抛物线的焦点弦公式总结学习资料
抛物线焦点弦性质
焦点弦的角平分线性质
总结词
通过抛物线焦点的弦也是该弦所夹角的角平分线。
详细描述
对于给定的抛物线和通过该抛物线焦点的弦，该弦将把与之相交的两个射线平分，也就是说，它是一 个角平分线。这一性质在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与角平分线相关的问题时。
04 焦点弦的应用
在几何作图中的应用
抛物线的性质
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看的性质和定理将被发现和证明。
未来研究可以进一步探索抛物线焦点弦与其他几何图形之间的关系，以 及在各个领域的应用前景。
同时，随着计算机技术的发展，数值模拟和可视化技术可以为抛物线焦 点弦性质的研究提供更多的手段和方法，有助于更深入地理解这一概念。
物体的运动规律。
05 结论
对抛物线焦点弦性质的总结
抛物线焦点弦性质是几何学中的重要概念，它涉及到抛物线、焦点和弦的一系列特 性。
焦点弦是指通过抛物线焦点的弦，它具有一些特殊的性质，如长度、倾斜角等。
这些性质在几何学、光学、天文学等领域有着广泛的应用，对于解决实际问题具有 重要的意义。
对未来研究的展望
焦点弦的面积性质
总结词
抛物线焦点弦将抛物线划分为两个面 积相等的部分。
详细描述
对于给定的抛物线，通过焦点的弦将 该抛物线分为两个面积相等的区域。 这一性质在几何和解析几何中都有所 应用，是抛物线的一个重要特性。
焦点弦的切线性质
总结词
焦点弦在抛物线上的切点与焦点的连线垂直于该弦。
详细描述
对于抛物线上的任意一点，该点处的切线与通过该点和焦点的连线垂直。这一 性质在解决几何问题时非常有用，因为它揭示了切线、弦和焦点之间的特殊关 系。
焦点弦的性质是抛物线几何性质的一 个重要部分，它在解决一些数学问题 中有着广泛的应用。
抛物线焦点弦重要知识点
抛物线焦点弦重要知识点如图所示：抛物线 y2 = 2px 上一动点A （x , y ）,焦点F ），（02P，准线方程x=2P -。
（1）焦半径公式|PF|=2px +; 过焦点F 垂直于x 轴的直线与抛物线交于两点，AB =P x x 21++。
θ（2） 设，直线AB 的倾斜角为，斜率为k ，M 是AB 的中点。
C,D,N 分别是A ，B ，M 点在准线上的射影。
三角形PAB 为等边三角形，PM 垂直平分AB 。
M ,），（），，（2211y x B y x A 221221p ,4x -==y y p x ），（），，（2211y x B y x A θ），（00y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==)2(y px 2y 2p x k px p px x 2)4(k 222=+-04)2(22222=++-p k x p p k x k,,（3）（∠xFA=θ）利用AF cos AF P AA 1=+=θ可得θcos -1PAF =同理可得BF（4）212y -y k11+= （公式中的a 为关于x 的一元二次方程二次项系数,∠xFA=θ）利用两点间距离公式221221y -y x -x AB ）（）（+==2212x -x k 1）（）（∙+θθθ2sin 2cos 1cos 1PP P BF AF AB =++-=+=，过焦点的弦长。
(5) ，（∠xFA=θ） θθsin BF OF 21sin 21S S S OBFOAF OAB +=+=∆∆∆AF OF =AB Psin 41∙θ=θsin 2P 2 (6) 以AB 为直径的园与准线相切。
AB 21BD AC 21MN =+=）（。
直角三角形ABN 中，还有AN.BN=AB.NF.(7) 。
过A 做准线的垂线，垂足为C 点，过B 做准线的垂线，垂足为D 点；连接CF 、DF 。
取AB 的中点为M ，过M 做准线的垂线，垂足为N 点，连接AN 、BN 。
抛物线的几何性质抛物线焦点弦的性质
复习回忆
1.抛物线y2＝2px（p＞0）旳范围、 对称性、顶点、离心率、焦半径分别是 什么？
范围：x≥0，y∈R； 对称性：有关x轴对称；
顶点：原点；
离心率：e＝1；
焦半径：| MF | x0
p
2.
