第二章 控系统的数学模型
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系统结构图
即
等效系统结构图
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
简化结构图
经过比较点的移动，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
(2)图2-66 (b)系统
仅考虑输入 作用于系统时，系统的结构图为
系统结构图
经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过串联等效和并联等效，可得如下简化结构图
简化结构图
2-15某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。已知电位器最大工作角度 ，功率放大级放大系数为 ，要求：
(1)分别求出电位器传递系数 ，第一级和第二级放大器的比例系数 和 ；
(2)画出系统结构图；
(3)简化结构图，求系统传递函数 。
图2-63位置随动系统原理图
解本题研究通过系统的原理图得出结构图，并简化结构图求出系统闭环传递函数。
经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
仅考虑扰动 作用于系统时，系统的结构图为
系统结构图
则系统传递函数为
2-19试绘制图2-65中各系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求各系统的传递函数 。
解本题研究系统的信号流图，以及运用梅森增益公式求传递函数。
(1)图2-65 (a)系统
2-11在图2-60中，已知 和 两方框相对应的微分方程分别是
且初始条件均为零，试求传递函数 及 。
图2-60题2-11系统结构图
解本题研究系统微分方程与系统传递函数的转换方法。
对题设所给的微分方程两边同时进行拉氏变换，由于初始条件均为零，所以有
由上式可得
由系统的方框图可得
将 和 代入得
又
则
所以传递函数 和 分别为
2-5设初始条件为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制 曲线，指出各方程式的模态。
(1)
(2)
(3)
解本题考察用拉氏变换法求解线性定常微分方程。
(1)
由拉氏变换可得
则由拉氏反变换可得
由 的表达式易得系统的特征根为 ，故该方程的运动模态为 。因此， 曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为 )
2-16设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图2-64所示，要求：
图2-64直流电动机调速系统原理图
(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；
(2)画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为 ；电流互感器和测速发电机的传递系数分别为 和 ；直流电动机的结构图用题2-14的结果）；
(3)简化结构图，求系统传递函数 。
单位阶跃响应曲线
2-6在液压系统管道中，设通过阀门的流量 满足如下流量方程
式中， 为比例系数； 为阀门前后的压差。若流量 与压差 在其平衡点（ ， ）附近作微小变化，试导出线性化流量方程。
解本题考察流量非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。
(1)求 ， 和
(2)系统结构图
假设电动机的时间常数为 ，可得直流电动机的传递函数为（忽略电枢电感的影响）
其中 为直流电动机的传递系数。
假设测速发电机的斜率为 ，则其传递函数为
由此可见，系统的结构图如下图所示
位置随动系统结构图
(3)系统传递函数
系统结构图的简化图如下
系统结构图简化
由简化的结构图可得系统的传递函数
简化结构图
则系统传递函数为
2-18试简化图2-66中系统结构图，并求传递函数 和 。
(a)
(b)
图2-66题2-18系统结构图
解本题研究结构图的等效变换。
(1)图2-66 (a)系统
仅考虑输入 作用于系统时，系统的结构图为
系统结构图
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
仅考虑扰动 作用于系统时，系统的结构图为
第二章 控制系统的数学模型
2-1在图1-22的液位自动控制系统中，设容器横截面积为 ，希望液位为 。若液体高度变化率与液体流量差 成正比，试列写以液位为输出量的微分方程式。
解本题研究建立液位控制系统的微分方程数学模型。
当 时，液位的高度为 ；当 时，液位的高度 将发生变化。
由于液体高度变化率与液体流量差 成正比，所以有
整理后可得2-59(a)所示的无源网络的微分方程为
(2)对于图2-59(b)所示的无源网络，设通过左侧电阻 的电流为 （方向自左向右），通过右侧电阻 的电流为 （方向自右向左），通过电容 的电流为 （方向自左向右），通过电容 的电流为 （方向自上向下），根据电压平衡可得：
于是
从而
又因为 ，则
即
整理后可得2-59(b)所示的无源网络的微分方程
2-10设系统的传递函数为
且初始条件 ， 。试求单位阶跃输入 时，系统的输出响应 。
解本题用拉氏变换法研究系统传递函数与输出响应的相互关系。
已知系统的传递函数，则对应的微分方程为
对上式两边同时进行拉氏变换。可得
输入为 ，即
代入初始条件 ， ，可得
对上式进行拉氏反变换可得系统在阶跃输入 时，输出响应 为
2-4试分别列写图2-59中各无源网络的微分方程式。
(a) (b)
图2-59无源网络
解本题研究网络数学模型的建立方法。
(1)对于图2-59(a)所示的无源网络，设通过电阻 的电流为 （方向自左向右），通过电容 的电流为 （方向自左向右），通过电阻 的电流为 （方向自上向下），根据电压平衡可得
