高考数学数列不等式证明题放缩法十种办法技巧总结

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【数列】放缩证明不等式的4种方法(数列难点)

【数列】放缩证明不等式的4种方法（数
列难点）
数列放缩证明不等式的方法有很多，以下是其中4种方法：
- 直接求和再放缩：通过求和的方式将原式进行化简，再进行放缩证明。

- 先放缩再求和：通过放缩将原式进行化简，再通过求和的方式证明。

- 等差数列：将原式中的数列通过放缩转换为等差数列，再进行证明。

- 等比数列：将原式中的数列通过放缩转换为等比数列，再进行证明。

在使用放缩法证明不等式时，需要根据数列的特点选择合适的放缩方法，并进行严谨的证明。

不等式放缩技巧十法

不等式放缩技巧十法一、Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是不等式放缩的基础。

对于任意实数a1,a2, …, an和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1+ a2b2 + … + anbn)^2Cauchy-Schwarz不等式可以解决很多不等式问题，如证明两个序列的和的平方大于等于两个序列平方的和。

二、Holder不等式：Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式。

对于任意实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn以及p, q满足1/p + 1/q = 1（其中p，q为正实数），有如下不等式成立：(，a1，^p + ，a2，^p + … + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + … + ，bn，^q)^(1/q) ≥ ，a1b1 + a2b2 + … + anbn Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式，不仅适用于实数，也适用于复数，可以使用Holder不等式解决更多类型的不等式问题。

三、Schur不等式：Schur不等式是不等式放缩中的重要不等式。

对于任意非负实数a, b, c和非负实数r，有如下不等式成立：a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)≥0Schur不等式在证明其他不等式时经常被使用，尤其在三角形不等式的证明中发挥着重要作用。

四、AM-GM不等式：AM-GM不等式是代数平均-几何平均不等式的缩写，对于任意非负实数a1, a2, …, an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ (a1*a2*…*an)^(1/n)AM-GM不等式是解决不等式问题中常用的一种方法，可以将最大化或最小化转化为相加或相乘的形式。

数列不等式放缩技巧

数列不等式放缩技巧何谓放缩？就是当要证明不等式A<B成立时，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法，简称放缩。

在高考数列不等式中，常常伴随着类似形式的不等式证明，这类式子无法通过求和化简或数学归纳法证明，然而通过适当的放缩技巧，却能快速使问题简单化。

【知识技巧】1、放缩的几种形式：①构造特殊数列求和进行放缩；技巧积累：(1)；(2)（3）(4)(5)(6)(7)②应用基本不等式或函数单调性放缩；③加强命题，转化为数学归纳法证明题（注意点：形式、方向、首项）。

2、放缩的注意事项①熟练掌握裂项技巧，如：，这类数列由于可以裂项求和，所以在证明不等式时，大可不必放缩；②放与缩要注意形式、方向和首项，要注意放缩度的把握。

③可以只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项）。

【例题讲解】1、通项公式的放缩1、（2013广东理）设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求数列的通项公式;(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.2、求证:3、（2012广东理）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有.2、递推式的放缩1、已知,求证:当时,2、已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．3、加强命题1、数列中，，对任何，都有。

（1）求通项公式；（2）证明：对任何，4、利用不等式或函数放缩1.设,求证解析: 此数列的通项为，，即2、设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）当时，证明.解析:（过程略）.证明（II）：由知，∵，∴.∵当时，，∴.证明（Ⅲ）：由知.∴恰表示阴影部分面积，显然④∴.【课后练习】1、（2014广东文）设各项为正数的数列的前和为,且满足(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有2、(2014新课标2理)已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：.3、已知,,求证:.4、已知数列中，。

