专题一向量的共线问题

专题一 向量的共线问题

运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a 、b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa ；(2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0；(3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |；

(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0.

判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．

【例1】 设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i 、j 分别是坐标平面上x 轴，y 轴正方向的单

位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线．

解 法一 假设满足条件的m 存在，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，

∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，i －2j ＝λ(i ＋m j )，⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝1，λm ＝－2， ∴m ＝－2，∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．

法二 假设满足条件的m 存在，根据题意可知：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，

∴AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，

BC →＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，故1·m －1·(－

2)＝0，

解得m ＝－2，∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．

【例2】 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值． 解 法一 向量k a ＋2b 与2a －4b 平行，则存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )．

∵k a ＋2b ＝k (1,2)＋2(－3,2)＝(k －6,2k ＋4)，2a －4b ＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ∴(k －6,2k ＋4)＝λ(14，－4)．

∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －6＝14λ，2k ＋4＝－4λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－12，k ＝－1.∴实数k 的值为－1.

法二 ∵k a ＋2b ＝k (1,2)＋2(－3,2)＝(k －6,2k ＋4)，2a －4b ＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－

4)，

k a ＋2b 与2a －4b 平行，∴(k －6)×(－4)－(2k ＋4)×14＝0.解得k ＝－1.

专题二 向量的夹角及垂直问题

1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：

(1)cos θ＝a ·b |a ||b |

，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模． (2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21x 22＋y 22，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标．

2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．

3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．

【例3】 已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．

(1)求证：AB ⊥AD ；

(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．

(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．

∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .

(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.

设C 点坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0，y ＝5.∴点C 坐标为(0,5)． 从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16，

设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|

＝1620＝45. ∴矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45

. 【例4】已知向量a ＝(4，－2)，b ＝(x,1)．

(1)若a ，b 共线，求x 的值；

(2)若a ⊥b ，求x 的值；

(3)当x ＝2时，求a 与b 夹角θ的余弦值．

解 (1)∵a ，b 共线，∴－2x ＝4.∴x ＝－2.

(2)∵a ⊥b ，∴4x －2＝0.∴x ＝12

. (3)当x ＝2时，a ·b ＝6，|a |＝20，|b |＝ 5.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝620×5＝35

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