于是
从而
单位斜坡响应曲线
(2)
由拉氏变换可得
则由拉氏反变换可得
由 的表达式易得系统的特征根为
故该方程的运动模态为 。因此， 曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为 )
单位脉冲响应曲线
(3)
由拉氏变换可得
则由拉氏反变换可得
由 的表达式易得系统的特征根为
故该方程的运动模态为 ， 。因此， 曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为 )
2-12求图2-61所示有源网络的传递函数 。
图2-61有源网络
解本题研究用等效复数阻抗方法推导有源网络的传递函数的方法。
(1)对于图2-61(a)所示的有源网络可得
(2)对于图2-61(b)所示的有源网络可得
(3)对于图2-61(c)所示的有源网络可得
2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数 。
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有两条前向通道，一个单独回路，即
，
，
，
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(2)图2-65 (b)系统
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有一条前向通道，两个单独回路，即
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(3)图2-65 (c)系统
系统信号流图如下图所示
则以液位为输出量的微分方程式为
2-2设机械系统如图2-57所示，其中 是输入位移， 是输出位移。试分别写出各系统的微分方程。
图2-57机械系统
解本题研究建立机械系统的微分方程数学模型。
(1)对于2-57(a)所示系统，根据力平衡方程，在不计重力时，可得
则系统的微分方程式为
(2)对于2-57(b)所示系统，在上部分弹簧与阻尼器之间取辅助点 ，并设 点位移为 ，方向向下。根据力平衡方程，在不计重力时，可得下列方程
(2)对于图2-58(b)，在弹簧 和阻尼器 之间引入辅助点，设其位移为 ，方向向下。根据力平衡方程，在不计重力时，可得
对上述两式进行拉氏变换，考虑初始条件为零，可得
消去中间变量
则机械系统的传递函数为
通过比较 、 可知：两传递函数的类型相同，即图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
(5)图2-65 (e)
系统经过比较点后移和引出点前移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过并联等效，可得如下简化结构图
简化结构图
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
简化结构图
则Fra Baidu bibliotek统传递函数为
(6)图2-65 (f)
系统经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过并联等效和反馈连接等效，可得如下简化结构图
在 处对 进行泰勒展开，然后再取其一次项近似可得
由上式可得全控整流电路的线性化方程为
2-9若系统在阶跃输入 时，零初始条件下的输出响应 ，试求系统的传递函数和脉冲响应。
解本题用拉氏变换法研究系统输出响应与传递函数之间的关系。
系统在阶跃输入 ，即
时，系统的输出响应为 ，即
则系统的传递函数为
于是，系统脉冲响应为
系统信号流图
由图可知，本系统有两条前向通道，两个单独回路，即
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(4)图2-65 (d)系统
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有一条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即
； 与 不接触，
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(5)图2-65 (e)系统
直流电动机调速系统结构图
(3)求系统传递函数
为了推导方便，设 ， ，
则简化结构图可得
电机调速系统结构图简化
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
电机调速系统结构图简化
由简化的结构图可得系统的传递函数
其中
， ，
， ，
于是
其中
可用信号流图及梅森增益验证如下：
电机调速系统信号流图
由图可知，本系统有一条前向通道，三个单独回路，无互不接触回路，即
消去中间变量 ，由于
，
故有
则系统的微分方程式为
(3)对于2-57(c)所示系统，根据力平衡方程，在不计重力时，可得
则系统的微分方程式为
2-3试证明图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
(a) (b)
图2-58电网络与机械系统
解本题研究用拉氏变换法建立系统的传递函数数学模型。
(1)对于图2-58(a)，根据复数阻抗的方法可得电网络的传递函数为
解本题研究将系统的微分方程通过拉氏变换得到系统的传递函数，并根据传递函数画出系统的结构图。
电枢控制直流电动机的三组微分方程式为：
电枢回路电压平衡方程
电磁转矩方程
电动机轴上的转矩平衡方程
对上述三式分别进行拉氏变换并设初始条件为零可得
根据此三式可以画出直流电动机的结构图如下图所示
直流伺服电机结构图
则电动机的传递函数如下
简化结构图
则系统传递函数为
(3)图2-65 (c)
系统经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过并联等效，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
