01命题逻辑04(证明方法)

定义3.3 自然推理系统P定义（续）
（11）合取引入规则： （12）破坏性二难推理规则：
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自然推理系统
例2 ：设 p:丽莎工作表现好。q：丽莎得到了 奖金。r：丽莎去度假。s：丽莎去航海。
1.4命题逻辑的推理理论
• 内容：
命题公式的蕴涵式 基本蕴涵式 直接证明法 间接证明法 反证法/归谬法
• 目标： 熟记基本蕴涵式 熟练利用上述各种证明法论证任意推理的有
效性
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3.如果我的办公桌上有支票簿，则说明我已经付过电 话费。我在吃早饭时查看电话账单或在办公室查看 电话账单。如果在早餐时查看电话账单，则支票簿 在早餐桌上，说明我没有付电话费。如果我在办公 室查看电话账单，则支票簿在我的办公桌上，支票 簿到底在哪里？
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推理证明
2.如果丽莎今年工作表现好，她会得到奖金。 如果她得到奖金，她会去度假。如果她去度 假，她会去航海。丽莎没有去航海，因此她 没有得到奖金。
证明：设 p:丽莎工作表现好。q：丽莎得到了 奖金。r：丽莎去度假。s：丽莎去航海。
AX(I)。 (4)推理规则集，记作R(I)。
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定义3.3 自然推理系统P定义
1．字母表 （1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→, （3） 括号和逗号：( , )，， 2．合式公式 同前面定义 3．推理规则 （1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引
定义3.3 自然推理系统P定义（续）
（4） 假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公 式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律 (A→B)∧A=>B可知，B是A→B和A的有效结论。 由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。 用图式表示为如下形式：
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命题公式的关系
• 逻辑等值（logically equivalent） AB 设A、B是公式，如果在任意解释Ｉ下，
AB是重言式，则称公式A、B是等值的。
• 逻辑蕴涵（logically imply） A B 设A、B是公式，如果在任意解释Ｉ下，
A → B是重言式，则称公式A逻辑蕴涵B。
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应用系统中的推理规则进行推理演算，得到 的公式是推理的结论。 （2）公理推理系统----只能从若干给定的公理 出发，应用系统中推理规则进行推理演算， 得到的结论是系统中的重言式，称为定理。
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推理的形式化为：p→q, q→r, r→s, s⇒ q
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自然推理系统
定义3.2 一个形式系统 I 记为: <A(I)，E(I)，AX(I)，R(I)>
由下面四个部分组成： (1)非空的字符表集，记作A(I)。 (2)A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。 (3)E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作
定义3.3 自然推理系统P定义（续）
（5） 附加规则：
（6） 化简规则：
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定义3.3 自然推理系统P定义（续）
（7） 拒取式规则： （8） 假言三段论规则：
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间接证明法
例：┐p∨q, r∨┐q ,r→s => p→s
①p
附加前提引入
② ┐p∨q
前提引入
③q
①②析取三段论
④ r∨┐q
前提引入
⑤r
③ ④析取三段论
⑥ r→s
（A1∧A2∧…∧Ak )→ B 1
• 间接证明法（indirect proof）
(A1∧A2∧…∧Ak ) →(A → B) (A1∧A2∧…∧Ak ∧ A ) → B 1
• 反证法/归谬法（proof by contradiction）
1(A1∧A2∧…∧Ak)→ B (A1∧A2∧…∧Ak ∧ B) (A1∧A2∧…∧Ak ∧ B) 0
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基本蕴涵式
(1)化简律：AB=>A, AB => B (2)附加律：A => AB, B => AB (3)假言推理： A ( AB) => B (4)拒取式：(AB)B => A (5)析取三段论：(AB) B => A (6)假言三段论：(AB) (BC) => AC (7)等价三段论： (A↔B) (B ↔ C) => A↔C (8)二难推理： (AC)(AB)(CB) => B (9)构造性二难： (AB)(CD)(AC) => BD
例题解（1）
1.如果自然数N是偶数，那么N+1也是偶数。 解：设 p：自然数N是偶数。 q： N+1是偶数。
