5.2中心极限定理精品PPT课件
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《概率论与数理统计》课件5-2中心极限定理
X X B( 1 0 0 0 0 ,
EX = np = 10000 0.7 = 7000,
DX = npq = 10000 0.7 0.3 = 2100.
a
-
X N(7000,
P{26180000) X 7200} (
)− (
)
7200 − 7000 6800 − 7000
= 2 ( ) −1 = 2 (4.23160)0−1 = 1.
EX = np = 100根0.8 = 80,
DX = npq = 100根0.8根0.2 = 16.
a
X N(80,16)
P{80 试 X 试100} = P〈0(试 X −80试 5 卜)
l
4
J
~ 牵(5) − 牵(0) = 1− 0.5 = 0.5.
3
10000 ,
0.7. .
, 6800 7200
| i=1 n →的
C(x) |
A
|l
J|
|l
J|
B
(n
)
xXi − 入
P〈 i=1
三 x 卜=
→的 | n 入 |l
C(x) |
J|
(n
)
X i− n入
C
D) lim P〈
三 x = C(x) ．
n →的
|
n入
|
D
|l
J|
2
X ~ B(100,0.8) , P恳80 试 X 试
100
X B( 1 0 0 , 0 .
x100
500 −100根
P{ Xi > 500}~ 1− 牵
i=1
10 35
= 1− 牵(8.78) ~ 0
大学《概率论与数理统计》课件第五章 大数定律与中心极限定理
n 100, p 0.2, E(X ) np 20, D(X ) npq 16 4,
例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间 要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解 设有X 部分机同时使用外线，则有 其中 设有N 条外线.由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理得
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律 一、切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
定义1 设随机变量序列
在常数 a ，使得对于任意
有:
则称 依概率收敛于a ，记为
，如果存
注意
以概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱 一些，它具有某种不确定性.
且
是独立同分布的随机变量. 且
累计误差即总距离误差为1200 X k 近似 N (0,100) k 1
由定理1可得
下面介绍定理1 的特殊情况.
定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）
设随机变量 服从参数为
的二项分布
则对任意的x ，有
即 或
证 因为 所以 其中 相互独立，且都服从（0-1）分布。
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列独立同分布的随机变量，
且具有相同的期望和方差
则对任意实数x,有
即
，或
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命 是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率. 解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi 独立，E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000 16只元件的寿命的总和为
例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间 要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解 设有X 部分机同时使用外线，则有 其中 设有N 条外线.由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理得
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律 一、切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
定义1 设随机变量序列
在常数 a ，使得对于任意
有:
则称 依概率收敛于a ，记为
，如果存
注意
以概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱 一些，它具有某种不确定性.
且
是独立同分布的随机变量. 且
累计误差即总距离误差为1200 X k 近似 N (0,100) k 1
由定理1可得
下面介绍定理1 的特殊情况.
定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）
设随机变量 服从参数为
的二项分布
则对任意的x ，有
即 或
证 因为 所以 其中 相互独立，且都服从（0-1）分布。
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列独立同分布的随机变量，
且具有相同的期望和方差
则对任意实数x,有
即
，或
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命 是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率. 解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi 独立，E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000 16只元件的寿命的总和为
5大数定律与中心极限定理 课件(共31张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 12
定理4（独立同散布大数定律）
设随机变量序列X1, X2, , Xn, 独立同分布，若E Xi ，D Xi = 2 ，
i 1, 2, 。则对任意 0，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
这里随机变量序列X1, X2, , Xn , 独立同分布指随机变量序列相互独立， 且序列中随机变量的分布类型及参数均相同。
例2 设X ~ N (, 2，) 用切比雪夫不等式估计概率P( X 3 ) 。
解
因为 =3 ，由切比雪夫不等式得
P X EX DX 2
P
X
3
D(X )
3 2
=
1 9
一、切比雪夫不等式
第5章 大数定律及中心极限定理 7
例3
设随机变量 X 的方差 D X 0，求证，X 服从参数为 c 的退化散布。
n
n i 1
X
2 i
P 1 n
n i 1
E
X
2 i
E
X
2 i
D Xi
E2
Xi
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 17
例4续
01 当Xi B(m, p)时，E Xi =mp, E
X
2 i
=mp 1 p m2 p2, 有
OPTION
X P mp,
1 n
n i 1
X
2 i
P mp 1
p
m2 p2
02 OPTION
当X i
E 时，E
Xi
=
1
,
E
X
2 i
=
2
概率论与数理统计§52中心极限定理.ppt
例1 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开 灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的， 试求夜晚同时开着的Байду номын сангаас数在6800~7200盏之间的概率. 解 令 X 表示在夜晚同时开着的灯数，则
X ~ b ( 1 0 0 0 0 ,0 . 7 )
k k 1 0 0 0 0 k 分布律为 P { X k } C 0 . 7 0 . 3 , 1 0 0 0 0
则 称 { X } 服 从 中 心 极 限 定 理 . n
w 亦 即 X 的 标 准 化 r .. v Y ~( N 0 , 1 ) . k n k 1
n
（依分布收敛）
中 心 极 限 定 理 的 实 质 : 当充 n 分 大 时 ,
Yn
n
i1
n Xi E Xi i1 n D Xi i1
问题 某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.