(4)图2-65 (d)
系统经过比较点前移和引出点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
图2-62控制系统模拟电路
解本题研究用等效复数阻抗方法推导网络模拟系统的传递函数。
在图2-62中，令第一级运算放大器输出为 ，第二级运算放大器输出为 ，则可得
因为 ，故有
又因 ，故有
则
所以
整理后可得闭环传递函数 为
2-14试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求出电动机的传递函数 和 。
解本题研究通过调速系统的原理图得出结构图，并简化结构图求出闭环传递函数。
(1)求调节器的传递函数
速度调节器的传递函数为
电流调节器的传递函数为
(2)画系统结构图
由于直流电动机的结构图用题2-14的结果，同时由于引入了电流反馈，故在电动机的动态结构图中必须把电枢电流 显露出来，于是直流电动机调速系统的结构图如下图所示
在平衡点（ ， ）处对流量 泰勒展开并取一次项近似可得
则线性化流量方程如下
省去符号“ ”，上式可以简写为
2-7设弹簧特性由下式描述：
其中， 是弹簧力； 是变形位移。若弹簧在变形位移 附近作微小变化，试推导 的线性化方程。
解本题考察弹簧元件非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有两条前向通道，三个回路，无不接触回路，即
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(6)图2-65 (f)系统
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有两条前向通道，一个单独回路，即
在 处对 进行泰勒展开，并取一次项近似可得
由上式可知， 的线性化方程为
上式亦可简化表示为
2-8设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角 ，输出量为空载整流电压 ，它们之间的关系为
式中 是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。
解本题考察电路非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。
， ，
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
2-17已知控制系统结构图如图2-65所示，试通过结构图等效变换求系统传递函数 。
图2-65题2-17系统结构图
解本题研究结构图的等效变换。
(1)图2-65 (a)
系统经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
(2)图2-65 (b)
系统经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
即
等效系统结构图
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
简化结构图
经过比较点的移动，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
(2)图2-66 (b)系统
仅考虑输入 作用于系统时，系统的结构图为
系统结构图
经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过串联等效和并联等效，可得如下简化结构图
简化结构图
2-15某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。已知电位器最大工作角度 ，功率放大级放大系数为 ，要求：
(1)分别求出电位器传递系数 ，第一级和第二级放大器的比例系数 和 ；
(2)画出系统结构图；
(3)简化结构图，求系统传递函数 。
图2-63位置随动系统原理图
解本题研究通过系统的原理图得出结构图，并简化结构图求出系统闭环传递函数。
经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
仅考虑扰动 作用于系统时，系统的结构图为
系统结构图
则系统传递函数为
2-19试绘制图2-65中各系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求各系统的传递函数 。
解本题研究系统的信号流图，以及运用梅森增益公式求传递函数。
(1)图2-65 (a)系统
2-11在图2-60中，已知 和 两方框相对应的微分方程分别是
且初始条件均为零，试求传递函数 及 。
图2-60题2-11系统结构图
解本题研究系统微分方程与系统传递函数的转换方法。
对题设所给的微分方程两边同时进行拉氏变换，由于初始条件均为零，所以有
由上式可得
由系统的方框图可得
将 和 代入得
又
则
所以传递函数 和 分别为
2-5设初始条件为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制 曲线，指出各方程式的模态。
(1)
(2)
(3)
解本题考察用拉氏变换法求解线性定常微分方程。
(1)
由拉氏变换可得
则由拉氏反变换可得
由 的表达式易得系统的特征根为 ，故该方程的运动模态为 。因此， 曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为 )
2-16设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图2-64所示，要求：
图2-64直流电动机调速系统原理图
(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；
