球与各种几何体切、接问题专题

球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。

首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内
接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2 :若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面
体，这个球是这个多面体的内切球•
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题•
1、球与正方体
（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r a.
（2）正方体的棱切球，如图2.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r,这时有2r /2a.
与球心重合;
凹二f
¥二面山皿-直线
FF 杆虫得的线段為球的截面13的直径2Jt = V2-
点评*本题肴查球与正方体血护的间题「丹球的截面性质，转化成曲求球直径. 2、球与长方体
例2自半径为R 的球面上一点 M ，引球的三条两两垂直的弦 MA,MB,MC ，求
MA 2 MB 2 MC 2
的值.
数据关系：设正方体的棱长为
球的半径为r ，这时有2r
3a .
例1 棱长为1的正方体ABCD
A B 1C 1D 1的8个顶点都在球 O 的表面上，E , F 分别是棱
AA ，DD i 的中点，则直线EF 被球0截得的线段长为(
A. 2
2
D.
2
思路分析:
由题意推出，球为正方体的外接球
•平面AADD 1截面所得圆面的半径
AD 1
辽得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径
2
【解析】由题意可知］球为正方体的
尸面八4载面所得圜面的半径
91
例1、
个兀棱柱的底而足止木边形，面,
已知该；；检柱的顶点都&间•个昧而上._!!浚7<检牡的体积为一 • 底血周长为3,则这个球的体枳为
3
已知各厦点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4. 休积沟1筋 则这牛嫌的k\ft!袒屋 _____ . 24用
例3、 在M 三检柱」EU -蚣EC «P, AB 二 4.AC = 6,ri=
!60?r
U!H 也-;蛙柱ABC -舛坊G 的外接蟀的表血切
【解析】以AM MB . J/C 为从一个顶点出发的三彌r 将三棱镀SJ -ABC 补应一个长方也 则另外四个 顶点©在球面上，故长右体是琼的內接艮右库，刚按方陳的刘牟线農是球的直径.
二、
H -価 +J/C Z = (2A):
= 4j?<
点评=此题突出构造法的使用，以反掺窗帰分割补形的方法解诀立体几何中体积计算…
结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线.
例3 (全国卷I 高考题)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 球的表面积为(
).
.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为 2,
2, 2，4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径
【解析】正四粧柱也是长再体.由廉方体的休积応斥高4可刃「出长為悴的底面边扶为2,因此，长肓体 的长、宽、鬲分别为囚2, 4,因为长方体內捋于險 所以立药陳对角线正好为瑾能直径.松方体你对角钱
故球的表面积沏24 故选G
点评*年题考查球与扶帛体^接”的问题，巧勺伕市体■的性质，转化咸対求具体对角餵 3、球与正棱柱
(1)结论1 :正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. (2)结论2 :直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.
4,体积为16，则这个
A. 16
B.
20
C.
24
D.
32
思路分析：正四棱柱也是长方体 可得长方体的长、宽、高分别为
球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、正四面体与球的切接问题
（1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h ;球的半径为R，这时有4R h —6 a ；
3
【解析】如图正四面体A— BCD勺中心为O即内切球球心，内切球半径R即为0到正
四面体各面的距离. ••• AB= a, •••正四面体的高a , 又V A— BCD= 4V— BCD,()
1
h=
412
a.
(2)正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心
与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h ；球的半径为R，这时有4R 3h 、、6a ;(可用
正四面体高h减去内切球的半径得到)
例5求棱长为1的正四面体外接球的半径。