放缩法技巧全总结

放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析n35 (12) 11)1()1()1)(1(23--+⋅⎪⎪⎭ ⎝+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(21112131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i nin1+例解所以当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n.n++-m k 11]例例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n+++--<++++ΛΛ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ解析例-in i n -取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ例11.求证:e n <+⋅⋅++!11()!311)(!211(Λ和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案题) 例13.证明:)1*,()1(ln 4ln 3ln 2ln >∈-<++++n N n n n n Λ 例解析即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n来放缩：.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=na a i i a a n n i i i n i ，即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(kg x g ≥而,2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k kk k k f k f k g -=-==-+=即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+令,,b x k a x=-=则.b a k +=例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x)n x +令2)1(n x n +=,有所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n nn n ∈++>++++++Λ(方法二)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++21114ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(222n n n n n n n n n 所以)2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n Λ 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 和)0,0(>>>++<m b a m a mb a b记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:121211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和121211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得 ⇒例2)21n n > 例{}n B 满足OA . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n +=∴=∈,又直线nnA B 在x 轴上的截距为n a 满足显然，对于1101nn >>+，有*14,nn a a n N +>>∈(2)证明：设*11,n n nb c n N b +=-∈，则设*12,n n S c c c n N =+++∈L ，则当()*221k n k N =->∈时，212311112222222k k k -->⋅+⋅++⋅=L 。

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结最强大)

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC T rr r n r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n nn n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n af a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln ab k a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故若存在正整数k m ≤, 使b a m≥,则b a ak k ≥>+1,若)(k m b am≤<,则由101<<≤+)(|ln |11111 例5.已知m m m m mn S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n+≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m kkm 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n na24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++n T T TT . 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n n n nT -+-=-----=+++-++++= 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n n T T TT 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ . 解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++cause⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n nn ααααααα2例10.)1ln(ln 1-->-n n n所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n<+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x xx x f ,令0)('>x f有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n a aa n n +==+++证明2nae <.解析: nn n n n a n n a n n a)21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n aln )21)1(11ln(ln 1++++<+然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅；2)1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,2222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ：2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211kk k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 21k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀“小者小,大者大”。

解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法构造单调函数实现放缩。

例：()(0)1x f x x x=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。

高考数学压轴题放缩法技巧全解

放缩技巧全解证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 技巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Trr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n(2)求证:n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n n x x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212191817161514131213131216533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα例10.n2nn 2132+例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n aln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a nn a )2111(21⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。

不等式放缩技巧十法

第六章不等式第二节不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一利用重要不等式放缩1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ， )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例 2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f [简析] 411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++∙ 1(1)()(1)22f f n ⇒++>-⨯211(1)(1)2222n+-++-⨯⨯ 1111111(1).42222n n n n -+=-+++=+- 例3 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- .简析不等式左边123nn n n n C C C C ++++=12222112-++++=-n nn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> =212-⋅n n ，故原结论成立.【例4】已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2x y xy x y R +≤∈，所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++2222221212111.2222nna a a x x x ++++++=+=+= 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。