概 率 论 中 , 一 般 将 关 于 随 机 变 量 序 列 和 的 标 准 化 随 机 变 量 的 极 限 分 布 是 标 准 正 态 分 布 的 定 理 统 称 为 中 心 极 限 定 理 . n
i 1 n
近 似 地 服 从 标 准 正 态 分 布 N ( 0 , 1 ) .
5.2.2 中心极限定理
1. 独立同分布中心极限定理 (Levy-Lindeberg)
同 一 分 布 , 且 具 有 数 学 期 望 和 方 差 ： E ( X , i)
n Xi E Xi i 1 i 1 标 准 化 变 量Yn n D Xi i1
根据独立同分布中心极限定理得
概率论与数理统计：中心极限定理
X Xk
k 1
E(X ) 300, D(X ) 600
X ~ N (300,600) (近似)
P(280
X
320)
320 300 600
280603000
2
20 600
1
2 0.8165 1 0.5878
中心极限定理的意义
在实际问题中，若某随机变量可以看 作是有相互独立的大量随机变量综合作用 的结果，每一个因素在总的影响中的作用 都很微小，则综合作用的结果服从正态分 布.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1
分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的
k 1
定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 相互 独立，且有有限的期望和方差：
E(Xk ) k ,
D(X k
)
2 k
0
,
k 1,2,
记
n
n
Bn2
D(X k )
2 k
k 1
k 1
若 0,
1
B 2 n
n
E(| X k
k 1
k
|2 ) n0
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
k 1
E(X ) 300, D(X ) 600
X ~ N (300,600) (近似)
P(280
X
320)
320 300 600
280603000
2
20 600
1
2 0.8165 1 0.5878
中心极限定理的意义
在实际问题中，若某随机变量可以看 作是有相互独立的大量随机变量综合作用 的结果，每一个因素在总的影响中的作用 都很微小，则综合作用的结果服从正态分 布.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1
分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的
k 1
定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 相互 独立，且有有限的期望和方差：
E(Xk ) k ,
D(X k
)
2 k
0
,
k 1,2,
记
n
n
Bn2
D(X k )
2 k
k 1
k 1
若 0,
1
B 2 n
n
E(| X k
k 1
k
|2 ) n0
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
5-2中心极限定理
ab EX i 0 2
(b a) 2 1 DX i 12 3
1．设 X 1 , X 2 ,, X n 独立同分布，且 X i (i 1, 2,, n) 服从参数为 的指数分布， 则下列各式成立的是（ ）
n Xi n lim P i 1 x ( x) n n
一、问题的引入
• 例如对某物的长度进行测量, 在测量时有许 多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等
因素对测量仪器的影响, 使测量产生误差X1;
测量者观察时视线所产生的误差X2; 测量者心
理和生理上的变化产生的测量误差X3; …显然
这些误差是微小的、随机的, 而且相互没有影 响. 测量的总误差是上述各个因素产生的误差 之和, 即∑Xi .
n Xi n x ( x) ( A ) lim P i 1 n n n Xi i 1 x ( x) (D) lim P n n
(B)
依分布收敛
林德伯格-列维 中心极限定理
辛钦大数定律
德莫佛-拉普拉斯 中心极限定理
n
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n t2 X k n k 1 x 1 e 2 dt ( x ). lim Fn ( x ) lim P x 2π n n n 上述定理表明:
1 (8.78) 0
2. 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理
二项分布的正态近似
设 X ~ B n, p (0 p 1)的, 则 对于任意 x, 恒有 X np x 1 lim P x e dt ( x). n np(1 p) 2π
5-2中心极限定理
6000 6000 2 1 0.99995, 即 1/ 6 5 / 6 0. , 6000 6000 1 / 6 5 / 6
故近似地有
查表得
6000 6000 1 / 6 5 / 6
2.58,
0.0124 .
