复变函数论第三版钟玉泉PPT第四章

3、幂级数的和函数的解析性
4、例题 5、小结
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复变函数
一、幂级数的敛散性
具有 1. 幂级数的定义： n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2
n 0
4.3
形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1,c2 ,…,a 都是复常数 . 当a=0,则以上幂级数可以写成如下形式
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复变函数ຫໍສະໝຸດ Baidu
定理4.6 设级数
且一致收敛于f(z),则和函数 f ( z ) f n ( z ) 也在E n 1 上连续.
定理4.7 设级数 f n ( z )的各项在曲线C上连续,并

f
n 1

n
( z ) 的各项在点集E上连续,并

且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:

由定理4.7有
f n ( z )dz 1 f ( z )dz 1 , p 1 p 1 K K 2i ( z z0 ) 2i ( z z0 ) n 1
即f ( p ) ( z ) f n( p ) ( z ).
n 1

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复变函数
第二节 幂级数
1、幂级数的敛散性 2、幂级数的收敛半径的求法
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复变函数
1. 复数列的极限
复数列收敛的条件
定理
复数列 { n } {an ibn }( n 1, 2 ,)
收敛于 a ib 的充要条件是
lim an a ,
n
lim bn b .
n
2
复变函数
证
如果 lim n , 那末对于任意给定的 0
就能找到一个正数N, 当 n N 时, (an ibn ) (a ib) , 从而有 an a (an a ) i (bn b) , 所以 lim an a . 同理 lim bn b.
n 1
c
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于是，由摩勒拉定理知，f(z)在 C 内解析，即 在 z0 D 解析。由于 z0 D 的任意性， 故f(z)在区域 D 内解析。
复变函数
(2)设z0的某邻域U的边界圆K也在D内，对于z K ,
f n ( z) f ( z) 一致收敛于 , p 1 p 1 ( z z0 ) n 1 ( z z0 )
n
定义2 对于序列(*),如果在点集E上有一个函数f(z), 使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对一切
的z∈E均有 |f(z)-fn(z)|<ε,则称序列(*)在E上一致收
敛于f(z)，记作:
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f n ( z ) f ( z )( n . )
E
复变函数
定义4.3 设复变函数项级数
定理4.4 (1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任 意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和. (2)两个绝对收敛的复级数 n1 n , n1 n 可按对角线法得到乘积级数 11 (12 2 1 ) (1n 2 n1 n 1
2 2 k 1 k 1 k 1 k 1
n
n
n
n
复变函数
1 . 例1 当 | | 1时, 级数 绝对收敛,且有 n 1
n

(8i ) 是否绝对收敛？ 例2 级数 n! n 1 n n

n 0
n
n 0
解
n (8i ) 8 8 因为| n! | n! ， 故原级数绝对收敛。 而级数 收敛， n! n 1
推论2 收敛级数的各项必是有界的. 推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散.
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复变函数
3. 绝对收敛与条件收敛 定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数
| a
n 1

n
|收敛.
n 1
定义4.2 若级数 | an |收敛,则原级数 an 称
n 1

一切的z∈E均有 |f(z)-sn(z)|<ε,则称级数(4.2)在E上一
致收敛于f(z)，记作:
中
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sn ( z ) k 1 f k ( z )
n

n 1

fn ( z ) (z) f，
z D
其
复变函数
定理4.5 (柯西一致收敛准则) 级数(4.2)在点集E上 一致收敛于某函数的充要条件是: 任给的ε>0, 存在 正整数N=N(ε),使当n>N时,对于一切z∈E,均有 |fn+1(z)+…+fn+p(z)|<ε (p=1,2,…). Weierstrass优级数准则: 如果整数列Mn(n=1,2,…), 使对一切z∈E,有|fn(z)|≤Mn (n=1,2,…),而且正项 级数 M n收敛,则复函数项级数 f n ( z ) 在点集E上 n 1 n 1 绝对收敛且一致收敛: 这样的正项级数 M n称为函数项级数 f n ( z ) n 1 n 1 的优级数.

