代数问题图形化和几何问题代数化

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明Ａ Ｂ∥Ｃ Ｄ， 也 可以通过求 Ｃ Ｄ、 Ａ Ｂ的函数 表达式得到．
方 法 一 易 得 ｋ＝３ ， 设 Ｃ Ｐ ＝ｍ， 则 Ｐ（ １ ，一ｍ） ， 则
二、 几 何 问题 代 数 化
找 出几何 问题 中的数量关系 ， 引入符 号 ， 将 其代数 化又 可 以将错综 复杂 的关 系清晰化． 例３ 如 图， 在梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， Ａ Ｄ∥Ｂ Ｃ ， Ａ Ｂ＝Ｄ ｅ 点 Ｅ、 Ｆ、 Ｇ分别在
售价９ ０ 元 亏 损２ ５ ％
角 坐标 系 ， 利用代数方法求解． 方法 以 Ｇ为原点 ， 所在 直线为 轴建 立平 面直角 坐标 系 ， 则 Ｇ（ ０ ， ０ ） ， Ｅ （ ４， １ ． ６ ） ， Ｃ （ ７ ， １ ． ６ ） ， Ｆ （ ４ ， ０ ） ． 则直线 Ｇ Ｅ的函数表达式为 Ｙ＝ ０ ． ４ ｘ ， 直线 的表达式为 Ｙ＝ 一
例 ２ 小 明读 一本 科普书 ， 星期六读 了２ ０页， 星期 日读 了剩 余 部 分 的 一 半 后 ， 还剩 １ ５页没有 读 ， 这 本 科 普 书 共 有
多 少 页？
例５ 如 图， 将 透 明 三 角 形 纸 片Ｐ Ａ Ｂ 的 直 角 顶 点 Ｐ 落 在 第 四 象 限， 顶点Ａ 、 Ｂ分 别 落 在 反 比 例 函 数
代 数 问 题 图 形 化 很多代数 问题用 画图的方 法来帮助 解决可 以将题 目简 化或直观化 ． 例１ 某 商店 以 ９ ０元相 同的售 价 卖 出 ２件 不 同的衬 衫， 其 中一 件 盈 利 ２ ５ ％， 另一件亏 损 ２ ５ ％． 商 店 卖 出这 两 件 衬 衫 是 盈 利 了， 还 是 亏 损 了？
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解题 技巧 与方法 ● ● ● — —～
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静
穗
◎何 晓静 （ 中华 中学， 江苏 南京
题
２ １ ０ ０ ０ ６ ）
【 摘要】 数学是研 究数量和 图形 的学科 ， 数 和形 有着 千
丝 万缕 的联 系 ， 将 数 和 形 融会 贯 通 ， 共 同辅 助 解 决 问 题 会 有 意 想 不 到 的 效果 ．
分析 百分数 问题本 身 比较抽 象 ， 部分 学 生理 解有 困 难， 这 时借 助图形 ， 就 可直 观地 表示 题 意 ， 甲衬衫 盈 利成 本 的四分之一 ， 将 甲 的成 本 ４等Fra Baidu bibliotek份 ， 因此售 价 被 分 成 了 ５等
份， 成 本 占 ４份 ， 即为 ９ ０ ａ Ｉ ．＝ ７ ２ （ 元） ， 同 理 乙衬 衫 的成 本