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
李雅普诺夫定理 独立同分布的中心极限定理
德莫佛-拉普拉斯定理
1
中心极限定理
一、中心极限定理 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设有独立的随机变量序列X1,X2，…,Xn…, 且有有限
的期望 E( X k ) k，D( X k ) k 0, (k 1,2,)，
V - 20 5 105 - 20 5 P{V 105} P 2 2 20 10 / 12 20 10 / 12 V - 100 P 0.387 1 (0.387) 0.348 20 (10 / 12 )
9
中心极限定理
r 120 ( ) 0.999, 48
r - 120 48 3. 1 ,
所以 r 141.
查表得
即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车 间正常生产。
10
中心极限定理
例2 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99 的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的 差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？ 解 设良种数为X，则X~B(6000,1/6) 设不超过的界限为α，则有 德莫佛-拉普拉斯定理
2
二项分布即可以用帕松分布近似代替，也可用正态 说明 当p很小，n很大时用帕松分布近似代替，p不太 分布近似代替，如何选择？ 接近0或1，n又较大时用此推论计算有关二项分布的
故近似地有
查表得
6000 6000 1 / 6 5 / 6
2.58,
0.0124 .
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
李雅普诺夫定理 独立同分布的中心极限定理
德莫佛-拉普拉斯定理
1
中心极限定理
一、中心极限定理 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设有独立的随机变量序列X1,X2，…,Xn…, 且有有限
的期望 E( X k ) k，D( X k ) k 0, (k 1,2,)，
V - 20 5 105 - 20 5 P{V 105} P 2 2 20 10 / 12 20 10 / 12 V - 100 P 0.387 1 (0.387) 0.348 20 (10 / 12 )
9
中心极限定理
r 120 ( ) 0.999, 48
r - 120 48 3. 1 ,
所以 r 141.
查表得
即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车 间正常生产。
10
中心极限定理
例2 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99 的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的 差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？ 解 设良种数为X，则X~B(6000,1/6) 设不超过的界限为α，则有 德莫佛-拉普拉斯定理
2
二项分布即可以用帕松分布近似代替，也可用正态 说明 当p很小，n很大时用帕松分布近似代替，p不太 分布近似代替，如何选择？ 接近0或1，n又较大时用此推论计算有关二项分布的
中心极限定理 PPT课件
这天的收入至少400元的概率为：
300
P{Y Xi 400 }
i1
P{Y 300 1.29 400 300 1.29}
300 0.048
300 0.048
1
(
13 3.79)1(3.4)3 0.000
24
例2. 设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的 指数分布，现随机地抽取16只，设它们的寿
5.2 中心极限定理
（Central limit theoem)
1
中心极限定理的客观背景 掷一颗骰子，出现点数X的分布律为：
X 1 2 3 45 6
P 111111 666666
P
1
6
x
123456
2
掷两颗骰子，出现点数和X=X1+X2的分布律为：
X=X1+X2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一
个随机变量，它取1,1.2,1.5（元）各个值的概 率分布是0.3,0.2,0.5.每天售出300只蛋糕，求 这天的收入至少400元的概率。
解：用Y表示这天的收入，
Xi为售出第i只蛋糕的价格，则
300
Y Xi i
Xi 1 1.2 1.5
Pi 0.3 0.2 0.5
9
10
5.2.1 独立同分布中心极限定理
11
若随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立，
且同分布，有有限数学期望E(Xk)=µ
和方差D(Xk)=².
16
Xk
k1
近似
～
N n, n 2
n
～ Xk n
Yn k1 n
近似 N(0,1)
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
中心极限定理(27页PPT)
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理
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（Central limit theoem)
什么是中心极限定理？
阐述大量的相互独立的随机变量的线性 组合在一定条件下近似服从正态分布的 一系列定理称为中心极限定理
20个0-1分布的和的分布
X i ~ B(1, p) i 1,2,,20
独立同分布
X X 1 X 2 X 20 ~ B(20, p)
独立同分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x)
f
g
h
0
1
2
3
x
X=X1 +X2+X3~ h(x) X近似服从正态分布
独立同分布
独立同分布中心极限定理
设随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立，且同分布，
有有限数学期望E(Xk)=µ和方差D(Xk)=².
