阻抗计算宽边变化引起的反射与实验不符[7]。

谢昆诺夫在首次阐述旧特性阻抗概念时[1] ,曾说明这个概念被人们认为是“不自然的”。

但他却解释说：“这可能是概念本身的发展及人们对新理论的不熟悉”。

其实，当初人们的怀疑是有道理的——确是这个概念本身有问题。

J.Schwinger 曾给出定义波导特性阻抗的一般方法[5] ，即：a ）选取电V ，使其正比于横向电场强度；b ）选取电流I ，使其正比于横向磁场强度；c ）令 VI /2 = P ，定义V 比I 为特性阻抗。

显然，J.Schwinger 的方法是为了弥补谢昆诺夫阻抗概念对矩形波导来说不唯一、不能计算能流这些欠缺并进行一般化而提出来的；但是，此法比谢昆诺夫的方法更差些：人为地规
定电压电流值，即改变电压电流这些客观存在的物理量，让它去适应心目中的某种阻抗概念的需要，这就颠倒了主观与客观的关系。

3 关于定义特性阻抗的法则
以往采用这样的方式：电场强度比磁场强度为波阻抗；电压比电流为特性阻抗。

对于双线与同轴线，这样做都是成功的；但用来定义矩形波导的特性阻抗却出了问题。

问题出在法则上。

我们来分析一下。

在集总参数电路中，阻抗定义为电压与电流之比。

集总参数电路的特点是一个个独立的元件，被导线所连接，构成相互关联的整体。

阻抗能成功地处理电路问题，基于如下三点：（1）阻抗表征二量（电压、电流）的关系，这个关系是物理定律（欧姆定律、法拉第定律、库仑定律与电荷守恒定律）用于元件的简化表达。

（即电阻、感抗、容抗）；（2）电压、电流决定功率，因此阻抗可以和此二量之一决定功率；（3）元件连接时所构成的关系由基尔霍夫定律所表征。

阻抗联系起来的二量（电压、电流）满足霍夫基尔定率。

传输线是一种分布参数电路，其特点是电路尺寸同波长相比不像集总参数电路那样可以忽略，而表现出波的传播特性，有行波状态（只有入射波）和驻波状态（入射波与反射波叠加）。

阻抗（视在阻抗）表征驻波状态，即入射波与反射波的综合效果，反映了传输线与负载的共同作用。

行波状态的传输线特性是由传输线本身的性质决定的，引入特性阻抗（包括波阻抗）就是为了表征这种性质。

特性阻抗或波阻抗概念对于双线、自由空间、同轴线等应用起来之所以行之有效，在于这里与集总参数电路相比有三点类似；（1）阻抗所联系起来的二量是麦克斯韦方程在特定边条件下的解，即特性阻抗简化地表达了物理规律；（2）此二量决定能流或能流密度；（3）此二量在连接处满足连续条件。

（1）、（2）两点与集总参数电路基本相同，第（3）点与集总参数电路相比，形式有较大不同，即由导线连接时的基尔霍夫定律变为线或面连接时的连续条件。

但本质一样，它们可以互相推广。

自由空间的波阻抗定义为电场强度比磁场强度，双线的特性阻抗定义为线间电压比纵向电流，都是行之有效的。

在同轴线中，阻抗可按两种方式引入，即定义为电压比电流，或定义电场强度比磁场强度。

前者为特性阻抗后者为波阻抗。

二者都适应于截面尺寸不变的情况。

当截面尺寸变化时，主波电场强度不再连续，而电压与电流连续；由此，波阻抗不能处理变截面尺寸的问题，而特性阻抗却可以。

同轴线特性阻抗被广泛应用而波阻抗却很少被应用，这是重要原因之一。

波导的重要特点是截面尺寸和所传播的电磁波波长可以相比拟，且通常为色散波，其场量存在横向非均匀分布。

研究波导阻抗问题，必须特别注意这个特殊性。

与此相关的变截面处主波的连续条件，是认识特性阻抗问题的关键，必须就特定的截面形状、特定的波型作具体的分析，而不能像旧特性阻抗概念那样，笼统地套用电压比电流。

后文将表明：矩形波导变截面处二连续的量是主波电压与纵向电流密度；远程圆波导变截面处二连续的量是主波电场强度与磁场强度的横向分量。

顾及这些特殊点，且考虑与其他电路的共同点，特别注意连续条件，便可以引入行之有效的特性阻抗概念。

基于共性、个性的分析，本文提出定义波导特性阻抗的如下法则：
（1）在均匀传输系统中，存在两个依电磁运动规律而相互联系的特征电磁量，定义二特征电磁量之比为特性阻抗。

