高考数学数列不等式证明题放缩法十种办法技巧总结

1

.

均

值

不

等

式

法

例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证

.2

)1(2)1(2

+<<+n S n n n 例2 已知函数

bx

a x f 211

)(⋅+=

，若5

4)1(=

f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：

.2

1

21)()2()1(1

-+

>++++n n n f f f 例3 求证),1(2

2

1321

N n n n C C C C

n n

n

n

n

n

∈>⋅>++++- .

例4 已知22

2121n a a a ++

+=，222

121n x x x ++

+=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.

例5 求证例6 例7 2.71828

）

例8 11

[log 2

n ++

>表示不超过n 2log 的最大整数。}{n a 满足：111+≤--a n na a n n 再如：x -。

最小值；（Ⅱ）求证：对于任意例9 设n

n

n n 3. 部分放缩

例10 设++

=a n a 2

1111

,23a

a a n

++

≥,求证：.2

{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：

2)(+≥n a i n ； 2

1

111111)(21

≤+++++

+n a a a ii .

4 . 添减项放缩

例12 设N n n

∈>,1，求证)

2)(1(8

32(++<

n n n

.

例13 设数列}{n

a 满足).,2,1(1

,211 =+

==+n a a a a n

n n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；

5 利用单调性放缩: 构造函数

例14 已知函数2

2

3)(x ax x f -

=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<

1

011，证明.11+

（I 例16 例17 设 例18 设例19 例20 （1例21 （Ⅰ）写出数列

}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅲ）证明：对任意的整数

4>m ，有

8

7

11154<+++m a a a . 9. 借助数学归纳法

例22（Ⅰ）设函数

)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数

n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，求证：

10. 构造辅助函数法

例23 已知

()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()()

*11 2 ,02

11

N n a f a n a

n ∈=<<-++

（1）求

()f x 在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-021，

上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<; （3）判断n a 与1()n a n N *

+∈的大小，并说明理由.

例24 已知数列{}n a 的首项1

3

5

a =

，1321n n n a a a +=+，12n =，，

．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x

>，21121(1)3n n

a x x

x ⎛⎫-

- ⎪++⎝⎭

≥，12n =，，； 2

n n a n +

+>

1+

411

()11(0)141422x x x x

f x x ==->-≠++•1

(1)()(122

f f n ⇒+

+>-

⨯2

11

(1)(1)2222

n

+-++-

⨯⨯ 例3 简析 不等式左边1

23

n

n

n n n C C C C +++

+=12222112-++++=-n n

n n n 1

22221-⋅⋅⋅⋅⋅> =2

1

2

-⋅n n ，故原结论成立.

例4 【解析】使用均值不等式即可：所以有22

2222

1122

112222

2n n

n n a x a x a x a x a x a x +++++

+≤

+++

其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2

211的最大值。本题还可以推广为：