若随机变量序列
n
n
n
X k E( X k ) X k n
Yn k1
k1 n
k1
n
标准化
D( X k )
k1
则 lim
n
FY n ( x)
lim
n
P{Yn
x}
1
x 1t2
e 2 dt ( x)
2
则
lim
n
FY
n
(
x)
lim P{Yn
n
x}
( x)
n
X k n 近似
Yn k1 n
~ N (0,1)
中心极限定理的意义与作用
中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法， 而且有助于解释为什么很多自然群体的经验 频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ， n =1,2…，对于任意的实数 x ，有
lim
P
Yn np
x
Φ(
x)
n np(1 p)
中心极限定理的客观背景 掷一颗骰子，出现点数X的分布律为：
X12 3 45 6
P
P
0.2 0.15
0.1 0.05
123456 x
掷两颗骰子，出现点数和X=X1+X2的
的分布律为：
X 3 4 5 6 7 8 9 10
P 1 3 6 10 15 21 25 27 216 216 216 216 216 216 216 216
X 11 12 13 14 15 16 17 18
P 27 25 21 15 10 6 3 1 216 216 216 216 216 216 216 216
X近似服从正态分布
0
10 20
对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为
Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn
Xi ~ B( 1, p )，相互独立，
并且
E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1－p)
n
近似
Yn X k ~ N np , np(1 p)
k 1
棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理
近似 ( x2 ) ( x1 )
特别地：
若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有
P{x1 X x2 }
P
x1 np
X np
x2 np
np(1 p) np(1 p) np(1 p)
Φ
x2 np(1
np p)
Φ
x1 np np(1 p)
讲讲练练
例1.一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一
分布律为：
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
P
0.2 0.15
0.1 0.05
x
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3
300 0.048
300 0.048
13 1 ( ) 1 (3.43) 0.0003 3.79
n
近似
X k ~ N n, n 2
k 1
n
X k n 近似
k1
n
~ N (0,1)
1.设射击命中率为0.1，连续独立射击100次，
X表示命中的次数，则用中心极限定理估算
P{7 X 13}
Xi 1 1.2 1.5 Pi 0.3 0.2 0.5
E( X i ) 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29 E( X i 2 ) 1 0.3 1.22 0.2 1.52 0.5 1.713
D( X i ) 1.713 (1.29)2 0.048
300
解：设Xk表示第k次命中的次数，则
100
X Xk
k 1
E( X k ) 0.1 (k 1,2,,100) D( X k ) 0.1 0.9 0.09
100
E(
Xk
)
100
0.1
10
100
D(
Xk
)
100
0.09
32
k 1
k 1
E( X ) 10,
D( X ) 32
100 近似
Y X i ~ N (300 1.29, i
300 0.048)
300
Y X i ~ N (300 1.29, 300 0.048)
i
Hale Waihona Puke 由独立同分布中心极限定理，这天的收入至少400元的概率为：
300
P{Y X i 400}
i
P{Y 300 1.29 400 300 1.29}
定理的应用
对于独立的随机变量序列 { X n } ，不管 X i (i 1,2,, n) 服从什么分布，只要它们
是同分布，且有有限的数学期望E(Xi)=μ
和方差D(Xi)=σ²，
那么，当n充分大时，
n
Xi
近似
N (n, n 2 )
i 1
~
近似计算公式
n
X k n
P( x1 k 1 n
x2)
掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3
的分布律为：
X近似服从正态分布
0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02
0
x
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
3个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~ U (0,1) X 2 ~ U (0,1) X 3 ~ U (0,1)
种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一
个随机变量，它取1,1.2,1.5（元）各个值的概
率分布是0.3,0.2,0.5.每天售出300只蛋糕，求这
天的收入至少400元的概率。
解：用Y表示这天的收入，
Xi为售出第i只蛋糕的价格，则
300
Y Xi
i
Xi 1 1.2 1.5 Pi 0.3 0.2 0.5
X X i ~ N (10,
i
32 )
则由中心极限定理：
P{7 X 13} P{7 10 X 10 13 10}
什么是中心极限定理？
阐述大量的相互独立的随机变量的线性 组合在一定条件下近似服从正态分布的 一系列定理称为中心极限定理
20个0-1分布的和的分布
X i ~ B(1, p) i 1,2,,20
独立同分布
X X 1 X 2 X 20 ~ B(20, p)
独立同分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x)
f
g
h
0
1
2
3
x
X=X1 +X2+X3~ h(x) X近似服从正态分布
独立同分布
独立同分布中心极限定理
设随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立，且同分布，
有有限数学期望E(Xk)=µ和方差D(Xk)=².
