理论力学第4章讲义

杆件一端与固定面固接，或埋入固定面不 (3) 空间固定端： 能动时，在空间主动力系作用下，固定的 约束称为固定端约束
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A l
r F B x
αr
r F
y
Fz
= −Fz ⋅ BC
= −Fl cosα
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工 程 力 学 第 10 4 章 空 动 间 量 力 原 系 理 的 平 衡
例 4-2 手柄 ABCDE 在 Axy 平面内，D 点有一作用力，在垂 直于 y 轴的平面内，偏离垂线的角度 α。CD=a，BC//x, CD//y, AB=BC=l。求该力对三个坐标轴的矩。 z a 解 将力分解有 C D E
Fx = F cosα
Fy = F cos β
z A
Fz = F cosγ
α、β、γ 为力 F 的方向角
cosα、 β、 γ cos cos r 为力 F 的方向余弦
r
γ
O
r F
β
y
2
α
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x
4.1.2 二次投影法
工 程 力 学 第 10 4 章 空 动 间 量 力 原 系 理 的 平 衡
Fx = F sinα
Fy = 0
Fz = F cosα
r r r x Mz (F) = Mz (Fx ) + Mz (Fy )
A l
r F B x
αr
r F
y
Fz
= −Fx ( AB + CD)
= −F(l + a)sinα
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x 4.3 常见空间约束及其约束力
工 程 力 学 第 10 4 章 空 动 间 量 力 原 系 理 的 平 衡
工 程 力 学 第 10 4 章 空 动 间 量 力 原 系 理 的 平 衡
力对轴的矩
r 力对物体绕某一轴转动效应的度量。 Mz (F) r r z Mz (F) = Mz (Fxy ) r r = MO (Fxy ) F
= ±Fxyd
r Fz
O d A x
y
r Fxy
力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量， 力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，等于 力在垂直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。 力在垂直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。
z A
Fx y = F sin γ
Fx = Fx y cosϕ
= F sin γ cosϕ
Fy = Fx y sin ϕ
γ
O
r F
ϕ
r Fx y
y
= F sin γ sin ϕ
Fz = F cosγ
x
力在坐标轴上的投影是代数量；力在坐标平面上的投 影是矢量（具有方向性）。
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注 意
0.5学时
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第四章 空间力系的平衡
x 4.1 力在空间直角坐标轴上的投影 x 4.2 力对直角坐标轴之矩 x 4.3 常见空间约束及其约束力 x 4.3 空间力系的平衡方程及其应用
作业：4-1, 4-2
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力对轴的矩的符号规定
r Mz (F) = ±Fxyd
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上式中的“±”是用以描述该力使物体绕轴转动的方向的。 ± r 其规定： 逆着 z 轴的正向观察， Fxy使物体有绕 z 轴 逆时针转动趋势时，则力矩为“+”， 右手螺旋法则 顺时针转动趋势时，则力矩为“-”。 在空间力系中，力对轴之矩为代数量。 在空间力系中，力对轴之矩为代数量。 力对轴之矩为零的两种特殊情况 r r (1) F // z ： Fxy = 0
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已知力在坐标轴上的投影， 已知力在坐标轴上的投影，求力的大小和方向
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F = Fx2 + Fy2 + Fz2
Fx cosα = F
cos β = Fy F
Fz cosγ = F
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§4.2 力对直角坐标轴之矩
r (2) 力 F与 z 轴相交： d = 0
r Mz (F) = ±Fxyd = 0 r Mz (F) = ±Fxyd = 0
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当力与轴共面时，力对轴之矩为零。 当力与轴共面时，力对轴之矩为零。
合力矩定理 合力对某一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。 合力对某一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。
例 4-2 手柄 ABCDE 在 Axy 平面内，D 点有一作用力，在垂 直于 y 轴的平面内，偏离垂线的角度 α。CD=a，BC//x, CD//y, AB=BC=l。求该力对三个坐标轴的矩。 z a 解 将力分解有 C D E
Fx = F sinα
Fy = 0
Fz = F cosα
r r r x My (F) = My (Fx ) + My (Fz )
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r r Mz (FR ) = ∑Mz (Fi )
利用合力矩定理，计算力对轴之矩
r r r r Mx (F) = Mx (Fx ) + Mx (Fy ) + Mx (Fz ) r r z = Mx (Fy ) + Mx (Fz )
Fx = F sinα
Fy = 0
Fz = F cosα
r r r x Mx (F) = Mx (Fy ) + Mx (Fz )
A l
r F B x
αr
r F
y
Fz
= −Fz ( AB + CD) = −Fz (l + a)cosα
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r Fz
A
= −zFy + yFz
r 同理 My (F) = zFx − xFz r Mz (F) = xFy − yFx
x O
r F
r Fy
z xHale Waihona Puke Baiduy
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r Fx
y
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工 程 力 学 第 10 4 章 空 动 间 量 力 原 系 理 的 平 衡
例 4-2 手柄 ABCDE 在 Axy 平面内，D 点有一作用力，在垂 直于 y 轴的平面内，偏离垂线的角度 α。CD=a，BC//x, CD//y, AB=BC=l。求该力对三个坐标轴的矩。 z a 解 将力分解有 C D E
一个物体如果受到空间主动力系的作用， 所受到的约束力也将是一个空间的约束力系。 工程中常见到的空间约束及其约束力有下列几种： 被约束的物体以一球形体置于一固定的空 (1) 球铰链： 心球面内
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这种轴承不仅限制轴在径向运动，而且限制 (2) 止推轴承： 轴沿其轴向滑动
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§4.1 力在空间直角坐标轴上的投影
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空间力系的平衡问题，不宜采用几何法 不宜采用几何法，只能用解析法 解析法。 不宜采用几何法 解析法 需用到力在坐标轴上的投影 力对轴之矩 投影和力对轴之矩 投影 力对轴之矩的计算。 4.1.1 一次（直接）投影法 一次（直接）