(2)画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为 ；电流互感器和测速发电机的传递系数分别为 和 ；直流电动机的结构图用题2-14的结果）；
(3)简化结构图，求系统传递函数 。
单位阶跃响应曲线
2-6在液压系统管道中，设通过阀门的流量 满足如下流量方程
式中， 为比例系数； 为阀门前后的压差。若流量 与压差 在其平衡点（ ， ）附近作微小变化，试导出线性化流量方程。
解本题考察流量非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。
(1)求 ， 和
(2)系统结构图
假设电动机的时间常数为 ，可得直流电动机的传递函数为（忽略电枢电感的影响）
其中 为直流电动机的传递系数。
假设测速发电机的斜率为 ，则其传递函数为
由此可见，系统的结构图如下图所示
位置随动系统结构图
(3)系统传递函数
系统结构图的简化图如下
系统结构图简化
由简化的结构图可得系统的传递函数
简化结构图
则系统传递函数为
2-18试简化图2-66中系统结构图，并求传递函数 和 。
(a)
(b)
图2-66题2-18系统结构图
解本题研究结构图的等效变换。
(1)图2-66 (a)系统
仅考虑输入 作用于系统时，系统的结构图为
系统结构图
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
仅考虑扰动 作用于系统时，系统的结构图为
第二章 控制系统的数学模型
2-1在图1-22的液位自动控制系统中，设容器横截面积为 ，希望液位为 。若液体高度变化率与液体流量差 成正比，试列写以液位为输出量的微分方程式。
解本题研究建立液位控制系统的微分方程数学模型。
当 时，液位的高度为 ；当 时，液位的高度 将发生变化。
由于液体高度变化率与液体流量差 成正比，所以有
整理后可得2-59(a)所示的无源网络的微分方程为
(2)对于图2-59(b)所示的无源网络，设通过左侧电阻 的电流为 （方向自左向右），通过右侧电阻 的电流为 （方向自右向左），通过电容 的电流为 （方向自左向右），通过电容 的电流为 （方向自上向下），根据电压平衡可得：
于是
从而
又因为 ，则
即
整理后可得2-59(b)所示的无源网络的微分方程
2-10设系统的传递函数为
且初始条件 ， 。试求单位阶跃输入 时，系统的输出响应 。
解本题用拉氏变换法研究系统传递函数与输出响应的相互关系。
已知系统的传递函数，则对应的微分方程为
对上式两边同时进行拉氏变换。可得
输入为 ，即
代入初始条件 ， ，可得
对上式进行拉氏反变换可得系统在阶跃输入 时，输出响应 为
2-4试分别列写图2-59中各无源网络的微分方程式。
(a) (b)
图2-59无源网络
解本题研究网络数学模型的建立方法。
(1)对于图2-59(a)所示的无源网络，设通过电阻 的电流为 （方向自左向右），通过电容 的电流为 （方向自左向右），通过电阻 的电流为 （方向自上向下），根据电压平衡可得
于是
从而
单位斜坡响应曲线
(2)
由拉氏变换可得
则由拉氏反变换可得
由 的表达式易得系统的特征根为
故该方程的运动模态为 。因此， 曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为 )
单位脉冲响应曲线
(3)
由拉氏变换可得
则由拉氏反变换可得
由 的表达式易得系统的特征根为
故该方程的运动模态为 ， 。因此， 曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为 )
2-12求图2-61所示有源网络的传递函数 。
图2-61有源网络
解本题研究用等效复数阻抗方法推导有源网络的传递函数的方法。
(1)对于图2-61(a)所示的有源网络可得
(2)对于图2-61(b)所示的有源网络可得
(3)对于图2-61(c)所示的有源网络可得
2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数 。
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有两条前向通道，一个单独回路，即
，
，
，
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(2)图2-65 (b)系统
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有一条前向通道，两个单独回路，即
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(3)图2-65 (c)系统
系统信号流图如下图所示
则以液位为输出量的微分方程式为
2-2设机械系统如图2-57所示，其中 是输入位移， 是输出位移。试分别写出各系统的微分方程。
图2-57机械系统
解本题研究建立机械系统的微分方程数学模型。
(1)对于2-57(a)所示系统，根据力平衡方程，在不计重力时，可得
则系统的微分方程式为
(2)对于2-57(b)所示系统，在上部分弹簧与阻尼器之间取辅助点 ，并设 点位移为 ，方向向下。根据力平衡方程，在不计重力时，可得下列方程
(2)对于图2-58(b)，在弹簧 和阻尼器 之间引入辅助点，设其位移为 ，方向向下。根据力平衡方程，在不计重力时，可得
对上述两式进行拉氏变换，考虑初始条件为零，可得
消去中间变量
则机械系统的传递函数为
通过比较 、 可知：两传递函数的类型相同，即图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
(5)图2-65 (e)
系统经过比较点后移和引出点前移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过并联等效，可得如下简化结构图
简化结构图
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
简化结构图
