弹塑性理论基本知识.ppt

nin1 11 n2n1 21 n1n2 12 n2n2 22
cos2 11 sin cos 21 sin cos 12 sin 2 22
1
c os2 2
11
sin
2
12
1
c os2 2
22
11
22 2
11
22 2
c os2
sin 2
12
x
y 2
x
y 2
cos2 xy sin 2
11
21
22 x1
y
x xy
y
yx
n
xy
n
x
yx
yx
ij
11 12
12
22
lni ln1 ln2 cos , ltj lt1 lt2 sin ,
sin cos
利用应力转换公式
nm lnilmj ij
，可求得：
n nn ninj ij nin1 i1 nin2 i2
11 12 13
21 22 23
31 32 0 3 I1 2 I2 I3 0 33
I1 11 22 33 kk
I2
11 21
12 22 22 32
23 33 33 13
11 I3 21
31
12 22 32
上式表明：
已知材料中任意一点的应力状态 ij ，则通过该点
的任意截面 （单位外法线矢量为ni）上的应力矢
量Pj在任意方向
上的投影
m
nm
为：
nm lnilmj ij
由于满足 T ij liml T jn mn 形式，表明应力是二阶张量。
x2
x2
2
22
23
21 12
32
11
31 13 33
x1
P2 n112 n2 22 n3 32
S2
P3 n113 n2 23 n3 33
3
Pj ni ij lni ij
Pj为 截面上的应力矢量的各分量
将Pj投影到任意新的m坐标轴上去，可得：
nm lm1 p1 lm2 p2 lm3 p3 lmj p j lnilmj ij (i, j 1,2,3)
J
2
(S11S22
S 22 S33
S33S11)
S12 S 21
S23S32
2. 应力变换公式 nm lnilmj ij 取任意一个斜面，设其外法线上的单位矢量为ni， 它的三个分量是方向余弦，即：
ni cos(n,ei ) lni (i 1,2,3)
且有 n12 n22 n33 1
2
ni mi
1
3
设该斜面上的应力矢量为 Pi ，斜面的面积为△S，△S
在X1OX2内投影为△S3，在X1OX3内投影为△S2，在X2OX3内
2.1 弹性力学基本理论知识
1.应力方向规定
x2
x2
22
23
21 12
32
11
31 13 33
x1
正面
负面 负面 正面
正面
x1
负面
x3
x3
正面上的应力，以与坐标轴的正向一致为正，反之 为负。
负面上的应力以与坐标轴的负向一致为正，Baidu Nhomakorabea之为 负。
ij 中 j表示应力方向，i表示应力所在截面的外法线 方向。
由 Pj n iij n j n iij (ij ij )n i 0
(11 )n1 21n2 31n3 0 12n1 ( 22 )n2 32n3 0
13n1 23n2 ( 33 )n3 0
因n1，n2，n3不全为零，则 / ij ij / 0
n nt nitj ij nitl il nit 2 i2
n1t1 11 n2t1 21 n1t 2 12 n2t 2 22
cos sin 11 sin 2 21 cos2 12 cos sin 22
x
2
y
sin 2
xy
3.主应力和主应力张量不变量 主应力：主平面（剪应力为零的平面）上的正应力。 设任一主平面的外法线方向为ni（i=1，2，3）
岩体数值计算原理与方法 张强勇
目录 1.绪论及张量基本知识 2.弹塑性理论基本知识 3.有限元计算方法 4.节理岩体弹塑性损伤断裂有限元计算方法 5.节理岩体损伤锚固有限元计算方法 6.大型工程弹塑性损伤及加锚数值计算分析 7.大型三维弹塑性和弹塑性损伤有限元计算程 序使用介绍
2.弹塑性理论基本知识 2.1 弹性力学基本知识 2.2 岩土塑性力学基本知识
投影为△S1。由四面体的平衡条件
得到:
X X
1 2
0 0
P1S 11S1 21S2 31S3
X3 0
P2
S
12S1
22 S 2
32S3
P3
S
13S1
23S2
33S3
2
Pi
S3 ni
已知： n1
s1 s
n2
s2 s
n3
s3 s
S1
mi
1
则： P1 n111 n2 21 n3 31
0 p
0
0
P
1 3
kk
1 3
( 11
22
33 )
1 3
(
1
2
3)
0 0 p
Sij ij p ij
在主应力状态下
1 P
Sij 0 0
0
2 P
0
0
0
3 P
与应力张量不变量类似可得到偏应力张量的三个不变 量 : J1, J2, J3
J1 S11 S22 S33 Skk 0
13 23 33
31 11
由 3 I1 2 I2 I3 0 可求得主平面上的主应力矢量在
三个坐标轴上的投影 1, 2 , 3
则：
I1 1 2 3
I
2
( 1 2
2 3
3 1 )
I3 1 2 3
因为主应力和坐标系的选择无关（即用主平面上的主应 力描述一点的应力状态不随坐标系而变化），因此 在坐标变换时也保持不变，故称 I1, I2, I3 分别为应力张 量的第一、第二、第三不变量
4.偏应力张量及其不变量
由于任何张量 Tij 总可以分解为球张量和偏张量两部分， 即
Tij Sij Qij Sij Pij
球张量 Qij ：不随坐标系而变化的张量。 偏张量 Sij ：张量与球张量之差。 应力张量 ij也可分解为应力偏张量 Sij 和应力球张量 Qij
p
Qij P ij 0
S3 ni
正面
S1
负面 负面 正面
正面
mi
1
x1
负面
S2
x3
x3
3
已知一点的应力，利用应力变换公式可求得通过该点 的任意截面上的正应力和剪应力。
如下图，已知一点的平面应力状态 11, 12, 21, 22, 可 求得任意斜截面上的正应力 nn ，剪应力 nt
x2
11 12
22
21 nn 12
nt