问题提出
过抛物线旳焦点F作直线交抛 物线于A、B两点，线段AB叫做抛物 线旳焦点弦，请你探究焦点弦具有 哪些性质. y A
三角形，那么∠CFD旳大小怎样？
yA C
90°
OF
x
D
B
形成结论
过抛物线y2=2px旳焦点F作直线交抛物线于A、 B两点，焦点弦AB具有如下性质.
1
AB
x1
x2
p
2p
sin2
;
2 AB 有最小值,为通径长2p;
yA D
3 y1 y2
p2 , x1x2
p2 4
;
4 1 1 2 ;
O
M
F
x
AF BF p
课堂小结
1.抛物线有许多几何性质，探究抛物线 旳几何性质，可作为一种研究性学习 课题，其中焦点弦性质中旳有些结论 会对解题有一定旳帮助.
2.焦点弦性质y1y2＝－p2是对焦点在 x轴上旳抛物线而言旳，对焦点在y轴 上旳抛物线，类似地有x1x2＝－p2.
O
F
x
B
探求新知
设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，
y12、) 焦点弦AB旳长怎样计算？
yA
|AB|＝x1＋x2＋p
O Fx B
探求新知
y 2、抛物线旳焦点弦AB旳长是否存
A
在最小值？若存在，其最小值为
多少？
[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案
![[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案](https://img.taocdn.com/s3/m/4d4653f1ec3a87c24028c4c5.png)
[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。
抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦性质总结基本性质 已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102PF =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162=。
抛物线焦点弦性质总结30条
1. 以AB 90(AC 2. 3. '90A FB ∠('A F 4.C F '⊥5.BC '垂直平分B F ' 6.AC '垂直平分A F ' 7.抛物线的准线与x 轴相交于点P ，则.BPF APF ∠=∠ 8.B 、O 、A '三点共线 9. A 、O 、B '三点共线10. 2124p x x = 11. 212y y p =-12. 123222()22sin p p AB x x p x d α=++=+==弦中点到准线 11'('')22CC AB AA BB ==+ 13. 123222()22cos p p AB y y p y d α=++=+==弦中点到准线14. 焦点弦弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，叫通径，焦点弦弦长最短为2p. 有2AB p ≥15. 112AF BF P +=； 1cos P AF α=-； 1cos P BF α=+16. 243p OB OA -=⋅17. 22sin AOB P S α=18. ⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆AF BF BF AF p S AOB 42弦AB 过焦点 19. 23()2AOB S P AB = 20. ||||||2FB FA F C ⋅='; 2A'B'4AF BF =⋅; 1C'F A'B'2=21. AB 3P K =y ； 2p 22y tan =x -α 22. 切点在抛物线上的切线方程 ()x x p y y +=0023. 点)0,(p D 处的结论：点)0,(p 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点： )0,(a A 在点)0,(p 左边时顶点O 到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为a ;)0,(a A 在点)0,(p 右边时横坐标为p a -的两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为22p ap -.24. 设过点()0,p D 的直线交抛物线px y 22=于A 、B ,则=+2211DB DA 21p 25. 点)0,2(p E 处的结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p .（2）2214p x x =，2214p y y -=. 26. 准线上的有关结论：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。
抛物线焦点弦公式大全
抛物线焦点弦公式大全抛物线是几何学中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和公式。
其中，抛物线焦点弦公式是抛物线的一个重要性质，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文将对抛物线焦点弦公式进行详细介绍，包括定义、推导、应用等方面的内容，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。