（2）二特征电磁量决定能流或能流密度。

（3）变截面处，特征电磁量连续或近似连续。

解阻抗关系（1）与连续条件（3）的联立方程，即得反射系数。

由（1）与（2）确定的关系，特性阻抗和特征电磁量之一可以确定能流（或先确定能流密度再确定能流）。

由（1），特性阻抗定义是严格的，因为它不过是电磁运动规律对特定波导（介质、边条件）的简化表达；由（2），计算能流也是严格的；计算反射涉及条件（3），结果的近似程度取决于连续条件的近似程度。

讨论
(1)特性阻抗与麦克斯韦方程的关系
定义均匀波导特性阻抗时利用了麦克斯韦方程在此波导特定介质、边条件的解，因此特性阻抗是以麦克斯韦方程为依据的。

特性阻抗表征特征电磁量的关系，简化地表达了特定条件下的电磁运动规律。

但它不是简单的简化或重复，而是具有新的功能，即直接用以处理变截面问题和将波导系统表成电路形式等。

变截面处的反射效应，是均匀区的阻抗关系的要求与变截面处的连续条件的要求这一对矛盾对立统一的结果，因此用特性阻抗处理变截面问题是一种独立的方法。

它比各种场分析方法简单、直观，掌握容易，运用方便。

(2)特性阻抗与波阻抗的区别和联系
特性阻抗定义为特征电磁量之比（本文涉及的几种形式有电压V、电场强度E和电流I、电流密度J、磁场强度H）；而波阻抗对任何系统都定义为电场强度比磁场强度。

波阻抗适用于截面尺寸不变的系统（主波的E、H保持连续）；而特性阻抗可以处理变截面问题。

特性阻抗可以代替波阻抗，反之则不能。

对某些系统（例如自由空间），电场强度、磁场强度是特征电磁量，这时特性阻抗就是波阻抗。

()()()o c xm ym t bZ b x a H x a bE x J x V Z =-===2/1/sin sin λλεμππ()()()x J x V x p 21= (3)特性阻抗的适用范围与局限
用来求解反射系数时，特性阻抗仅适用于特征电磁量保持连续的场合。

就波导来说，仅适于处理截面形状相同且波型相同而截面尺寸填充介质有变化的情况。

但用特性阻抗作为规一化单位来表征电路性质时，则不受这个限制，可用在有一段均匀波导的一切场合。

4 矩形波导特性阻抗的新概念
4.1 特性阻抗的新定义
矩形波导特性阻抗的合理定义是行波状态下二特征电磁量之比。

矩形波导的特征电磁量是压V (x )与纵向电流密度J (x )。

定义特性阻抗为
(1)
式中Z o 为矩形波导的波阻抗；λ为波长;λc 为截止波长，空气介充时λc =2a ， a 为宽边长， b 为窄边长。

特性阻抗在(0,a )区间，即在波导内为常数，不仅有确定性，而且为单一值。

这样定义的特性阻抗表征矩形波导传输波H 10的客观属性，它是此种边界条件下积分形式电磁感应定律的一种简化表达。

在波导纵剖面（yz 面）上，沿y 从0到b 经Δz 再返回，取这一环路积分，并令纵向尺寸Δz 趋于零，即可证明定义式（1）是积分形式法拉第定律的结果。

这说明电压V (x )与纵向电流密度J (x )满足特征电磁量的第一个条件，即依电磁运动规律而相互联系。

电压V (x )与纵向电流密度J (x )决定了x 纵剖面（yz 面）上传播的能流密度。

(2)
即V (x )与J (x )满足特征电磁量的第二个条件。

下面分析连续条件。

依据电磁场边值关系，变截面处的总电场强度与总磁场强度的切向分量必定连续（无铁磁介质）。

b 边变化时（相对变化量δb ）， 跳变的金属面（yz 面）上要求总切向电场强度为零，这样对主波电场产生与δb 同一数量级的扰动，于是总电场强度连 续转化为主波电压连续，这一点已有证明[10]。

a 边变化时，跳变面只要求x =0与 x =a 邻近处电场切向分量为零；而由于主波电场沿a 边呈正弦分布，能流以 sin 2（πx /a ）集中于波导中部，因此a 边变化对主波电场的扰动量是δa 的高阶量。

