2021届高考数学核按钮【新高考广东版】微专题一：聚焦新题型之结构不良试题

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微专题一：聚焦新题型之结构不良试题

《中国高考评价体系》中的“四翼”——基础性、综合性、应用性、创新性，回答了高考“怎么考”的问题．高考数学的创新性强调对知识的灵活运用，通过命制开放性试题、结构不良试题，发挥选拔功能，同时，合理创设情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题、找到新规律、得出新结论．结构不良试题主要指试题的目标、条件和解决三者中至少有一个没有明确界定的问题．将结构不良试题进行问题表征，即将题目设置的探索创新情境抽象成常规数学问题模型，是解决问题的关键．

例1 (2020届山东新高考模拟考)在①b 1＋b 3

＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．

设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在k ，使得S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2?

解：根据题意，因为b 2＝3，b 5＝－81，{b n }是等比数列，

所以b 1＝－1，q ＝－3，所以b n ＝－(－3)n －1，由b 1＝a 5，得a 5＝－1，

方法一：选①，b 1＋b 3＝a 2时，a 2＝－10，又a 5＝－1，所以d ＝3，a 1＝－13，

S k ＝－13k ＋k （k －1）2×3＝32k 2－29

2k ，

所以S k ＋1＝32k 2－292k ＋3k －13，S k ＋2＝32k 2－29

2k

＋6k －23，

要使S k ＋1＜S k ，且S k ＋1＜S k ＋2.

则⎩

⎪⎨⎪⎧3k －13＜0，3k －13＜6k －23，所以103＜k ＜13

3

，所以存

在k ＝4符合题意．

选②，a 4＝b 4时，a 5＝－1，a 4＝b 4＝27. 所以a 1＝111，d ＝－28，所以S k ＝125k －14k 2， 所以S k ＋1＝125k －14k 2－28k ＋111，所以S k ＋2

＝125k －14k 2－56k ＋194，

要使S k ＋1＜S k ，且S k ＋1＜S k ＋2.

则⎩⎪⎨⎪⎧－28k ＋111＜0，－28k ＋111＜－56k ＋194，

所以k ＞11128，且k ＜83

28，所以不存在k 符合题

意．

选③，因为S 5＝－25时，a 5＝－1，所以d ＝2，a 1＝－9，

同理求得⎩⎪⎨⎪⎧2k －9＜0，2k ＞7，

所以72＜k ＜9

2

，所以存在

k ＝4符合题意．

方法二：选①，在等差数列{a n }中，a 5＝－1，a 2＝b 1＋b 3＝－10，所以d ＝3，

所以a n ＝3n －16，此时存在k ＝4，使a k ＋1＝a 5

＜0，a k ＋2＝a 6＝2＞0，

即存在k ＝4符合题意．

选②，同理可得a n ＝－28n ＋139，此时{a n }为递减数列，

所以不存在正整数k 符合题意．

选③，同理可得a n ＝2n －11，此时存在k ＝4，使a k ＋1＝a 5＜0，a k ＋2＝a 6＝1＞0，即存在k ＝4符合题意．

点拨 本题考查等差数列和等比数列基本量的运算，是高考必考内容，无论选择哪个条件，目的都是为了找到数列{a n }的通项公式，由于每个学生的视角不同，所以题目虽然基础，但需要学生能迅速作出选择．本题是新高考模拟卷中一道典型的“结构不良型”试题，具有一定的开放性、探究性．选择计算量更小的关系完善方程(组)，从而求出相关数列，再进行探究．此题型是新高考题型探索中比较成熟的成果之一，应给予一定的关注．

变式1 (原创题)在①a 1，a 3－1，a 4＋3成等比

数列；②a n ＋1(a n ＋1＋a n －3)－2a n (a n ＋3)＝0；③S 9

9

－

S 5

5

＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的t 存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，________，{b n }是等比数列，且b 2＝2，b 4b 5＝128，

2

b 4－1＝a 3，设

c n ＝1

a n a n ＋1

，是否存在整数t ，对任意

的n ∈N *都有c 1＋c 2＋…＋c n ＞t

60

恒成立？若存在，

求出t 的最大值；若不存在，请说明理由．

解：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由题意知，b 4b 5＝b 2q 2·b 2q 3＝4q 5＝128，则q 5＝32，q ＝2，所以b n ＝2n －1.

b 4＝23＝8，所以a 3＝b 4－1＝7.

若选①：由a 1，a 3－1，a 4＋3成等比数列，得 (a 3－1)2＝a 1(a 4＋3)，即(7－1)2＝(7－2d )(10＋d )，

解得d ＝2或d ＝－17

2

(舍)，故a n ＝2n ＋1，

则c n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）

＝

1

2⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， 所以c 1＋c 2＋…＋c n ＝12[⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭

⎫

15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3]＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫13－12n ＋3， 假设存在整数t ，使对任意n ∈N *，12⎝ ⎛⎭

⎪⎫13－12n ＋3＞t 60恒成立，则需t 60＜12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3min ＝1

15，即t ＜4，故存在整数t 满足条件，且t 的最大值为3.

若选②：由a n ＋1(a n ＋1＋a n －3)－2a n (a n ＋3)＝0得，(a n ＋1＋2a n )(a n ＋1－a n －3)＝0，则a n ＋1－a n ＝3，知d ＝3.

又a 3＝7，故a n ＝3n －2，

所以c n ＝1a n a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）＝

1

3

⎝ ⎛⎭

⎪⎫13n －2－13n ＋1， c 1＋c 2＋…＋c n ＝1

3[⎝

⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1]＝13⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－13n ＋1， 假设存在整数t 使对任意n ∈N *，13⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－13n ＋1＞t 60恒成立，则需t 60＜13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1min ＝14，即t ＜15，故存在整数t 满足条件，且t 的最大值为14.

若选③：S 99－S 5

5

＝a 5－a 3＝2，即2d ＝2，d ＝1，

又a 3＝7，故a n ＝n ＋4，所以c n ＝

1

a n a n ＋1

＝1（n ＋4）（n ＋5）＝1n ＋4－1

n ＋5，c 1＋c 2＋…＋c n

＝⎝⎛⎭⎫15－16＋⎝⎛⎭⎫16－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪

⎫1n ＋4－1n ＋5＝15－1n ＋5

， 假设存在整数t 使对任意n ∈N *，15－1n ＋5＞

t

60恒成立，则需t 60＜⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1n ＋5min ＝1

30，即t ＜2，故存在整数t 满足条件，且t 的最大值为1.

例2 (2020届山东济南期末调研)在①b 2＋2ac ＝a 2＋c 2，②a cos B ＝b sin A ，③sin B ＋cos B ＝2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，

b ，

c ，________，A ＝π

3

，b ＝2，求△ABC 的面积．

解：若选择①b 2＋2ac ＝a 2＋c 2，

由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝2

2，

因为B ∈(0，π)，所以B ＝π

4

，

由正弦定理a sin A ＝b

sin B ，

得a ＝b sin A sin B

＝

2·sin π3

22

＝3，

因为A ＝π3，B ＝π

4，

所以C ＝π－π3－π4＝5π

12

，

所以sin C ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4＋π6＝sin π4cos π6＋

cos π4·sin π6＝6＋2

4

， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝1

2×3×2×

6＋24＝3＋3

4

.

若选择②a cos B ＝b sin A ， 则sin A cos B ＝sin B sin A ， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝cos B ， 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π

4

；