1. 抛物线焦点弦公式的定义。
抛物线是一个平面曲线，其定义可以用数学方程来表示。
一般而言，抛物线的标准方程为，y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
抛物线上的每一个点到抛物线的焦点处的距离与该点到抛物线的直线焦点弦的距离的乘积是一个常数，这个常数就是抛物线的焦点弦公式所描述的内容。
2. 抛物线焦点弦公式的推导。
为了推导抛物线焦点弦公式，我们首先需要了解抛物线的焦点和直线焦点弦的定义。
抛物线的焦点是到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的直线焦点弦的距离的乘积等于一个常数。
根据这个性质，我们可以利用数学知识对抛物线焦点弦公式进行推导，具体的推导过程略。
3. 抛物线焦点弦公式的应用。
抛物线焦点弦公式在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，抛物线焦点弦公式可以用来解决与抛物线相关的各种问题，如求焦点坐标、求抛物线上任意一点到焦点的距离等。
在物理学中，抛物线焦点弦公式可以用来描述抛物线运动的轨迹和性质，对于抛物线运动的分析和计算有着重要的意义。
4. 总结。
抛物线焦点弦公式是抛物线的一个重要性质，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文对抛物线焦点弦公式进行了详细的介绍，包括定义、推导、应用等方面的内容。
通过本文的阅读，相信读者对抛物线焦点弦公式会有更深入的理解，能够更好地应用于实际问题的解决中。
希望本文能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
抛物线焦点弦经典性质ppt课件
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
y
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
DA 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
8
性质 7：连接 A1F、B1 F 则 A1F B1F
证明： AA1 AF,AA1F AFA1
AA1 / /OF AA1F A1FO A1FO A1FA
2
设直线 L 的方程为： y k(x p ) 即 x y p
2
k2
代入抛物线方程得 y2 2 p y p2 0 k
由韦达定理
y1 y2
p2, y1
y2
2p k
,
y1
y2
2p
1 1 k2
由弦长公式得 AB
1
1 k2
y1 y2
2
p(1
1 tan2
)
2p
sin2
4
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
抛物线焦点弦经典性质10条
1
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做 抛物线的焦点弦。
y
A ( x1 , y1 )
F
O
x
B ( x2 , y2 )
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
y1 y2 y1
y2
则 BB1 平行于 X 轴，同理可证（4）
10
性质 9： 1 1 2 FA FB p
证明：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，
抛物线焦点弦的性质
yA
O x
B
例题讲解
解 :如 图 ,设 O A 的 方 程 是 ykxk0,则 因 OAOB,
故 可 设 OB的 方 程 为 y=-1x. k
yA
由 yy2k2 xpx得 A的 坐 标 2 kp 2,2kp
由y1kx得B的坐标2pk2,2pk
探求新知
B
C
D
过点A、B作准线的
垂线，垂足分别为
C、D，A、O、D
y
三点共线吗？
O
x
F
A
单击此处输入你的正文
证明 kOAkOD
探求新知
8、若直线AO交准线于D，DB与X轴平行 吗？
yA
OF
D
B
x
证明 yDyB
探求新知
9、设点M为抛物线准线与x轴的交点，
则∠AMF与∠BMF的大小关系如何？
A1
yA
O B
x
y2 2px
y2p 由 两 点 式 ,得 AB的 方 程 为 : k
x2 kp 2
2pk2p k
2pk22 kp 2
整 理 ,得 A B 的 方 程 为 :y 2 k p 1 k k2 x 2 kp 2
例题讲解 A B 的 方 程 为 :y2 kp1 kk2xk1 2 p k2
3、A、B两点的坐标是否存在相关
关系？若存在，其坐标之间的关系
如何？
yA
OFx B
y1y2
= -p2,x1x2
=
p2 4
探求新知
4、利用焦半径公式，|AF|,|BF|可作 哪些变形？|AF|与|BF|之间存在什么 内在联系？ y A
抛物线焦点弦性质总结30条
