七年级数学下册第5章相交线与平行线5.1.1_5.1.2相交线垂线教案新版新人教版

5.1.1-2相交线、垂线

课型新授单位主备人

教学目标：

1.知识与技能：在两条直线相交的基础上理解邻补角、对顶角的概念，掌握它们的特征并会识别；了解垂直概念，能说出垂线的性质，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.

2.过程与方法：经历观察、操作、想象、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,以及推理能力;用几何语言准确表达能力.

3.情感、态度、价值观：让学生经历探究的全过程，体验探究的乐趣，体会数学与日常生活的密切联系，享受创造性学习的乐趣.

重点、难点：

教学重点：掌握邻补角、对顶角的特征，垂线的性质, 掌握点到直线的距离的概念.

教学难点：垂线的性质，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线,掌握点到直线的距离的概念. 教学准备：

PPT课件和微课等.

教学过程

一、创设情景、引入新课

我们走过的马路，有些是相交的、有些是平行的；黑板边缘所在的直线也有相交或平行(示意黑板)两种情况.列举你生活中见到的相交线和平行线的实例.（学生举例）

本章的主要内容就是要学习和研究两条直线相交和平行的规律.

本节课我们一起从相交线开始学习.

二、自主学习、合作探究

师生共同操作：在准备好的白纸上，用直尺画出两条相交的直线.

1.观察所画的直线，你发现了什么？

学生分享发现：两条直线相交，构成四个角.

2.两条直线相交而成的四个角，存在什么关系？

概括形成邻补角、对顶角概念.

的大小，会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗？为什么？

3.如果改变AOC

4.对顶角有什么性质？写出你的推理过程.

【设计意图：通过开放性问题的设计，培养学生细致的观察能力.学生根据问题情境分组合作，自主探究，根据实例探寻规律，构建数学模型. 让学生在合做中探究，在活动中去发现，在发现中成长，在成长中快乐.】

5.刚才的情况是两条直线相交，过交点，还可以再作一条直线，你能找出哪些是邻补角？哪些是角吗？

O D

C B

A

6.若AOC ∠：AOE ∠=2：3，

130=∠EOD ，则BOC ∠是多少度？

7.两条直线相交而成的角，大小都是任意的，当其中的一个角是90°的时候，会出现什么结果呢？

【设计意图：在两条直线相交的基础上，进行两个方向的拓展，一是三条直线交于一点，目的是让学生能够在复杂的情境中准确找出对顶角和邻补角的关系.另一个拓展是由一般到特殊，也就是垂直的情况.】

三、释疑解难、精讲点拨

两条直线相交时，当其中的一个角是90°的时候，就成了一种特殊情况.接下来共同研究这种特殊情形.

1.这是两条直线相交的特殊情形，我们给它取一个名字，________.

两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____角时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____.

2．表示方法：

垂直用符号“⊥ ”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ，

垂足为O”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号.

3.作图： 根据定义，我们知道要想让两条直线垂直，只要保证有一个角是90°即可. (1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L 的垂线. 思考问题：怎样画图？能画出几条关于L 的垂线？ L

(2)经过直线L 外一点A 画直线L 的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?

A .

L

学生通过画图操作,得出垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.学生及时思考，及时将自己的收获与感悟及时地总结出来。

4.操作练习：如图根据下列语句画图: (1)过点P 画射线MN 的垂线,Q 为垂足;

(2)过点P 画射线BN 的垂线,交射线BN 反向延长线于Q 点; (3)过点P 画线段AB 的垂线,交线AB 延长线于Q 点.

P M

A

O D

C

B

A

（1）两条直线相交，形成哪几种关系的角，他们的关系是什么？ （2）两条直线相交的特殊情况是什么？具体阐述. （3）垂线段有什么性质？什么是点到直线的距离？ （4）学生说其它收获.

【学生对本节课进行知识梳理，巩固教学目标.】 六、板书设计:

相交线 垂直

相交 垂直

邻补角 对顶角

作业设计

最佳解决方案

基础：

课本第7页，习题5.1，复习巩固1——7题 综合：

课本第8页，习题5.1，综合运用8题

教学设计说明：

根据分工要求，这节课要处理的内容很多。所以，教案设计思路从相交线开始展开探究，在认识一般情况的基础上，进行特殊化研究，故而延展到垂线，在对垂直的各方面进行深入探究，如垂直的特征、点到直线的距离等等，构建了这样一个认知体系. 对于本课内容，采用不同的教学方式，这样可以带来的是不同的情感体验。本节课教师让学生自学、谈收获、体会，教师只点拨难点，同样能完成教学任务，更重要的是学生积极主动参与了获取知识的过程。自主学习不是教师引导学生圈套式的学，而是教师要给学生足够的空间，让学生用自己的方式去设计并通过不断反思和修正来发现，教师在课堂中的作用是对学生进行有效的指导，帮助学生形成科学概念，培养科学探究的方法、态度和习惯等等.