跳变面不要求平行于它的磁场强度H x 为零，因此主波磁场强度 总是一阶近似连续，这正是微扰论的基本出发点[6]。

综上所述，
()t M a o t Z V a dx Z x V P 22421==⎰()⎰==t M t Z J a dx Z x J P 22421t t Z Z 2∆=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=2221a a a b b g λ截面变化处的电压V (x )与纵向电流密度J (x )（等于H x ）在波导中部近似连续，而以宽边中点处的连续性最好。

即有
V ⅠM = V ⅡM (3) J ⅠM = J ⅡM (4) 式中下标符号M 表示最大值，Ⅰ、Ⅱ表示截面两侧的均匀波导。

可见，电压与纵向电流密度满足特征电磁量的第三个条件。

由定义式(1)可知，新特性阻抗的量纲是欧·米，这是由矩形波导场的分布特性决定的。

4.2 特性阻抗的应用
(1)计算能流
可由特性阻抗与特征电磁量之一确定沿波导传输的功率
(5)
或
(6)
式（5）、（6）是用特性阻抗计算能流的关系式，与常用的交流电路功率表达式相比，多出一个因子a /2，是由于给定的电磁量是分布量而产生的。

(2)计算反射
设波导均匀区Ⅰ均匀区Ⅱ在一界面上连接。

依阻抗关系（1）和连续条件（3）、（4）列出联立方程，解得反射系数为
V Ⅰ反 Z t Ⅱ - Z t Ⅰ Γ = —— = ———— (7) V Ⅰ入 Z t Ⅱ + Z t Ⅰ
对于小跳变情况，式（2.7）可表成
Γ (8)
Z t 代以定义式（1），得到小跳变时反射系数公式
Γ (9)
式中λg 为波导波长。

Каценеленбаум 用场分析的方法得到的公式[6]与式(9)相同。

那是一种属于微扰论的方
m h b C W 法，推导很繁，仅适于小跳变的情况。

阻抗法在计及高次型波的作用后，可处理较大跳变的问题。

跳变较大时的阻抗变换关系为
S 0 = Z t Ⅱ / Z t Ⅰ 当 Z t Ⅱ＞Z t Ⅰ 时 (10) S 0 = Z t Ⅰ / Z t Ⅱ 当 Z t Ⅱ＜Z t Ⅰ 时 (11) S o 是由特性阻抗差异决定的驻波系数。

不难证明，式（10）、（11）是式(7）的驻波系数表达形式。

同样，以往给出的用旧特性阻抗Z c 计算反射的相对修正量[11]，仍是用新特性阻抗Z t 计算反射的相对修正量。

4.3 与实验的比较
能判别新旧特性阻抗正误的是a 边变化的实验。

兹选例说明如下。

实验条件：a Ⅱ/a Ⅰ = 0.654，λ=a 1
实验结果：Г实 = 0.17
(1)按新特性阻抗计算：Г0 = 0.15；修正后，Г= 0.17
不修正误差 δ0 = - 12%
修正后误差 δ≈0
(2)按旧特性阻抗计算：Г0 = 0.33；修正后，Г = 0.36
不修正误差 δ0 = +94%
修正后误差 δ ≈ +112%
从这个实验看，当Δa /a ＜0.4时，用新特性阻抗计算，结果的近似性相当好，如再加修正，则与实验结果极为符合。

用旧特性阻抗计算，与实验结果相距甚远，且为正误差，不能再修正，因为虚部不为零的复数的模值恒大于实部，若再加修正，只会使误差更大，这与必然存在的高阶波作用相矛盾；仅这一点也可以说明旧特性阻抗概念的不合理性，更何况与实验相距那么远，物理上、逻辑上的问题又那么多！
4.4 新特性阻抗与唯象阻抗的比较
Каценеленбаум 用横截面展开法得到小跳变反射系数公式，并进而用唯象阻抗W 来 表达这一计算结果[6]
(12)
式中b 为波导高度（即窄边长）；h m =2π/λg ，λg 为波导波长；C 是不依赖于边长（a ，b ）的常数，无法确定。