数列不等式中的放缩法

数列不等式中的放缩法数列不等式的证明是高中数学一个难点,期中最常见的方法是放缩法,这种方法的思维跳跃性大,不好控制,笔者在多年的教学实践中总结下列几种常见的放缩法.一．裂项放缩例1，已知an=1n2,sn=a1+a2+ …+an 求证sn1)∴sn=a1+a2+ …+an 1),∴sn=a1+a2+ …+anb1所以我们要从第2项开始放大:即要使12=b21-q 取q=12 则b2=14 当n=1时b1=1当n>1时bn=12n+1满足an bn所以sn=a1+a2+a3……+aAT/JINeXTrwZDSX3Y/qtUw==n构造无穷递缩等比数列的方法证明数列不等式是通用方法,其中b1和q的取法是多样的,但是要注意始终保证an bn条件下确定是从第几项开始放大，当然有时候存在前面几项放得太大,也需要确定从第几项开始放大更恰当的问题.例5,已知,an=13n-2n,sn=a1+a2+a3……+an.求证sn0)，则有an a1qn-1，若sn为数列{an}的前n项和，则有sn a1(1-qn)1-q .已知正数数列{an}满足an+1an q(q>0)，则有an a1qn-1，若为数列{an}的前n项和，则有sn a1(1-qn)1-q例7, 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N*），其中xn为正实数.（Ⅰ）用xn表示xn+1；（Ⅱ）若x1=4，记an=lgxn+2xn-2 ，证明数列{an}成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn0.∴bn+1bn=32n-1-132n-1=132n-1+1 1时，bn 4a1+an+4a2+an-1+…+4an+a1=4na1+an所以1a1+1a2+…+1an2na1+an其计算过程是对数列{1an进行倒序相加，再应用均值不等式（调和平均数小于或等于算数平均数）就能得到相应的不等式.例8.设数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,都有an>0,且满足(a1+a2+…+an)2=a31+a32+…+.an(1)求数列{an}的通项公式;(2)当09n-14n+3.解(1):当n=1时,a1=s1=a31,所以a1=1.当n=2时,s2=a31+a32,即a1+a2=a31+a32,所以a2=2.由题知,a31+a32+…+a3n=(a1+a2+…+an)2,①a31+a32+…+a3n+a3n-1=(a1+a2+…+an+an+1)2,②由②-①得a3n+1=(a1+a2+…+an+an+1)2-(a1+a2+…+an)2,因为a n+1>0,所以a2n+1=2(a1+a2+…+an)+an+1,③a2n=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2),④由③-④得a2n+1-a2n=an+an+1,所以an+1-an=1.因为a2-a1=1,所以当n≥1时都有an+1-an=1,所以{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列,故an=n.(2)证明:因为bn=(1-λ)(n+12,cn=λ(n+1),所以1bncn=4λ(1-λ)(2n+1)(2n+2)≥16(2n+1)(2n+2)=162n+1-162n+2,所以Tn≥16[(13-14)+(15-16)+…+(12n+1-12n+2)]=16[13+14+15+…+12n+1+12n+2-2(14 +16+…+12n+2)]=16(1n+2+1n+3+…+12n+2-12).设tn=1n+2+1n+3+…+12n+2,倒序相加得2tn=(1n+2+12n+2)+(1n+3+12n+1)+…+(12n+2+1n+2)>43n+4+43n+4+…+43n+4所以tn>2(n+1)3n+4, 从而Tn>16[2(n+1)3n+4-12]=8n3n+4.因为8n3n+4-9n-14n+3=(5n-4)(n-1)(3n+4)(4n+3)≥0,所以Tn>9n-14n+3.<32</n+1-n.。