设SO是正四面体S—ABC勺高，外接球的球心0在SO上，设外接球半径为R, A0= r,
则在△ ABC中，用解直角三角形知识得r = 3,
结论：正四面体的高线与底面的交点是△ ABC勺中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据•此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点
3
此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的4，内切球的半径是正
1
四面体高的4.
(3)正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球
心重合；
在Rt △ AOC中，由勾股定理得氏=(
数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h ；球的半径为R，这时有
J6
4R 3云h亍&
已知正四A - BCD的粧按背g求它的外接球半径、內切球半径' 檢切球半径z 辭：由正四面体的对称性与球的对称性知球心在正四面体的高上.-
內切球半径—心字-伞二字
例7设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球, 之
比及体积之比.
思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两
个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的.
【解析】炯團，正四面* ABCD的中心二空3的中j肉0：,则第一个球半径为正四面体■的中心到各血的距為第二牛球的半径為正四面脈匕「到頂二的距离.
设00［二叭0川二正四面悴的一「面的面积斗'.
依题意得匕_心= -5(J? + r).又r A_?■- #鼻嗣・心严-S
f H
»*J
fi + r = 4r即A = 3r.
RtXOCG中，OC2^R2
求这两个球的表面积
卫)•十九，
-
棱切球半省汽OE = JEG-^OG2=24 4 *
希打內切球的表面积_ 4矿_ 1内切球的体积_亍。

_ 1 所以外接球的袅囱税二碌• JFW^W =T^r =r
j、*「
^o\y
3* ------ / ------ '口
电评：正四面体与球的接切间题，可通过线面关荼证出，内切球和外接球的两个球心是堇合的，为正四蔚障
高的四寺分点，［喘有内切球的半径尸厶。

淘正四面体的高），且外播球的半径疋二W
4
（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点
分析如團I,因为正四面体多氐
ABCD的外接球的球心0到点EC, //\\
D的距离相等「所以O在平面BCD / ；\\
内的射影6到点BC.D的距高也卫乙二一鋒
相等.又因为在正四面体ABCD中
v BCD是正三角形，所以0】是V
v BCD的中心.进而在正四面休图］
ABC D中，有直0 L平面ECD,所以
球心O在高线AQ上；同理:球心0也在其它面的高线上. 又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所队由0A =
OB = 0C = 0D,得「点O到正四面休各面的距离相等’所以
点O也是正四面ft ABCD的内切球的球心.这样'正四面体
的内切球的球心与外接球的球心重合.记正四面体
ABCD的;W为h,则r+R = h = 因此，只要求出匸和
R中的一个，便可农出另一个.
2.其它棱锥与球的切接问题
（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点
在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解•二是球为正棱锥的内切球，例
如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R •这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.
结论1 :正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到.
结论2:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.
途径1 :正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.
途径2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方
体和正方体.
途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.
途径4 :若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
例8正三棱锥的高为1,底面边长为2.6，正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.
思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法
XiBC的迫长^2^6, /-Z7£ = —二JL PE 二不
6
可以得到j = Sg =九囂=42?C P£=3V5・电空=f (2V6):=丽
由等体积海十—?十1"十耳卫
111 ■» 一
-■- -x6j3xl = l>c3-\/2冥丘x3十上冥上臥尺二二一二丽一丄・
3 3 3 ：占十3
-'.・=4苗=4JT(^6-2): =g(5-2^/6X. /. J-：=-疫二一双岳一以
r 、i r r
厲1'
点评：球心是决定球的位置羌键轧本匝利用辣心到正三梗维四个面的距离相等且耦半径Jt来求出乩以球心的位直特点来抓球闌基本鑿______________ 趁是解決球有关|刁题常用餉方法. ________________________ 例9 (福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为.'3，则其外接球的表面积
是^
思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球
的半径•而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法•三条侧棱两两垂直，使我们很快联想
到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型^
【解崭’蓝甬二^解法，需要作出棱雜的高，然后臣设出球心・利用直角三角形计算球的半径.而作为塡空题'我们更劉吏用鮫为便捷的方法I所囚三条狈悽两两垂直使我们很快联想郢长有体的一个角I马上构造长方解且侧棱长均相芋所以可枸造正方体理• 如图h [JIJAC-BC=CD = 73*那么三棱锥的外接球的直径即为正寿惟的体对角餵，故所求恙曲积是9,丁.(如图1)
点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用
的方法.
例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是
边长为1的正三角形，SC是球O的直径，且SC 2 ;则此棱锥的体积为（）
近罷丘近
A. —
B. —
C. —2
D. —2
6 6 3 2
思路分析：ABC的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点O到面ABC
的距离•由SC为球O的直径点S到面ABC的距离即可求得棱锥的体积.
【解析】閑夕隈圆半径対r =、6点o到面挫匸的距孕亠JF二^坐-比为球。