策 略 如果将其几何 化 ， 画一 幅 图 ， 问 题 就 变 得 简 单 得 多． 如图 ， 由题 意 得 点 Ｃ是 Ｂ Ｄ 的中点 ， 则 Ｂ Ｃ ＝Ｃ Ｄ ＝１ ５ ， 则 这 本 科 普 书共 有 ２ ０＋１ ５＋１ ５＝ ５ ０ （ 页） ．
周 六２ ０ 页
＼ Ｄ ， Ｊ 于 点 Ｃ， 上Ｙ 轴 于 点 Ｄ， Ａ Ｂ分 别 ＼ 与 轴， Ｙ 轴 相 交 于 点 Ｅ、 Ｆ ．已 知 曰（ １ ， ３ ） ． 试说 明Ａ Ｅ＝Ｂ 分析 很容易发现 ， 图中似乎隐藏 了平行 四边形 ， 如果 能说明 Ａ Ｂ ∥Ｃ Ｄ， 那 么易证 四边形 Ａ Ｅ Ｃ Ｄ和 ＤＣ Ｂ Ｆ都 是平行 四边形 ， 那么Ａ Ｅ＝Ｃ Ｄ：Ｂ Ｆ ． 因而说 明 Ａ Ｂ／ ／Ｃ Ｄ是这 道题 的 关键 ， 我们 既可以用几何方法 ， 说 明△ｃ Ｄ Ｐ—ＡＢ Ａ Ｐ， 从而说
一
：９ ０。一 ．． ’ ．
ＥＦＧ ： １ ８ ０。 一 ／ ＥＦＢ 一 ＧＦＣ ＝ １ ８ ０。 一 一
（ ９ ０ 。 一 ）＝ ９ ０ 。 ． ． ‘ ． ｔ ￣ Ａ Ｅ Ｆ Ｇ是 矩 形 ．
、
例４ 如 图， 河对 岸
， ； ，
有一 灯杆Ａ 曰 ， 在灯 光下，
小丽在 点 Ｄ处测得 自己
向前 进 到 达 点 Ｆ 处 测 得 Ｇ
， ， 一 二 ： ：
， ， 一 ， 一
Ｄ
Ｉ
ｌ
－ ｔ ｌ
的 影 长Ｄ Ｆ ＝ ３ ｍ ， 沿Ｂ Ｄ 方 ＝ ： ： ： 茎 ： ： ： 釜 ……… … Ｊ
售价９ ０ 元
ｑ １ ∈三三 三
成本
三三
盈利 ２ ５ ％
成本
自己 的影 长 Ｆ Ｇ＝ ４ ｍ． 设 小 丽 的身 高 为 １ ． ６ ｍ， 求灯 杆 Ａ 曰 的 高 度． 分 析 本 题 除 了用 相 似 来 解 决 外 ， 也可 以建 立平 面直
乙 — — ＝ — — — 兰 — — — — 、 ＝ ｒ — — — — — ＝ — — — — — — Ｖ —
方法 （ ２ ） 设 ／Ｅ Ｆ Ｂ＝ ， 则 Ｆ Ｇ Ｃ＝２ ／Ｅ Ｆ Ｂ＝２ ｘ ． ０￣ ／ ＿ ＦＧＣ ￣ ｉ Ｅ ＡＦ Ｇ Ｃ中 ， ． ． ． Ｇ Ｆ：Ｇ Ｃ ． ＺＧ Ｆ Ｃ： Ｇ Ｃ Ｆ： — １ ８
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【 关键 词】 数形结合 ； 代数 问题 图形化 ； 几何 问题代数化
Ｅ
＼
｝ ／
Ｃ
～
分析
本 题 来 源 于苏 科 版 七 上 第 四章 一 元 一 次 方 程 总
Ｙ＝ 图像 的 两 支 上 ， 且Ｐ Ｂ上 轴
复习题 ， 大部分同学是这样做 的： 设这本科普 书共 页 ， 则周
日 读了 ÷（ 一 ２ ０ ） 页， 根 据题意 得 一 ２ ０ 一 — ｝（ 一 ２ ０ ） ＝ １ ５ ．
詈 ． ． ． ｙ ＝ ０ ８ ４ ｘ ３ ２ 得
．
‘ ．
６ ４ ， ．
６ ． ４ ．
三、 综 合 使 用 代 数 问题 图 形 化 和 几 何 问 题 代 数 化 有 的题 目可以将两 种方 法结 合使 用 ， 达 到灵 活解 决 问
题 的 目的．
为９ ０ ÷ ÷＝ １ ２ ０ （ 元） ， 因此商店卖出这两件衬衫亏损了．