1基础回顾1.以AB2.2124p x x = 3.212y y p =- 4.'AC B ∠=5.''A FB ∠=6.1232)2sin AB x α=+7.112AF BF P +=;8.A、O、'B 三点共线；9.B、O、'A 三点共线；10.22sin AOB P S α= ；11.23()2AOBS P AB = （定值）；12.1cos PAF α=-；1cos PBF α=+；13.'BC 垂直平分'B F ；14.'AC 垂直平分'A F ；15.'C F AB ⊥；16.2AB P ≥；17.11'('')22CC AB AA BB ==+；18.AB 3PK =y ；19.2p 22ytan =x -α;20.2A'B'4AF BF =⋅;221.1C'F A'B'2=.22.切线方程()x x m y y +=00性质深究一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p 在准线上．证明:从略结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6PA ⊥PB ．结论7PF ⊥AB ．结论8M 平分PQ ．结论9PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102PFFB FA =⋅结论11PAB S ∆2min p =二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12①p y y x p 221=，221y y y p +=结论13PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14PFB PFA ∠=∠结论15点M 平分PQ 结论162PF FB FA =相关考题1、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，3（1）证明：AB FM ⋅的值；（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．2、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ；（1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,，（1）试证：4-=⋅n n s x （n ≥1）（2）取n n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）。
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式是：<a>AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}</a>
一、抛物线焦点弦长定义
1、抛物线焦点弦（AB）是抛物线的一部分，它由焦点之间的两个点构成，它们分别为上抛物线上的焦点F1和下抛物线上的焦点F2；
2、抛物线焦点弦的长度表示两个焦点连线的长度，即两点F1，F2之间的直线距离；
二、抛物线焦点弦长公式
抛物线焦点弦长公式是：AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}，其中a为抛物线顶点到水平轴的距离，b为抛物线顶点到垂线的距离，c为抛物线焦点到垂线的距离。
三、抛物线焦点弦长使用
1、由抛物线焦点弦长公式可知，我们可以利用这个公式求出若干特定抛物线的焦点弦的长度；
2、抛物线焦点弦的长度也可用于解决日常生活中的物理问题，比如可以确定抛物线上任意两点之间的距离等；
四、抛物线焦点弦长结论
抛物线焦点弦长公式可以使用来求解抛物线的焦点弦的长度，而且该长度也可以用于解决实际中的一些物理问题。
经过抛物线焦点的弦长公式
经过抛物线焦点的弦长公式1. 抛物线标准方程及焦点坐标回顾。
- 对于抛物线y^2=2px(p>0)，其焦点坐标为((p)/(2),0)。
- 对于抛物线y^2=-2px(p>0)，其焦点坐标为(-(p)/(2),0)。
- 对于抛物线x^2=2py(p>0)，其焦点坐标为(0,(p)/(2))。
- 对于抛物线x^2=-2py(p>0)，其焦点坐标为(0,-(p)/(2))。
2. 经过抛物线y^2=2px(p>0)焦点的弦长公式推导。
- 设过焦点((p)/(2),0)的直线方程为y = k(x-(p)/(2))（当直线斜率存在时），设直线与抛物线的交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程代入抛物线方程y^2=2px得：[k(x - (p)/(2))]^2=2px。
- 展开得k^2(x^2-px+frac{p^2}{4}) = 2px，即k^2x^2-(k^2p +2p)x+frac{k^2p^2}{4}=0。
- 由韦达定理得x_1 + x_2=frac{k^2p + 2p}{k^2}=p+(2p)/(k^2)。
- 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。
对于y^2=2px(p>0)，准线方程为x = -(p)/(2)。
- 弦长| AB|=x_1+(p)/(2)+x_2+(p)/(2)=x_1 + x_2 + p。
- 把x_1 + x_2=p+(2p)/(k^2)代入得| AB| = 2p+(2p)/(k^2)。
- 当直线斜率不存在时，过焦点((p)/(2),0)的直线方程为x=(p)/(2)，代入y^2=2px得y=± p，此时弦长| AB| = 2p，也满足| AB| = 2p+(2p)/(k^2)（当k→∞时）。
- 若设直线的倾斜角为θ（θ≠(π)/(2)），k = tanθ，则弦长| AB|=(2p)/(sin^2)θ。