它收敛于 .
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复变函数
定义1 设复变函数项序列
4. 一致收敛的复函数项序列
f1(z)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，… (*)
的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数 f(z),对于E上的每一点z,序列(*)均收敛于f(z),则称f(z)
为序列(*)的极限函数,记为: f ( z ) lim f n ( z )
5. 一致收敛的复函数项级数
f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2)
的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数 f(z),对于E上的每一点z,级数(4.2)均收敛于f(z),则称
f(z)为级数(4.2)的和函数,记为 :z) fn ( z) f(
定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数 f(z),使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对
n 1 n
0, N 0, n N , 有 | k s | .
k 1
n
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复变函数
复数项级数收敛的条件
定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复 级数(4.1)收敛于 s=a+ib (a,b为实数)的充要条件为: 实数项级数 an , bn 分别收敛于a及b. 注：复数项级数的审敛问题可转化为实数项级数 的审敛问题 1) an , bn 分别收敛于a及b n s( a ib)
复变函数
第四章 解析函数的幂级数表示
第一节 复级数的基本性质 1、复数列的极限 2、复数项级数 3、复函数项级数 4、解析函数项级数
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复变函数
定义 设 { n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如任意给定 0, 相应地都能找到一个正整 数N ( ), 使在 n N 时: n 成立, 那末 称为复数列 { n } 当 n 时的极限, 记作 lim n . 此时也称复数列 { n } 收敛于 . n
n 1

为绝对收敛;若级数 | an | 发散，而级数 an 收 敛,原级数称为条件收敛.
定理:
n
n 1 n 1

绝对收敛 a 与 b 绝对收敛
n 1 n n 1 n n 1 n
k 1 k



| a |(| b
k 1 k
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事实上， n
|) | zk | | ak | | bk | | ak | | bk |
n
lim bn b, n n 那末当 n N 时, an a , bn b . 2 2 从而 n (an ibn ) (a ib) (an a ) i (bn b) an a bn b , 所以 lim n .
n
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反之, 如果 lim an a ,
n
n
复变函数
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. π i 1 en ( 2) n n cos in . (1) n (1 ) ; n 解 π π i 1 1 ei n 1 n n e n (1) lim(1 ) lim(1 ) 1; n n n n
en en (2) n n cos in n ( n ) . 2
定理：复数列收敛的Cauchy准则 复数列 {n }(n 1, 2,) 收敛的充要条件是: >0,N >0,当n N时,对p N :
| n p n |
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复变函数
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n 1
n
复变函数
定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为: 对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为任何正整数时 |n+1+ n+2+…+ n+p|<ε
n 0 推论1 收敛级数的通项必趋于零: lim n (事实上，取p=1,则必有|an+1|<ε)．
n 1 n 1
2)
a , b 至少一个发散 发散
n 1 n
n 1
n 1

n 1

n 1
n
1 i 1 (1 ) 由 发散知原级数发散. 例1 级数 2n 是否收敛？ 2n n n 1 n 1 1 i 2 n1 1 由 例2 级数 是否收敛？ 3n发散知原级数发散. n 1 3n n 1
(4.2)在闭圆K:|z-a|≤ ρ上一致收敛.
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复变函数
定理4.9 设 (1)fn(z) (n=1,2,…)在区域D内解析,级数
6. 解析函数项级数
n
f ( z) 或 { f n ( z)} 序列在区域D内内闭一致收敛于函数f(z),
则 (1) f(z)在区域D 内解析
或f
( p)
(2) f ( p ) ( z ) f n( p ) ( z )( z D, p 1, 2, ).
( z ) lim f n
n
n 1 ( p)
( z ), p 1,2,.
证 （1）设 z0 D ，若 C 为Ｄ内任一围线， 则由柯西积分定理得 f n ( z )dz 0, n 1,2, 由定理4.7得 c f ( z )dz c f n ( z )dz 0
c z
n 1 n
n
c0 c1 z c2 z .
2
注1 一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数。 注2 在一点解析的函数在此点的一个邻域内可以用幂 级数表示出来，因此一个函数在某点解析的充要条件 是它在这点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。 幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚 它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.
2. 复数项级数的收敛与发散
表达式 定义 设{n } {an ibn } (n 1, 2,)为一复数列,

n 1

n
1 2 n
(4.1)
称为复数项级数.sn 1 2 n 称为级数的部分和.
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限, 即 lim sn s( ) 则称复数项无穷级数(4.1)收敛 n 于s,且称s为(4.1)的和,写成 s 否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数 (4.1)为发散. 注 复级数n收敛于s的 N定义：
n 1

C
f ( z )dz f n ( z )dz
n 1 C

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复变函数
定义4.5 设函数fn(z)(n=1,2,…)定义于区域D内,若
级数(4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此
级数在D内内闭一致收敛.
定理4.8 设级数(4.2)在圆K:|z-a|<R内闭一致收敛
的充要条件为:对于任意正数ρ,只要ρ<R,级数