第九章 二重积分 复习题答案

第九章 二重积分 复习题答案
一、单项选择题
1、设D 是由曲线x y x 422=+围成的闭区域，则
(
)
⎰⎰+D
d y x f σ22=（ C ）
A.
()
dr r
f d ⎰
⎰π
θ0
1
2
B.
()
rdr r f d ⎰⎰
-22
sin 40
2π
πθ
θ
C.
()rdr r
f d ⎰
⎰
-
2
2
cos 4
2
π
π
θ
θ D. (
)
dr r f d ⎰
⎰
-
2
2
cos 40
2π
π
θ
θ
2、设f 是连续函数，D 是由0,122≥≤+y y x 确定的区域，
则
=+⎰⎰σd y x f D
)(
22（ A ）。

A 、 1
0()d rf r dr π
θ⎰
⎰ B 、
21
0()d rf r dr π
θ⎰
⎰
C 、
10
()d f r dr π
θ⎰⎰ D 、210
()d f r dr π
θ⎰⎰
3、设22:14, D x y ≤+≤则
2D
dxdy =⎰⎰（ D ）
A.3π
B.4π
C.30π
D.6π 4、设D 是由直线,2,1y x y x y ===围成的闭区域，则D
dxdy =⎰⎰（ B ）
A 、
12 B 、14 C 、1 D 、32
5、设积分区域D 是由圆2
2
x y Ry +=围成，则二重积分
22()D
f x y d σ+=⎰⎰
（ D ）
A 、2
sin ()00R d f r dr π
θθ⎰⎰ B 、22sin ()00
R d f r rdr πθθ⎰⎰
C 、
2sin ()0
0R d f r dr π
θθ⎰⎰
D 、2sin ()00
R d f r rdr πθ
θ⎰⎰ 6、若{}
22(,)12D x y x y =≤+≤，则二重积分D
d σ⎰⎰＝（ C ）
A.
2π B. 2
π
C. π
D. 3π
二、填空题：
1、变换二次积分⎰⎰
⎰⎰
-+=21
20
100
),(),(y
y
dx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，
则=I ⎰
⎰
-=
1
2),(x
x dy y x f dx I ；
2、改变二次积分21
(,)y
y
dy f x y dx ⎰
⎰的积分次序，则I = ⎰⎰
1
),(x
x
dy y x f dx ；
3、改变二次积分210
(,)x dx f x y dy ⎰⎰
的积分次序，
可得
2
1
(,)x dx f x y dy ⎰⎰
=_______
⎰⎰
10
1),(y
dx y x f dy ;
4、若D 是由直线 1,1,1,1=-==-=y y x x 围成的矩形区域，则
⎰⎰=
D
dxdy 2
5、交换二次积分1(,)00y I dy f x y dx =
⎰⎰的积分次序，则I =
⎰
⎰1
1),(x
dy y x f dx ___;
三、计算题：
1、求
⎰⎰
+D
dxdy y x )2(，其中D 是由曲线2
x y =和0=+y x 围成的闭区域. 10
1
|)1022()2223(|)2
2()2()2(:015
4
3
1
4
3201201
22
-=---=⋅---
=⋅+=+=+------⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x dx x x x dx
y xy dy y x dx dxdy y x x
x D
x
x
解
2、求
σd y x D
⎰⎰
+22，其中D 是由圆周x y x 222=+所围成的闭区域。

.
932)]311()311[(38|)3sin (sin 38sin )sin 1(38
cos 38|3
cos 2,cos 2
,1)1(2:22
322222
32
2
cos 20
22
cos 2032
2
2222=
+---=-=⋅-=⋅=⋅=⋅=+=∴==+-⇒=+-----
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰π
ππ
ππππ
πθ
π
π
θ
θθθθθθθθσθ
θd d d r rdr r d d y x r r
y x x y x D
则如右图
解
3、求
2
2()
x y D
e dxdy -+⎰⎰,其中22:25D x y +≤。

)
1((|)1(21)1(21|21)(2
1:2520252025
205020502
20
5
)
(222
22
------+--=⋅--=⋅--=⋅-
=--
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e d e d e r d e d rdr e d dxdy e r r D
r y x
πθθθθθπππππ
解
4、求
⎰⎰D
dxdy y y ,sin ，其中D 是由直线x y =与抛物线x y =2
所围成的闭区域。

1
sin 1|sin 01cos 1cos 1cos |cos 11cos cos |cos )sin (sin |sin sin sin )
1,1()0,0(,:101
101
101
1010222-=--+-=-++-=+-=-=⋅⋅==⎩⎨⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y ydy
y y y yd y dy y y y dy x y y dx y y dy dxdy y y 、x y x
y y
y D
y y 得由方程组解
.
5、求
(2)D
x y dxdy +⎰⎰
，其中D 是由抛物线2
y x =与直线,1y x x =-=围成的闭区域.
10
11|)1022()2223(|)22()2()2()
1,1()0,0(,:105431
04321
021
02
2
2
=++=⋅++=⋅+=+=+-⎩⎨
⎧-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x x x dx x x x dx y xy dy y x dx dxdy y x 、x
y x y x x D
x x 得由方程组解 6、求2
2
11D
dxdy x y
++⎰⎰
，其中{}
22(,)1,0,0D x y x y x y =+≤≥≥。

)12(2
|)12()12(|2
1)
1(21)
1(11
2111
11:20
2
20
10
12
1220
1
201022
22
2
-=
-=-=⋅+=++=+=++⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰+-π
θθ
θθθππ
π
ππ
d d r r d r d rdr r d dxdy y
x D
解
四、证明题：
设),(y x f 在区域{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,),(上连续，
且(,)()()f x y h x g y =，则
(,)()()b d
a c D
f x y dxdy h x dx
g y dy ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰⎰
⎰⎰ 。

dy y g dx x h dy y g dx x h dy y g x h dx dxdy x g x h dxdy y x f y g x h y x f d y c b x a y x D y x f b a
d
c
b a
d c
D
D
b
a
d
c 证毕右式左式且上连续在区域证明,])(][)([)()()()()()(),()
()(),(},|),{(),(:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰======∴=≤≤≤≤=。