第二节 反应谱

绝对加速度反应谱 相对速度反应谱
相对位移反应谱
地震反应谱总结：
4、结构的最大地震反应，对于 低频结构主要取决于地面运动 最大位移。
绝对加速度反应谱 相对速度反应谱
相对位移反应谱
五、设计反应谱
设计反应谱：
地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，
而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱
2
T
(t
)d
max
Sa
xg max
2 1 T xg max
t 0
2 (t )
xg ( )e T
sin
2
T
(t
)d
max
yg (t ) (ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
相对速度反应谱
Sv

x(t) max
t 0
xg ( )e (t )
sin (t
)d
max
yg (t ) (ms 2 )
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
t (s)
绝对加速度反应谱
2
Sa x(t) xg max T
t 0
2 (t )
xg ( )e T
sin
max
Sa x(t) xg max
t 0
xg ( )e
(t )
sin (t

)d
max
对比上两个公式，可以看出，地面最大加速度 xg (t) 对于给
定的地震时个常数，所以β—T的曲线形式与拟加速度反应谱
曲线的形状是完全一致的，只是纵坐标数值不相同。β—T 曲
g
k ---水平地震影响系数
Sa
x(t) xg max
t 0
xg ( )e
(t )
F mSa (T )
G —体系的重量；
F mg xg max Sa (T ) Gk (T ) k —地震系数；
g xg max
(T ) —动力系数
＊地震系数（k）
定义： k xg max g
可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来
基本烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.10
0.20
t 0
xg
( )e
(t )
sin (t
)d
max
最大反应之间的关系 Sa Sv 2Sd
二、地震反应谱：
最大相对位移
1
Sd

x(t)
m a x
t 0
xg ( )e (t )
sin (t
)d
max
最大相对速度
Sv

t 0
2 (t )
xg ( )e T
sin
2
T
(t
)d
max
单自由度体系位移反应： x(t) 1
d
t 0
xg
(
)e
(t

)
sin
d
(t

)d
质点相对于地面的速度为
x (t )

dx dt


t 0
xg ( )e (t )
(t
)d
max
意义：体系最大加速度的放大系数
那么对于给定的加速度记录 xg (t) ，和结构的阻尼比ξ，
用上式可以计算出对应不同结构自振周期T的动力系数β值。
(t) 2 1 T xg (t) max
t 0
2 (t )
xg ( )e T
sin
2
T
(t
)d
持时
对最大反应或地震反应谱影响不大
地震反应谱峰值 对应的周期也越长
四、地震反应谱的特点
1.阻尼比对反应谱影响很大， 不仅能降低结构反应的幅值， 而且可以削平不少峰值，可 使反应谱曲线变得平缓。
绝对加速度反应谱 相对速度反应谱
相对位移反应谱
地震反应谱的特点
2.对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急 剧增大，大于某个值时，快速下降。 当T≥3.0s，加速度反应谱值下降缓慢。
设防烈度I 地震系数k
6
7
8
9
0.05
0.10（0.15） 0.20（0.30）
0.40
括号内的数字分别用于设计基本加速度0.15g和0.30g地区内的建筑
Sa
t 0
xg ( )e(t )
sin (t
)d
max
Sa 2 1
xg max
T xg max
线的纵坐标为 Sa ， xg (t) max
而拟加速度（加速度最大值）反应谱的纵坐标是Sa 。
地震反应谱是现阶段计算地震作用的基 础，通过反应谱把随时程变化的地震作用 转化为最大的等效侧向力。
对于单自由度体系，把惯性力看作反 映地震对结构体系影响的等效力，用它对 结构进行抗震验算。
结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
x 2x 2 x xg
质点的绝对加速度为：
x

xg
2x 2x
（2.5）
由
1 x(t)
d
t 0
xg
(
)e (t

)
sin
d
(t


)d
x(t)
dx dt

t 0
xg
(
)e (t
)
cos d
(t

)d

x(t) max

t 0
xg ( )e
(t )
sin (t
)d
max
最大加速度 Sa x(t) xg max
t 0
xg ( )e
(t )
sin (t
)d
max
在阻尼比 、地面运动 xg 确定后，最大反应只是结
构自振周期(T, ω)的函数。
t 将
时刻的地面运动脉冲引起的体系反应叠加：
体系在t时刻的地震反应为：
x(t)
t
1
dx(t)
0
d
t 0
xg
(
)e
(t

)
sin
d
(t


)d
（2.2）
杜哈密（Duhamel）积分
单自由度体系地震反应：
1
x(t)
d
t 0
xg
(
)e
(t

)
sin
d
(t

)d
一般结构阻尼比较小 d
T 2
则：水平地震作用的最大绝对值：
F kx(t) m2 x(t) m max
t 0
xg ( )e(t )
sin (t
)d
max
Sa
t 0