命题符号化为：p → q 此命题的真值根据N的取值确定。
p
q
0
1
1
0
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p→q 1 0
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(10)破坏性二难：
(AB)(CD)(BD) => AC
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逻辑推理
1.如果下雨，则菜价会上涨。菜价上涨了，因此下了 雨。
2.如果丽莎今年工作表现好，她会得到奖金。如果她 得到奖金，她会去度假。如果她去度假，她会去航 海。丽莎没有去航海，因此她没有得到奖金。
例题解（3）
3.如果4能够整除整数K，那么2也能整除K。 解：设 p：4能够整除整数K。
q： 2也能整除K。 命题符号化为：p → q 此命题为永真命题。即有 p ⇒ q
p
q
p→q
0
0
1
0
1
1
1
1
1
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定义3.3 自然推理系统P定义（续）
（9） 析取三段论规则：
（10） 构造性二难推理：
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推理的形式化为：p→q, q→r, r→s, s⇒ q
证明：
① q→r
前提引入
② r→s
前提引入
③ q→s
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① ②假言三段论
④ s
前提引入
⑤ q
③ ④拒取式
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第一部分 数理逻辑
Mathematical Logic 哈尔滨工程大学校级精品课—离散数学
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推理的形式结构
• 有 限 命 题 序 列 A1,A2,…Ak,B 称 为 推 理 （ 或 论 证 （ argument ） ） 。 A1,A2,…Ak 称 为 推 理 的 前 提 （premise），B称为推理的结论（conclusion）。
• 当且仅当A1∧A2∧…∧Ak → B为重言式时，称由 前提A1, A2,… Ak推出B的推理是有效的（或正确 的），并称B是该前提的有效结论。
① s
前提引入
② r→s
前提引入
③r
① ②拒取式
④ (p∧q) →r
前提引入
⑤ (p∧q)
③ ④拒取式
⑥ p∨ q
置换规则
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证明技术
• 直接证明法（direct proof）
证明推理的有效性
例4 ：如果丽莎有天赋且努力工作，在可以找到好工 作。如果她找到好工作，则她会幸福。因此，如果 她不幸福，那么她没有努力工作或她没有天赋。
证明：设 p:丽莎有天赋。q：丽莎努力工作。r：丽莎 找到好工作。s：丽莎幸福。
则推理的形式化为：(p∧q)→ r, r→s, s⇒ p∨ q
入前提。 （2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的
结论都可以作为后继证明的前提。 （3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中
的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式 序列中的又一个公式。
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推理证明
1.如果下雨，则菜价会上涨。菜价上涨了，因 此下了雨。
证明：设 p: 下雨。q: 菜价上涨。 推理形式化：p→q, q⇒ p ((p→q)∧q) →p
⇔((p∨q)∧q)∨p ⇔(p∨q) ∨q∨p ⇔(p ∧q) ∨q∨p ⇔q∨p—非重言式
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命题逻辑的蕴涵式
例1.符号化下列命题并确定真值 1.如果自然数N是偶数，那么N+1也是偶数。 2.如果2是偶数，那么3也是偶数。 3.如果4能够整除整数K，那么2也能整除K。
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• 形式结构记为：
或为
A1 ∧ A2 ∧ … ∧Ak =>B
{A1 ,A2 ,… ,Ak}|- B。
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重言式的证明方法
• 真值表法 • 等值演算法 • 主析取范式法 形式演算系统 （1）自然推理系统----从任意给定的前提出发，
前提引入
⑦s
⑤⑥假言推理
[⑧ p→s
cp规则]
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论证下述推理的有效性
• 已知一起盗窃案的事实如下： • A或B盗窃了x；若A盗窃了x，则作案时间不能发生
在午夜前；若B证词正确，则在午夜时屋里灯光未 灭；若B证词不正确，则作案时间发生在午夜前； 午夜时屋里灯光灭了。B盗窃了x。 • 证明：设 P：A盗窃了x；Q：B盗窃了x；
例题解（2）
2.如果2是偶数，那么3也是偶数。 解：设 p：2是偶数。 q：3是偶数。
命题符号化为：p → q 因为p为真命题，q为假命题，所以此命题 为永假命题
p
q
p→q
1
0
0
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