数列不等式证明中的一些放缩技巧

数列不等式证明中的一些放缩技巧1. 放缩为裂项求和例1.设数列{}n a 的前n 项的和1*4122,333n n n S a n N +=-⨯+∈. (1) 求首项1a 与通项n a ；(2)设*2,n n n T n N S =∈，证明：132n i i T =<∑.解：（1）*12,42,n n n a a n N ==-∈； (2)1141222(21)(21),3333n n n n n S a ++=-⨯+=-- 所以，1113113()221212ni n i T +==⨯-<--∑. 2.放缩为等比求和例2.已知数列{n a }满足*111,21()n n a a a n N +==+∈ (1) 求数列{n a }的通项公式； (2) 证明：122311(*)232n n a a a n nn N a a a +-<++⋅⋅⋅+<∈ 解：（1）21(*)n n a n N =-∈;(2)先证不等式的右边：1121211,1,2,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=⋅⋅⋅--122312n n a a a na a a +∴++⋅⋅⋅+<. 再证不等式的左边：（先将通项放缩，从某一项开始放缩后，和式转化为等比数列求和）111211111111,1,2,,.2122(21)23222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-⋅=⋅⋅⋅--⋅+- 1222311111111()(1)2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴++⋅⋅⋅+≥-++⋅⋅⋅+=-->-. 例3.设数列{n a }满足211,1,2,3,n n n a a n a n +=-⋅+=⋅⋅⋅(1) 当12a =时，求234,,,a a a 并由此猜想出n a 的一个通项公式； (2) 当13a ≥时，证明对所有的1n ≥，有（ⅰ）2n a n ≥+；（ⅱ）121111.1112n a a a ++⋅⋅⋅+≤+++ 证明：（ⅱ）由 (ⅰ)2n a n ≥+,下面考虑对1+n a 进行缩小2112(2)22(1),n n n n n n a a n a a n n a a +∴+=-⋅+≥⋅+-⋅+=+2211112(1)2(1)2(1)2.n n n n n a a a a ++-∴+≥+≥+≥⋅⋅⋅≥+≥111,1,2,3,,12k k k a +∴≤=⋅⋅⋅+ 23123112111111111111222222n n n a a a ++++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=21121212=-. (无穷递缩等比数列，其部分项和11n a S q<-所有项的和S=) 3.奇偶相邻问题捆绑求和放缩例4.已知数列{n a }的前n 项和n S 满足2(1), 1.n n n S a n =+-≥ (1)写出数列{n a }的前3项123,,a a a ； (2)求数列{n a }的通项公式； (3)证明：对任意的整数m>4,有4511178m a a a ++⋅⋅⋅+<. 解：(2)212[2(1)]3n n n a --=+-; (3)由（2）不等式左边=2323111[],221212(1)m m-++⋅⋅⋅+-+--分母-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：2323343411111111,212122212122+>++<+-++-，因此，可将2121-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和.这里需要对m 进行分类讨论：当3n ≥且n 为奇数时，212121231223111311322322()221212222122n n n n n n n n n n n n a a ----------++++=+=⋅<⋅+-+-- =12311()()222n n --⋅+减项放缩，于是(1)当m>4且m 为偶数时454561342411111111()()131111311137()(1).222222242288m m m m m a a a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++<+++⋅⋅⋅+=+⨯⨯-<+=(2)当m>4且m 为奇数时454511111111()m m m a a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++添项由（1）知：451111178m m a a a a +++⋅⋅⋅++<. 总之，数列和不等式的证明，关键是把和求出来，若不能直接求和，就要先把通项放缩，再求和，求和后再放缩，证得结果. 练习：1.(2008年高考浙江卷理)已知数列{n a }，221110,0,1(*)n n n n a a a a a n N ++≥=+-=∈,记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，11212111.1(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+ 求证：当*n N ∈时，(1)1;n n a a +< (2)2n S n >-; (3)3n T <.(1)数学归纳法，（2）逐差累加，（3）左边放大为等比数列再求和.后记：放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点，由于其灵活多变，许多学生觉得没有规律，无从着手.本文根据《中学数学》2010第2期黄俊峰、袁方程的文章整理，以期在教学、复习时能有所借鉴.（郑碧星 2011-2-20）。

数列型不等式的放缩技巧九法

数列型不等式的放缩技巧九法1.上凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n>0$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n>a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。

2.下凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n<0$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。

3.奇偶性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$的奇偶性与$n$的奇偶性相同，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。

4.整除性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$能整除$n$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。

5.线性递增法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。

6.线性递减法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。

7.最值法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为一组有界变量，且$a_n$有最大或最小值，则可通过对最大或最小值进行放缩得到不等式。

8. 平均值大小法：如果数列满足$a_1,a_2,\ldots,a_n$的平均值满足一些条件，则可借助平均值大小的不等式进行放缩。

9.乘积法：如果数列满足相邻项的乘积满足一些条件，则可通过对乘积进行放缩得到不等式。

举个例子来说明这些放缩技巧的应用：问题：证明数列$a_n=\frac{1}{2n-1}$是递减的。

解答：我们可以使用上凸性法进行放缩。

由$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2(n+1)-1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{2n-1-(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=-\frac{2}{(2n+1)(2n-1)}<0$所以$a_n>a_{n+1}$，即数列$a_n$是递减的。