的直径R [ —p 3
■>J TE
点S到瓯ME的距离2d=^:
r 此棱锥的体积为药=1S远：X2T = 1 ><◊X =厲选丄
3 3 J 3 G
廉评：不题难度不大,主要是利用转优与化归塩想,将檢锂高应用球的几何性质计算脣到.
练习:
例5、沿ABCD的对角线AC折起.形就鑒间四边号AHCd 纯得B-AC^D 为i20Q, AB 2. DC 1.
J'll此时四働怵A BCD前外接球的体枳为
5V'5；T
例】入 若二桂供s - BCD 的mrr 顶点即在咸o 的隊而上，
SH 丄 f SJ = 2V3,JZ? = 1, AC = 2^HAC = ^
则球。

的於面积为 _______ . 16JF
3、 由性质确定球心
利用球心0与截面圆圆心 01的连线垂直于截面圆及球心 0与弦中点的连线垂直于弦的性质,
确定球心.
例 2 Sf$fSlS_-ARC 中，SA 丄而ABC* 5^=2.
AABC'i 边It 为1的正三角膨 则其外接球的表:曲枳为 _______ .
例 13* 点 A.B.GD 在同- fXtffi 球面上* AB-BC-2r AO2V2 ?
4
若四新体A BCD 休积的最人值为匚・则该球的表面积为 ________ . 9T
4、 内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个
球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

例权 帀四轅锥£ —/RO 的底面龙I 氏和备例楼任都为运.
4托
点S. A.氐 C.。

都diM -球血上，则此建的体积为 ______________ . —
例九 如果-：楼锥的三个訓面两两毎宜，它们的面积分别为4™1
和咅囱X 那么它的外接球的怵根址
少府7T
~6~
例九
例&
在三棱锥用一中* Afi 丄半Ifti 枫口「门丄BC\
Aff-X SC = 4. CD-5 .團三楡IftZ-欧2D 外接球的丧朗枳 ___________ SOff
AB = CD^AD=BC^XAC^SD = 4,
则三棱链A-BCD 外接诽的体职
」
W. 已甥一牛三棱需的二祂图如图所示*托中三个视圏那撻H 角三対形. 则直该三棲蚀
的四MTif'P ，建血1命膨的命数为 ______________________ .
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

（二,枝锥的内切球（分割法）
将内加球的珠心与椎时耐备牛厢点连缰，将披權分劃成
以即黴雉的咼曲底曲，内刼竦的半栓斯高的檢惟*
權揺分割前后的儒枳桐等，列出芙于半径R晞咅椎•
3/
蒼陵毎的休积沟讥袁闻积为5则均切蟀的半径幻代二一--.
S
例口、止V^^S-ABCD•底面城长为2, H援怅为击
则内切味的半位足_______ . M
4 +
例I氛三校锥P-上。

厂中•底尚厂'是边從为2的iE三角形.
/V丄底W ,且丹爲则此三檯锥内妙求的半径为_________________ .
2価
"厉+街十4 1
（三）岡柱（糰趙1町为止方底h風推的内切球（越丽法）
例$ 圆镰的高为右底而T径为2+求该圆僚内切越仃外携球HMB_______________ -
8
例怖.圆柱的底血直径和岛都是&虫谨圆柱内切郎的半径____________ .3
三、球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解^
例11已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为. _________________________________
思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5\B=6 CD=4.
设AB中点为E、CD中点为F,连结EF.在厶ABF中可得BF 、. 21，在△ EBF中可得EF 2 3.
由于对称性可得第五个球的球心0在EF上，连结OA 0D设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF 建立r的方程•
【辭析】如團；役四个球的球卫易别为A、色亡、D,则:ED二BCW 酹& CXd・设挹中点丸臥CD中点拘F,连结EF•在AABF中求簿氐血，在AEEF中求得ERiJL
由于对称性可狷第五个球的球心。

