概率论A卷及答案

黄冈师范学院考试试卷

2001─2002学年度第一学期期末考试A 卷

科目:概率论

姓名:_______

一、叙述下列概念的定义(5分×4=20分):

1.概率的公理化定义

2.古典概型

3.随机变量

4.随机变量序列{ξn }(n=1,2,…)依概率收敛于随机变量ξ

二、选择题(请将每小题唯一正确的答案序号写在答卷纸上,2分×10=20分)

1.已知事件A 与B 互不相容,P(A)>0,P(B)>0,则: A. P( B A

)=1 B.P(AB)=P(A) ·

P(B) C. P(AB)=0 D. P(AB)>0 2.设A 1,A 2,…,A n 是事件,则事件的概率具有的如下性质中不正确的是: A.P(Ω)=1 B.P(Φ)=0 C.P(

n i i

A 1=)=∑=n

i i

A P 1

)( D.P(A i

)≥0 (1≤i≤n)

3.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(A|B)=0.32,则P(B A )= A. 0.42 B. 0.428 C. 0.52 D. 0.528

4.一次抛二枚骰子,出现的点数之和为偶数的概率是

A. 0.5

B. 0.4

C. 0.45

D. 0.6 5.设ξ与η的数学期望和方差都存在,则下列等式中正确的是: A. D(ξ+η)=D ξ+D η B.D(ξ·η)=D ξ·D η C. E(ξ+η)=E ξ+E η D.E(ξ·η)=E ξ·E η 6.设ξ～b(k;n,p),且E ξ=2.4,D ξ=1.44,则n 与p 分别为:

A.n=4,p=0.6

B.n=6,p=0.4

C.n=8,p=0.3

D.n=24,p=0.1

7.设随机变量ξ取两个值a 1,a 2(a 2>a 1),且P(ξ=a 1)=0.6,又E ξ=1.4,D ξ=0.24,则ξ的分布列为:

A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.06.010

B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.06.0b a

C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+4.06.01n n

D.⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛4.06.021

8.设p(x)=cosx 是随机变量ξ的密度函数,则x∈

A.[0,

2π] B.[2

π,π] C.[0,π] D.[23π,47π]

9.已知(ξ,η)的联合密度为p(x,y)=⎩

⎨

⎧≤≤≤≤-其它,00,10,)1(24x

y x y x ,则)|(|y x p ηξ=

A.⎩⎨⎧≤≤≤≤其它,00,10,2x y x y

B.⎩

⎨⎧≤≤≤≤-其它,00,10),1(2x

y x y

C.⎩⎨

⎧≤≤≤≤其它,00,10,2x y x x D.⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它,

00,10),1(2x

y x x

10.设ξ～U[0,1],则ξ的特征函数为:

A.it e it 1--

B.it e it

C.it e it -

D.it

e it 1

-

三、判断题(对的打“√”,错的打“×”,并请将答案写在答卷纸上,2分×5=10

分).

1.若随机变量ξ～e(λ),则有ξλξD E =.

2.若随机变量ξ与η的协方差为cov ()ηξ,,且ξ与η相互独立,则cov ()ηξ,=0.

3.二维连续型随机变量⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=21ξξξ的协方差矩阵B 是正定矩阵. 4.设有一列随机变量,,,,21 ηηη若()∞→−→−n L

n ηη,则)(∞→−→−

n P

n ηη. 5.设ξ与η独立,都服从(0,1)上的均匀分布,则⎩⎨⎧<<=其它,010,1)|(|x y x p ηξ.

四、填空题(请将答案写在答卷纸上,2分×5=10分)

1.设随机变量()ηξ,的联合密度为p(x,y),ξ与η独立,则p(x,y)=________________.

2.设随机变量ξ的密度为p(x)=⎩

⎨⎧<<其它,02

0,5.0x x ,则ξ的一阶原点矩为__________,一阶

中心矩为__________.

3.设D(X),D(Y)都不为０,若有常数a≠o 与b,使Ｐ{Y=aX+b}=1,这时X 与Y 的相关系数

XY ρ= .

4.设()ηξ,～N(1,1,2,2,0),则E ξ=_______,D η=________,cov

()ηξ,=________.

5.设()ηξ,～N(1,1,1,1,1),则E(ξ|η=2)=__________.

五、计算题(10分×4=40分)

1.N 个人同乘一辆长途汽车,沿途有n 个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车.设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的平均数.

2.从5双不同尺码的鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?

3.一个螺丝钉的重量是个随机变量,其期望值是1克,标准差是0.1克.求一盒(100个)螺丝钉重量大于102克的概率.(已知Φ(2)=0.97725)

4.设ξ与η相互独立,分别是自由度为n 及m 的2χ-分布的随机变量,试求m

n η

ξ

ζ=

的密度函数.

·绝密·

卷号：

黄 冈 师 范 学 院 考 试

试题参考答案及评分标准

专业名称：数学及应用数学 试卷类型： A 卷 课程名称： 概 率 论 命题日期：2001-12-23

一、叙述下列概念的定义(每小题5分，共20分)

1.概率是定义在σ-代数ℱ上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数.

2.具有下述两个特征的随机试验所对应的数学模型称为古典概型.

(1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个，不妨设为n 个，记为1ω、2ω、…、n ω； (2)每个基本事件出现的可能性是相等的，即有)()()(21n P P P ωωω=== . 3.定义在样本空间Ω上，取值于实数域R 的变量)(ωξξ=，称作随机变量.

4.如果0>∀ε，有1)|(|lim =<-∞

→εξξn n P ，则称随机变量序列}{n ξ依概率收敛于ξ.记作

ξξP n n ∞

→lim 或)(∞→−→−n P

n ξξ. 二、选择题(每小题2分，共20分)

1.C

2.C

3.B

4.A

5.C

6.B

7.D

8.A

9.D 10.D

三、填空题(每小题2分，共10分)

1.)()(y P x P ηξ⋅

2.

3

4

, 0 3.1± 4. 1 , 2 , 0 5. 2 四、判断题(每小题2分，共10分)

1.√

2.√

3.×

4.×

5.√

五、计算题(每小题10分，共40分)

1.解：设停车次数为ξ.

令i ξ表示在第i 站停车的次数，则⎩⎨

⎧=.,1;,0站有人下车

在第站无人下车

在第i i i ξ(i =1，2，…，n ).