xg ( )e(t )
sin (t
－1－
第一章 结构动力学基础
第二节 反应谱
反应谱是在给定的地震加速度作用期间内， 单质点 体系、
最大位移反应
速度反应
随质点自振周期变化的曲线
加速度反应
作用：计算在地震作用下结构的内力和变形。
• 反应谱分为：
• 加速度反应谱 • 速度反应谱 • 位移反应谱。
－2－
一、水平地震作用
运动方程：
x(t) 2d x(t) d2 x(t) xg (t) （2.1）
绝对加速度反应谱 相对速度反应谱
相对位移反应谱
地震反应谱总结：
1、结构的阻尼比和场地条件对 反应谱有很大影响。 2、结构的最大地震反应，对于 高频结构主要取决于地面运动 最大加速度。
绝对加速度反应谱 相对速度反应谱
相对位移反应谱
地震反应谱总结：
3、结构的最大地震反应，对于 中频结构主要取决于地面运动 最大速度。
cosd (t
)d

d
t 0
xg
(
)e
(t
)
sin d
(t

)d
（2.5）
质点相对于地面的最大速度反应为
Sv

x(t) max
t 0
xg
(
)e
(t
)
sin (t

)d
max
（2.6）
单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程
两个影响因素：1.体系阻尼比 2.地震动 1.体系阻尼比
β
4.0 3.0 2.0 1.0
ζ=0.01
ζ =0.03 ζ =0.05
ζ =0.10
1.0
2.0
3.0
4.0
图 阻尼比对地震反应谱的影响
T(s)
体系阻尼比越大
体系地震加速度反应越小 地震反应谱值越小
2.地震动 不同的地震动将有不同的地震反应谱 地震动特性三要素 : 振幅 、频谱 、持时

d
t 0
xg
(
)e
(t
)
sin
d
(t

)d
代入上式（2.5）
得式（2.6）
质点的绝对加速度为：
x xg 2x 2x
2
t 0
xg
(
)e

(t

)
cosd (t )d
2 2 2

d
t 0
xg
(
)e

(t

（0.15） （0.30）
0.40
烈度每增加一度地震 系数大致增加一倍
＊动力系数
体系最大加速度
定义
(T ) Sa (T )
xg max
是规则化的地震反应谱
地面最大加速度
(t) 2 1 T xg (t) max
t 0
2 (t )
xg ( )e T
sin
2
T
F

F (t ) max
m x(t) xg (t) max
mSa
mg Sa xg (t) max Gk G
xg (t) max g
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
Sa
xg (t) max
---动力系数
k xg (t) max ---地震系数
单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自 振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
＊地震加速度反应谱的意义
地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比 相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应 与相应体系自振周期间的关系曲线
Sa(T)
ξ=ξ0
T1
绝对加速度反应谱
相对位移反应谱
相对速度反应谱
地震反应谱的特点：
3.对于速度反应谱，当结构周 期小于某个值时幅值随周期增 大，随后趋于常数。
4.对于位移反应谱，幅值随周期 增大。
绝对加速度反应谱 相对速度反应谱
相对位移反应谱
地震反应谱的特点：
5.土质条件对反应谱的形状和 很大的影响，土质越松软，加 速度反应谱峰值对应的结构周 期也就越长。
第一章 结构动力学基础
第二节 反应谱
反应谱是在给定的地震加速度作用期间内， 单质点 体系、
最大位移反应
速度反应
随质点自振周期变化的曲线
加速度反应
作用：计算在地震作用下结构的内力和变形。
• 反应谱理论考虑了结构动力特性与地震动特性之间的动力关系， 通过反应谱来计算由结构动力特性（自振周期、振型和阻尼）所 产生的共振效应，计算公式仍保留了早期静力理论的形式。
振幅
振幅越大
地震反应谱值越大
地震动振幅 仅对 地震反应谱值 大小 有影响
呈线性比例关系
频谱：地面运动各种频率（周期）成分的加速度幅值的对应关系
不同场地条件下的平均反应谱
不同震中距条件下的平均反应谱
场地越软 震中距越大
地震动主要频率成份越小 （或主要周期成份越长）
地震动频谱对地震反应谱的 形状 有影响

t 0
2 (t )
xg ( )e T
sin
2
T
(t
)d
max
yg (t ) (ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
位移反应谱
Sd

1

t 0
2 (t )
xg ( )e T
sin
2
T
(t
)d
max
三、影响地震反应谱的因素：
最大相对位移
Sd

x(t) max
1

t 0
xg ( )e
(t )
sin (t
)d
max
最大相对速度
Sv

x(t) max

t 0
xg ( )e (t )
sin (t
)d
max
最大加速度
Sa
x(t) xg max
T2
T3
T4
T5
T
T1
T2
T3
xg (t)
T4
T5
yg (t) (ms 2 )
El Centro Earthquake May 18,1940 North-South Component
t(s)
绝对加速度反应谱
El Centro 1940 （N-S） 地震记录
Sa x(t) xg max
)d
max
F mSa （2.4）
地震系数
令： Sa xg max 得： F mkg kG
（2.4）
xg max kg
动力系数
（2.3）
地震系数k 动力系数β
地震动峰值加速度
F mkg kG
k xg max g
重力加速度
设防烈度I与地震系数k的对应关系
)
sin

d
(t


)d
2
d
t 0
xg
(
)e
(t

)
sin
d
(t


)d
质点相对于地面的最大加速度反应为： d
Sa
x(t) xg max
t 0
xg ( )e
(t )
sin (t

)d
max
（2.6） （2.7）