有限闭区间连续函数的性质

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(a,b),使p( ) 0.
例7. f :[0,1] [0,1], f C[0,1],
求证:x* [0,1],使f ( x* ) x* . 证明:令F ( x) f ( x) x,
易见F ( x) C[0,1], F (0) f (0) 0,
F (1) f (1) 1 0.
lim lim n
(bn an )
n
ba 2n
0.
满足: f (an ) 0, f (bn ) 0
由闭区间套定理:
[an ,bn ],使得 lim an lim bn .
从而: n1
n
n
由f (an ) 0 f (bn ),令n ,f ( ) 0且f ( ) 0,
f ( ) 0.
根据柯西收敛准则,lim f ( x)存在; xa 同理 : lim f ( x)存在. xb
二、有界性定理
定理:f Ca,b, f在a,b上有界.
证明:若不然,设f ( x)在[a,b]上无上界.
n N * ,xn [a,b],使f ( xn ) n,
{ xn } [a, b], 有收敛子列{ xkn },
若F(0) 0或F(1) 0, x* 0或1. 若F(0) 0, F(1) 0,x* (0,1),
x[a ,b]
x[a ,b]
则必x* , x* [a,b],使f ( x* ) M , f ( x* ) m.
证明:
由于f有界, 故m, M为有限数, 根据上确界定义:
n N*,xn [a,b],使
M1 n
f (xn ) M,
xn [a,b], 有子列收敛,

lim
n
xkn
x* [a,b].
1
M
kn
f (xk ) n
M.
令n 可知f ( x* ) M .
同理可证:
x* [a, b], 使f ( x* ) m.
四、零点定理
定理:f C[a,b], 且f (a) f (b) 0,则 (a,b),
使f ( ) 0.
(即方程f ( x) 0在(a, b)内至少有一个实根)
由于sn a, b, 必有收敛子列{skn },
lim
n
skn
s a, b.
1
tk n
s
tk n
sk n
sk n
s
kn
sk n
s
0.
lim
n
t
k
n
s.
由f连续: lim f (sk ) f (tk )
n
n
n
f (s) f (s) 0,
但由题设: f (skn ) f (tkn ) 0 , 矛盾.
例4. 证明方程2x 4x 0在(0, 1)内至少有一个根.
2
证明:令f ( x) 2x 4x, f ( x)C[0, 1].
2
f (0) 1 0, f (1) 2 2 0. 2
x0
(0,
1), 2
使f
(
x0
)
0,
x0
是方
程的根.
例5. 证明方程x3 x2 4x 1 0在(3,2)
lim
n
xkn
[a , b].
由f连续, lim n
f (xkn )
f ( )存在.
但由f
( xkn
)
kn
n,有 lim n
f
( xkn
)
,矛盾.
例3. 设f Ca,,且 lim f ( x)存在. x 求证:f ( x)在[a,)有界.
证明:设 lim f ( x) A, x N a,使x N时,| f ( x) A | 1. ① | f ( x) || f ( x) A A || f ( x) A | | A | 1 A.
即f在(a, b)内一致连续.
例2. f在(a,b)内一致连续,则f (a ),f (b )存在.
证明:
0, 0,当x1, x2 (a,b),且 | x1 x2 | 时,
有 | f ( x1) f ( x2 ) | .
x1, x2 (a,a )
·· x

1
x2

a a
0 x1 a ,0 x2 a ,有 | f ( x1 ) f ( x2 ) | .
② 在[a, N ]上f连续,必有界.
x [a, N ],| f ( x) | M .
③ 令L 1 | A | M,则对一切x [a,),
总有 | f ( x) | L.
三、最值定理
定理:设f C[a,b],则f必能取到最大值和最小值.
记M sup f ( x), m inf f ( x).
例1. f Ca,b, 且f (a )和f (b )存在,
求证:f在(a, b)一致连续.
证明: 令 lim f ( x) A, lim f ( x) B.
xa
xb
A
~f (x) f ( x)
x a, x (a,b),
B
x b.
~f ( x)在[a,b]内一致连续,从而~f ( x)在(a,b)内也一致连续.
内恰有三个根.
证明:令f ( x) x3 x2 4x 1, 则f ( x) C[3,2].
f (3) 5 0, f (0) 1 0,
f (1) 1 0, f (2) 5 0.
在(3,0),(0,1),(1,2)内至少各有一个实根.
而方程至多有三个根. 恰有三个实根.
例6. 证明任意奇次方程必有实根.
证明:
设p( x) x2n1 a0 x2n a1 x2n1 a2n1 x a2n ,
可见p( x) C(,).
p( x)
x2n1(1 a0 x
a1 x2
a2n1 x2n
a2n x 2n1
)
lim p( x) , lim p( x) .
x
x
故存在a b, p(a) 0, p(b) 0.
证明:(用区间套)不妨设f (a) 0, f (b) 0.
[a,b]二等分
f (a b) 0, a b ,
2
2Байду номын сангаас
f
(
a
2
b
)
0
[a1
,
b1
]
[a
,
a
2
b
],
f
(
a
2
b
)
0
[a1
,
b1
]
[
a
2
b
,
b].
重复上述步骤,得闭区间套:
[a, b] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [an , bn ] ,
2008/11/04
§2.10 有限闭区间上连续函数的性质
一、一致连续性定理 (康托定理)
定理:f C[a,b],则f在[a,b]上一致连续.
证明:利用列紧性证明
假设f在I上不一致连续, 0 0,n N * ,
sn , tn , sn tn
1 使得: n
f (sn ) f (tn ) 0.
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