矩阵的初等变换及初等矩阵 PPT课件

二、初等矩阵的应用
定理1 设A 是一个 m n 矩阵，对 A施行一
次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m
阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于
在A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则E(i, j)1 E(i, j) ；
以 En(i(k)) 右乘 矩阵 A，其结果 相当于以数 k 乘 A 的第 i 列 (ci k).
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
[或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1
E(ij(k))
a11
a21
am1
a1i ka1 j a2i ka2 j
ami kamj
a1 j a2 j amj
a1n a2n amn
例6 2
2 1
5 4
3 1 2 0
0 1
0 0
8
5
5
4
23
0 6 5 2 0 1 10 6 5
将矩阵的第3列乘以2后加到第1列上去
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
倍法变换（也称“倍行变换”）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的
元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作ri krj）.
消法变换（也称“倍加变换”）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称 为初等变换．
第2列与第3列对调
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
以 Em (i(k)) 左乘矩阵 A，
a11 a12
Em
(
i(
k
))
A
kai1
kai 2
am1 am2
a1n
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
二、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
a11
AEn
(i
,
j)
a21
am1
a1 j a2 j amj
a1i a2i ami
a1n a2n amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
例2
2 5 3 1 0 0 2 3 5
1 4 2 0 0 1 1 2 4 0 6 5 0 1 0 0 5 6
1 k
第i行
1
第j行
1
以 Em (ij(k)) 左乘矩阵 A，
a11
a12
ai1
ka
j1
ai2 ka j2
Em (ij(k))A
பைடு நூலகம்
a j1
aj2
am1
am 2
a1n
ain
a
jn
a jn
amn
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 (ri krj ).
例5
变换
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1 k
，
则 E(i(k ))1 E(i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj， 则 E(ij(k))1 E(ij(k)) .
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11 a12 a1n
a
j1
aj2
a jn
第
i
行
Em(i, j)A
《线性代数》同济六版
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换
---附(初等矩阵)
课件制作：黄 明
2018年9月
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）；
换法变换（也称“调行变换”）
2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
ai1
ai2
ain
第
j
行
am1 am2 amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换：
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 (ri rj ).
例1
1 0 0 2 5 3 2 5 3 0 0 1 1 4 2 0 6 5
0 1 0 0 6 5 1 4 2
第2行与第3行对调
类似地， 以 n 阶初等矩阵 En(i, j) 右乘矩阵 A，
kain
第
i
行
amn
类似地，
例3
2
1 0 0 2 5 3 2 5 3
0 2 0 1 4 2 2 8 4 0 0 1 0 6 5 0 6 5
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 (ri k )；
例4
2
2 1
5 4
3 1 2 0
0 2
0 0
21
10
8
3
2
0 6 5 0 0 1 0 12 5
1 0 2 2 5 3 2 7 13
2
0 1 0 1 4 2 1 4 2
0 0 1 0 6 5 0 6 5
将第3行乘以2，加到第一行上去
类似地，以 En (ij(k )) 右乘矩阵 A，其结果相当于 把 A 的第j列乘 k 加到第 i 列上 (ci kc j ).
AEn (ij(k ))