ε
μλπ2=C ε
μλπλ2g t b Z =()εμλπ//2()o c r t Z H E Z =-=-=λλεμφ/1/R R R Z Z g t ∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=2012212πλμ Riblet [8]也提出一个规则：特性阻抗等于波导高度（b ）乘波导波长(λg ）。

这也是一种唯象阻抗。

上述两种唯象阻抗都是某种场分析方法所得结果的运算模拟，而不是物理概念。

它们包括的因子也仅是特性阻抗应包括内容的一部分。

用新特性阻抗与唯象阻抗W 相比较，可以定出常数C （令Z t =W ）
新特性阻抗按波导高度与波导波长表示为
可见，Riblet 阻抗还缺少一个因子 。

5 远程圆波导的特性阻抗
远程圆波导传输H 01波。

决定传输能流密度的是电场的周向分量E φ和磁场的径向分量H r 。

此二场量的径向按零阶贝赛尔函数分布，周向均匀分布。

临近波导壁内表面，E φ、H r 均趋于零。

波导壁上无纵向电流。

当截面尺寸变化时，跳变面对场的扰动是半径相对变化量的高阶量，因此，小跳变时，E φ、H r 近似连续。

显然，E φ、H r 满足电磁感应定律的微分形式。

所以，E φ、H r 是远程圆波导的特征电磁量。

定义特性阻抗为均匀波导行波状态下二特征电磁量之比
(13)
式中，λc 为临界波长，当空气介充时，λc =2πr /ν01，ν01是零阶贝赛尔函数的第一个根。

求解连续条件与阻抗关系的联立方程式，可得截面尺寸小跳变时的反射系数
Γ (14)
式（14）与 Каценеленбаум 用横截面展开法得到的结果[6]一致。

可见阻抗法有异常简洁的特点。

由于圆波导H 01波在波导壁上无纵向电流，长期被认为特性阻抗不能用于圆波导；这是在旧特性阻抗概念影响下的一种看法。

本文揭示了特性阻抗概念与阻抗法处理变截面问题的
实质，很方便地将特性阻抗概念应用于远程圆波导。

这里需说明，对于远程圆波导，尽管特性阻抗Z t就等于波阻抗Z o，但其含义和应用是不同的，本文之前，虽已有Z o（等于Z t），却未曾有人用它如此简洁明快地处理变截面问题。

6 两点建议
1. 关于矩形波导截面尺寸公差取法问题
矩形波导（通用标准）有a≈2b，(λg/2a)2在通频带内约为1.7~0.4，可取此值为1（根据旧特性阻抗概念，与此相应的值是3~1.5，常取为2）。

因此，建议取Δa=2Δb，这对精密波导加工是重要的，对通用波导也是较合理的取值法。

2. 关于波导标准的问题
我国波导标准、世界各工业国的波导标准以及IEC推荐的国际波导标准，对矩形波导截面尺寸公差的规定，都依据旧特性阻抗概念，规定为Δa=Δb。

这是不够合理的。

波导标准关系到波导生产，该不该修改，很值得讨论。

附记
本文发表于电子学报1979年第二期。

文中文献号是发表时序号，这里未刊文献。

本章内容，为什么是测量学问题，这里需作些说明。

我在1963年毕业于北京大学无线电电子学系。

临近毕业分配时，系主任汪永铨动员说，计量没人报志愿，说没有搞头。

其实是不了解。

就拿电感来说（他在黑板上画了个线圈），什么是单位亨利，怎样建立标准，这里就大有学问。

汪教授这番话使我选了这一职业，竟干40年了。

毕业后我到中国计量科学研究院工作。

受命筹建微波阻抗国家标准。

要建立阻抗标准，首先就得弄清什么是阻抗。

看了不少书，越看越莫名其妙，越看问题越多。

在经过一番哲理与逻辑的分析之后，认定是前人错了。

本章内容形成于1964年5月间。

当年9月17日在中国计量科学研究无线电室作学术报告。

1965年间计量院李乐山院长介绍到中国科学院电子所讨论。

1969年经著名科学家钱学森介绍到宇航研究院与张履谦等专家讨论。

七十年代初，电子部14所林守远王典成等微波专家将此新概念用于人卫地面站馈线设计，获得成功，并编入该所工大教材《馈线》讲义中（后来，王典成将此概念写入他的大著《电磁场理论与微波技术》一书中）。

1984年获河南省首届科技优秀论文一等奖（河南日报1984 年7 月26日1版）。