若随机变量序列
n
n
n
X k E( X k ) X k n
Yn k1
k1 n
k1
n
标准化
D( X k )
k1
则 lim
n
FY n ( x)
lim
n
P{Yn
x}
1
x 1t2
e 2 dt ( x)
2
则
lim
n
FY
n
(
x)
lim P{Yn
n
x}
( x)
n
X k n 近似
Yn k1 n
~ N (0,1)
中心极限定理的意义与作用
中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法， 而且有助于解释为什么很多自然群体的经验 频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ， n =1,2…，对于任意的实数 x ，有
lim
P
Yn np
x
Φ(
x)
n np(1 p)
中心极限定理的客观背景 掷一颗骰子，出现点数X的分布律为：
X12 3 45 6
P
P
0.2 0.15
0.1 0.05
123456 x
掷两颗骰子，出现点数和X=X1+X2的
的分布律为：
X 3 4 5 6 7 8 9 10
P 1 3 6 10 15 21 25 27 216 216 216 216 216 216 216 216
X 11 12 13 14 15 16 17 18
P 27 25 21 15 10 6 3 1 216 216 216 216 216 216 216 216
X近似服从正态分布
0
10 20
对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为
Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn
Xi ~ B( 1, p )，相互独立，
并且
E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1－p)
n
近似
Yn X k ~ N np , np(1 p)
k 1
棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理
近似 ( x2 ) ( x1 )
特别地：
若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有
P{x1 X x2 }
P
x1 np
X np
x2 np
np(1 p) np(1 p) np(1 p)
Φ
x2 np(1
np p)
Φ
x1 np np(1 p)
讲讲练练
例1.一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一
分布律为：
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
P
0.2 0.15
0.1 0.05
x
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3
300 0.048
300 0.048
13 1 ( ) 1 (3.43) 0.0003 3.79
n
近似
X k ~ N n, n 2
k 1
n
X k n 近似
k1
n
~ N (0,1)
1.设射击命中率为0.1，连续独立射击100次，
X表示命中的次数，则用中心极限定理估算
P{7 X 13}
Xi 1 1.2 1.5 Pi 0.3 0.2 0.5
E( X i ) 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29 E( X i 2 ) 1 0.3 1.22 0.2 1.52 0.5 1.713
D( X i ) 1.713 (1.29)2 0.048
300
解：设Xk表示第k次命中的次数，则
100
X Xk
k 1
E( X k ) 0.1 (k 1,2,,100) D( X k ) 0.1 0.9 0.09
100
E(
Xk
)
100
0.1
10
100
D(
Xk
)
100
0.09
32
k 1
k 1
E( X ) 10,
D( X ) 32
100 近似
Y X i ~ N (300 1.29, i
300 0.048)
300
Y X i ~ N (300 1.29, 300 0.048)
i
Hale Waihona Puke 由独立同分布中心极限定理，这天的收入至少400元的概率为：
300
P{Y X i 400}
i
P{Y 300 1.29 400 300 1.29}
定理的应用
对于独立的随机变量序列 { X n } ，不管 X i (i 1,2,, n) 服从什么分布，只要它们
是同分布，且有有限的数学期望E(Xi)=μ
和方差D(Xi)=σ²，
那么，当n充分大时，
n
Xi
近似
N (n, n 2 )
i 1
~
近似计算公式
n
X k n
P( x1 k 1 n
x2)
掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3
的分布律为：
X近似服从正态分布
0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02
0
x
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
3个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~ U (0,1) X 2 ~ U (0,1) X 3 ~ U (0,1)
种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一
个随机变量，它取1,1.2,1.5（元）各个值的概
率分布是0.3,0.2,0.5.每天售出300只蛋糕，求这
天的收入至少400元的概率。
解：用Y表示这天的收入，
Xi为售出第i只蛋糕的价格，则
300
Y Xi
i
Xi 1 1.2 1.5 Pi 0.3 0.2 0.5
X X i ~ N (10,
i
32 )
则由中心极限定理：
P{7 X 13} P{7 10 X 10 13 10}