数学所有不等式放缩技巧及证明方法

文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值；（2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结

数列放缩法1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nnnn∈>⋅>++++- .例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a nn a n x f xx x x 给定求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。

例7 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈）例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n *+++>∈>。

2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。

设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如：设函数()x f x e x =-。

（Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N*∈，有1().1nn k k en e =<-∑ 例9 设n n na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a n a 21111,23aa a n++≥,求证：.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++na a a ii . 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n.例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211 =+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈．（I ）证明：对2≥n 总有a x n≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈-+<<*n N n n n n例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4)1(22->a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1∙a 2∙……a n <2∙n ！8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a .9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，求证：np p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<-++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<;（3）判断n a 与1()n a n N *+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n =，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，；（Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+．例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n ∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1；（Ⅱ）求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x 1=2，求证：.31211111121-≤++++++n n x x x例1 解析此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)

1、设为大于1的自然数，求证
2、设为自然数，求证
3、若是自然数，求证
证明：
=
=
注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
4、求证：
证明：由（是大于2的自然数）
得
5、若a,b,c,dR+，求证：
证：记m= ∵a,b,c,dR+
∴
∴1 < m < 2即原式成立。
5、逐项放大或缩小
例5、设求证：
证明：∵
∴
∴ ，∴
本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。
6、固定一部分项，放缩另外的项；
例6、求证：
证明：
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
（二）放缩后转化为等比数列。
例2. 满足：
（1）用数学归纳法证明：（2），求ຫໍສະໝຸດ ：解：(1)略(2)又
，
迭乘得：
点评：把握“ ”这一特征对“ ”进行变形，然后去掉一个正项，递推关系放缩，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！
三、裂项放缩
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先 ,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例7.求证:
解析:一方面:因为 ,所以
另一方面:
当时, ,当时, ,
当时, ,所以综上有
例8.已知 , ,求证: .

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:21153nk k=<∑. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n nn knk (2)因为22211411214121214n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+⎝⎭-, 所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 技巧积累:(1)2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭(2)1211211(1)(1)(1)(1)n n C C n n n n n n n +==-+--+ (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r rr r r r n r n r n n C T r r rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn n n 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n(8) n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(+-=+n n n n(11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(12))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n (13)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (14)3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(15)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k(16) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(17)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n , 所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合n n n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n nn n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n nn n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤+)(|ln |11111例5.已知mmmmm n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n.解析:首先可以证明:nx x n+≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n nn111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:111111111111111[(1)](1)(1)1(1)(1)2[(1)]nnm m m m m m m m m m k k n m m k kk m k n n n n n k k +++++++++==++=--<+<+-=+-+--++-=+-∑∑∑ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知nnn a 24-=,nnn a a a T +++= 212,求证:23321<++++nT T T T . 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n nnn T -+-=-----=+++-++++= 所以111111222244442(41)2(12)222333333232432222(2)321nn nn n n n n n n n nn n n n T ++++++===-+--+-+-⋅==⋅-⋅+⋅-⋅+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫⎝⎛---++-+-=+++++n n n T T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ . 解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212191817161514131213131216533323279189936365111nn n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n n 例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数x x x f ln )(=,得到22ln ln nn n n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n nn n ,求和后可以得到答案函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(=, 首先:⎰-<nin ABCFx S 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n ni n --==<⋅--⎰ 取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n, 所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n ,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到:)1ln(113121+<++++n n 另一方面⎰->ni n ABDE x S 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x xi i n n i n ni n --==>⋅---⎰取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n , 所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++证明2n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,然后两边取自然对数,可以得到n n n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：⇒+++≤+nnn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21n n n n a 211ln 2+++≤。

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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。