则Fra Baidu bibliotek统传递函数为
(6)图2-65 (f)
系统经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过并联等效和反馈连接等效，可得如下简化结构图
在 处对 进行泰勒展开，然后再取其一次项近似可得
由上式可得全控整流电路的线性化方程为
2-9若系统在阶跃输入 时，零初始条件下的输出响应 ，试求系统的传递函数和脉冲响应。
解本题用拉氏变换法研究系统输出响应与传递函数之间的关系。
系统在阶跃输入 ，即
时，系统的输出响应为 ，即
则系统的传递函数为
于是，系统脉冲响应为
系统信号流图
由图可知，本系统有两条前向通道，两个单独回路，即
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(4)图2-65 (d)系统
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有一条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即
； 与 不接触，
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(5)图2-65 (e)系统
直流电动机调速系统结构图
(3)求系统传递函数
为了推导方便，设 ， ，
则简化结构图可得
电机调速系统结构图简化
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
电机调速系统结构图简化
由简化的结构图可得系统的传递函数
其中
， ，
， ，
于是
其中
可用信号流图及梅森增益验证如下：
电机调速系统信号流图
由图可知，本系统有一条前向通道，三个单独回路，无互不接触回路，即
消去中间变量 ，由于
，
故有
则系统的微分方程式为
(3)对于2-57(c)所示系统，根据力平衡方程，在不计重力时，可得
则系统的微分方程式为
2-3试证明图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
(a) (b)
图2-58电网络与机械系统
解本题研究用拉氏变换法建立系统的传递函数数学模型。
(1)对于图2-58(a)，根据复数阻抗的方法可得电网络的传递函数为
解本题研究将系统的微分方程通过拉氏变换得到系统的传递函数，并根据传递函数画出系统的结构图。
电枢控制直流电动机的三组微分方程式为：
电枢回路电压平衡方程
电磁转矩方程
电动机轴上的转矩平衡方程
对上述三式分别进行拉氏变换并设初始条件为零可得
根据此三式可以画出直流电动机的结构图如下图所示
直流伺服电机结构图
则电动机的传递函数如下
简化结构图
则系统传递函数为
(3)图2-65 (c)
系统经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过并联等效，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
(4)图2-65 (d)
系统经过比较点前移和引出点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
经过反馈连接等效，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
图2-62控制系统模拟电路
解本题研究用等效复数阻抗方法推导网络模拟系统的传递函数。
在图2-62中，令第一级运算放大器输出为 ，第二级运算放大器输出为 ，则可得
因为 ，故有
又因 ，故有
则
所以
整理后可得闭环传递函数 为
2-14试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求出电动机的传递函数 和 。
解本题研究通过调速系统的原理图得出结构图，并简化结构图求出闭环传递函数。
(1)求调节器的传递函数
速度调节器的传递函数为
电流调节器的传递函数为
(2)画系统结构图
由于直流电动机的结构图用题2-14的结果，同时由于引入了电流反馈，故在电动机的动态结构图中必须把电枢电流 显露出来，于是直流电动机调速系统的结构图如下图所示
在平衡点（ ， ）处对流量 泰勒展开并取一次项近似可得
则线性化流量方程如下
省去符号“ ”，上式可以简写为
2-7设弹簧特性由下式描述：
其中， 是弹簧力； 是变形位移。若弹簧在变形位移 附近作微小变化，试推导 的线性化方程。
解本题考察弹簧元件非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有两条前向通道，三个回路，无不接触回路，即
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
(6)图2-65 (f)系统
系统信号流图如下图所示
系统信号流图
由图可知，本系统有两条前向通道，一个单独回路，即
在 处对 进行泰勒展开，并取一次项近似可得
由上式可知， 的线性化方程为
上式亦可简化表示为
2-8设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角 ，输出量为空载整流电压 ，它们之间的关系为
式中 是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。
解本题考察电路非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。
， ，
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
2-17已知控制系统结构图如图2-65所示，试通过结构图等效变换求系统传递函数 。
图2-65题2-17系统结构图
解本题研究结构图的等效变换。
(1)图2-65 (a)
系统经过比较点后移，可得如下简化结构图
简化结构图
则系统传递函数为
(2)图2-65 (b)
系统经过反馈连接等效，可得如下简化结构图