衽EF上连结阳0D•设第五个球的芈径为“则偌+, 0D寸2于是
OE- Jb+2「一A =J 廿一巧尸J OR Jl》_2 - 2 * 三 J八，.'OE4O2EF
■'■ 4y'-6孑亠J J T厂=】忑=> /匸亠6厂=2念- 平方整理再平方得
11,亠60—36=0解得—勺或-6 （舎掉）.故答.
11 11
点评’本题通过分析球心的位罠根据它们构成的几何体特征.转化戚平商几何中三角形边角关系，利用方程思想得解.
例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四
个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离.
思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定
组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2.
【解析】四球尤朝成棱长为2的正四面体的四个顶点•贝怔四面体的高丹= 而
第四吓球创最高点到第四个球的球心距离为求的半徨1，丘二个球心到桌面的
距离都为L故第四牛球的最高廉与桌面的距离为—远.
■J
直评：；$题难度不大，主寰是利用转化与rtia思想•鬲棱椎高圧用球的几何性质计聲得到.
四、球与几何体的各条棱相切问题
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为 目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解
•如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对
棱的一半：r —a .
4
例13把一个皮球放入如图
10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使
皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（
）
A. 10 3 cm
B. 10 cm
C. 10、2 cm
D. 30cm
思路分析：根据题意球心 O 在图中AP 上，过O 作BP 的垂线ON 垂足为N, ON=R OM=R 由各 个棱都为 20,得到 AM=10 BP=20,BM=1Q AB=IOj2,设 BPA ，在 Rt BPM 中，由
BP 2 BM 2 PM 2,得
PM
10.3
.在Rt PAM 中, 由 PM
2
AM 2 AP 2,得
PA 10.2. 在Rt ABP 中得, sin
AB 10.2 .2
在 Rt ONP 中得,
BP
20
2
sin
ON R
,从而
R
2
OP
,2R.在 2 2 2
Rt OAM 中,由 OM
AO AM
OP
OP
OP
2
建立方程R 2
（10.2 、2R ）2
100即可得解.
【解析】如图所示，由题意球心在A?上球心为0,过0作芳的
垂SON垂足为X, 0、吕0M-R.因河各个棱郎次孤所法
.AM=15, 3?-2Cr;BM-l{l, 10<5 =设一丹F显二G，
在AfA3?M中，孑戸二少J；+Rlf［所以刃J二10J5 JS盘注？AXI中；FV；ddI；-〉P所以
= 10疋,在说口ASF 中，sin cc = = 12?^* . ^―j 在RrUP 中.sin c? = = -^- .0rlzA
SP20 2 OF OF
—所以少三J5乩在卅2OAXI中：0“飞用0‘+加&所1儿，M（IO JI-J5H）‘Too：
解得，J! =10或刃（舍）所从R=J0c^r*选了
p
点评’本題唯匱较大，主耍是刑用转化2化匸猩想,将间题转化成平面几何间题，应用三曲把中的边弟关系，
建立R的方程.
五、球与旋转体切接问题
首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系.
例14求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与
几何体之间元素的关系.
【解析】如图，等边沁圆锥的轴载面，此截面截园柱得正方l&GCDDy载球面得球的丸圆圆0" 设珈的半径OO-=R,则它的外切［同柱的高^2R,底酝丰径为卫’
OB二q0-gt3L 二石此SO 二OEF 时二母忑二3民
r; 】订=；二厲矽4二曲,
点评；本题充分利申轴戡面，将向题转化成平面几何I句题，应用三角形中的迦角关系，建立与球半径R的联系.
例15在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和；
(2)球的半径为多少时，两球体积之和最小.
思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球
的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图
中，观察R与r和棱长间的关系即可.
【解析】如罰球心6和0在忧上，讨切Q咎别作AD. SC的垂线交于EF.
⑴设两球体积之和竟F ,
刚r二二卫卅-內=匚鼠一站〔芒-Ry f r：）
—注兌兰F込-
」飞7 I ■T1
一= ■
心咔R寻:
时，炜針「•当恥」字时，栩之和有針值.
点评：耳题充分和用雜旣面，将问题转ft吐平百几何间题，应用三角肠中的迫角关系，建立与球半径巴疋的联爲将球的怵积之和用F醯说表示，应用二姬甑舶團象和性质确定其最小值.本題综台性擾强，是画数与立体几何相结合的典例.
综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要
找准切点，通过作截面来解决•如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对
角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题•解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解•如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确•高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一, 在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界•。