一元线性回归方程

2.F检：是对全部回归系数进行一次性显著性检验
（方程显著性检验）
其 表 达 式 为 ：F

Hale Waihona Puke S余S回 / m/（n m 1）
回归模型显著性检验步骤为：
(1) 根据α以及分子(m)和分母(n-m-1)的自由度，查
F分布表得临界值Fc ；
(2)作出判断
①当F>Fc(α,m,n-m-1),
则回归模型具有显著水平，x和y之间的变化是符
年 份
人均收入（元） 人均消费(元）
1980
480
420
1984
640
580
1981
510
450
1985
780
620
1982
545
490
1986
760
680
1983
590
530
在表中，x—人平均收入，y—人平均消费支出。
从表中可知，x和y呈现线性规律，设回归线性方程为：
ŷi=a+bx
(1)
由（1）可得到x和y之间的定量关系表示为：
其中：x xi —自变量的平均值； n
y yi —因变量的平均值。 n
（8）
五、可靠性检验
为了避免误差过大，确定a和b之后，在允许误差
的情况，进行可靠性检验。
1.R检验
检验x 与y之间的线性相关的程度。
其数学表达式为： R
n xy- x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
三、回归参数估计
由一组观察值 画出散点图,如右图所
示,这样的直线可画出很多条,而回归直 线只有一条，因为只有回归直线最接近 实际观察值。要拟合一条最理想的回归 直线，就要确定a和b。确定a和b的 方法有多种，其中应用最多的是最小二 乘法。
四、最小二乘法
yˆ i
( xn , yn )
( x1(,xy2 1,)y回2()x归i ,y直i )线
一元线性回归 二元线性回归 多元线性回归
二、一元线性回归方程（Element Linear Regression ）
经济变量之间通常存在着因果关系。 例如,收入和消费;价格与需求量之间,都有一定的 关系。下面是1980年以来人平均收入和人平均消费支 出的 七组数据，见下表:
年 份
人均收入（元）人均消费（元）

2
n i 1
(
yi

a

bxi
)

0
（4）
Q
n
b

2
i 1
( yi
a bxi )xi
0
（5）
n
n
n
由（4）得： yi a bxi 0 yi na b xi
i 1
i 1
i 1
（6）
n
n
n
由（5）得： xi yi axi xibxi 0
chap7 回归分析预测法
一元线性回归预测法 多元线性回归预测法 非线性回归预测法 虚拟变量回归预测法
本章学习要点：
本章重点是要掌握回归分析预 测的原理与方法、步骤，特别是 能从实际出发解决一元线性回归 的预测问题。
第六章 回归分析预测法
回归分析起源于生物学的研究。 英国的著名生物学家达尔文在19世纪末，发现父 亲的身高与儿子的身高之间有密切的关系。一般来说， 父亲身材高大的，其子也比较高大，父亲矮小的，其 子也比较矮小。但是，在大量的研究资料中，又发现 身高有一种向平均身高回归的倾向，即身高很高大的 父亲，其子比父亲略矮；反之，很矮的父亲，其子比 父亲略高。这种身高倾向平均数的现象称为回归
对于观察数据量n ≤30的小样本而言，因变量y的
估计值ŷ0的置信区间为：[ŷ0-δ， ŷ0+ δ]
（18）
其中： t ( / 2,nm1) S y
1 1 n
(x0 x)2 (xi x)2
（19）
式中：t（ / 2,nm1) — 在 / 2显著水平，(n - m -1)的t分布的临界值；
xi yi a xi b xi2（7）
i 1
i 1
i 1
由（6）、（7）解得a,b分别为：
a
yi
n
b xi n

y bx

b

n

n
xi yi xi 2 (
xi
yi
xi )2
xi yi nxy xi 2 nx 2
(Regression)。
经济领域中的许多问题，也可用回归分析来预测， 并且取得了很好的效果。
一元线性回归方程预测法
回归分析预测就是通过对观察数 据的统计分析和处理来研究与确定事物间相 互关系和联系形式的一种方法。是确定变量
之间函数关系的一种有利的工具。
一、回归预测分类
回归预测
线性回归 非线性回归
yi a bxi i ˆyi i
(2)
其 中 i 随 机 误 差 ， 是 一 个 均 值为 0方 差 为 2的 随 机 变 量 。
即 服 从 正 态 分 布 ， i N(0 , 2 ); i — 1，2，，n
其中：(2) —一元线性回归方程；
a 和b—回归系数 ；a—截距;b—斜率。
图 回归直线的散点图 t
设任意一个回归值ŷi实际观察yi 之间存在的误差
为ei,令
Q

n
ei2

min
有:
n i1
n
n
2
Q ei2 ( yi yˆi ) ( yi a bxi ) min （3）
i 1
i 1
i 1
即对（3）求极值，有：
Q
a
（1）当：0≤ |r| ≤ 1
若r与b取同号,则有：
b>0，r>0,表明x和y同方向变化,称为正相关；
若r与b取同号,则有：
b<0，r<0，表明x和y反方向变化,称为负相关。
(3)从相关系数临界表中查出rc
根据 n-m-1(自由度)和α(显著性水平)在相关系数 临界值表上可查出rc。 （4）作出判断 当|r|≧rc，则x和y之间线性相关性显著，检验合格， 预测模型有效； 当|r|<rc, 则x和y之间线性相关性不显著，检验不合格， 预测模型无效； 此时要分析原因，对回归模型重新处 理，至到检验合格。
合回归模型；
②当F≤FC(α,m,n-m-1)时，
则回归模型没有显著水平，x和y之间的变化不符
合回归模型的变化，预测模型无效。
六、预测区间估计
(一)有关概念： 点估计 (Point estimate)
给定值x0，ŷ=a+bx,就可以得到一个ŷ0。
区间估计(Range estimate) 指出有效区间，这个区间又称为置信区间。