2019-2020学年初一下学期期末模拟数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）

1．如图，图中∠1与∠2是内错角的是（）

A．a和b B．b和c C．c和d D．b和d 2．在式子：3x﹣y＝6中，把它改写成用含x的代数式表示y，正确的是（）

A．y＝3x﹣6 B．y＝3x+6 C．x＝1 3 y

+2 D ．x＝﹣

1

3

y+2

3．方程x ﹣2y=﹣3和2x+3y=1的公共解是（）

A．

3

x

y

=-

?

?

=

?

B．

1

3

x

y

=

?

?

?

=

??

C．

3

1

3

x

y

=-

?

?

?

=

??

D．

1

1

x

y

=-

?

?

=

?

4．如图，直线1y x b

=+与

2

1

y kx

=-相交于点P，点P的横坐标为1-，则关于x的不等式1

x b kx

+<-的解集在数轴上表示正确的是（）

A．B．

C．D．

5．如图，A、B是数轴上的两点，在线段AB上任取一点C，则点C到表示－1的点的距离不大于

．．．2的概率是（）

A．

1

2

B．

2

3

C．

3

4

D．

4

5

6．下列调查工作需采用普查方式的是（）

A．环保部门对长江某段水域的水污染情况的调查；

B．电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查；

C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查；

D ．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查.

7．如图，ABC ?中，30,70,A B CE ∠=?∠=?平分,ACB CD AB ∠⊥于,D DF CE ⊥，则CDF ∠的读数为（ ）

A ．20

B ．60

C ．70

D ．80

8．在平面直角坐标系中，已知点P （﹣2，3），则点P 在（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

9．下列命题中，真命题的是（ ） A ．两条直线平行，同旁内角相等 B ．内错角相等 C ．同位角相等

D ．对顶角相等

10．在平面直角坐标系xoy 中，对于点P （x ,y ），我们把点P ′（－y +1,x +1）叫做点P 伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（2，4），点A 2018的坐标为（ ） A ．（－3，3） B ．（－2，－2）

C ．（3，－1）

D ．（2，4）

二、填空题题

11．如图，在ABC △中，AB AC =，点D 是边AC 上一点，且BC BD =，若46CBD ∠=?，则

A ∠=_________?.

12．多项式15a 2b 2+5a 2b ﹣20a 2b 2中各项的公因式是____．

13．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()3,2-，若直线AB 平行于x 轴，且,A B 两点距离等于3，则点

B 的坐标为____________．

14．已知关于x 的方程3a ﹣x ＝x+2的解为2，则代数式a 2+1＝______

15．方程组24x y k x y +=??-=?

的解满足1x >，1y <，k 的取值范围是：__________.

16．如图，从ABC ?纸片中剪去CDE ?，得到四边形ABDE ，若12248∠+∠=；则C ∠的度数为____.

17．如图，AB ⊥CF ，垂足为B ，AB ∥DE ，点E 在CF 上，CE ＝FB ，AC ＝DF ，依据以上条件可以判定△ABC ≌△DEF ，这种判定三角形全等的方法，可以简写为“________”．

三、解答题

18．在正方形ABCD 的外侧作等腰ABE ?，已知EAB α∠=，连接ED 交等腰ABE ?底边上的高AF 所在的直线于点G .

（1）如图1，若30α=，求AGD ∠的度数； （2）如图2，若90

180α<<，82BE =，14DE =，则此时AE 的长为 ．

19．（6分）已知：如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠交AC 于E ，CD AC ⊥交AB 于D ，BCD A ∠=∠，求BEA ∠的度数．

20．（6分）如图，已知//AM BN ，60A ∠=?，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC 、BD 分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线ABP ∠于点C 、D .

（1）求CBD ∠的度数；

（2）当点P 运动时，APB ∠与ADB ∠之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.

（3）当点P 运动到使时ACB ABD ∠=∠，求ABC ∠的度数.

21．（6分）如图，已知BD 平分∠ABC ，点F 在AB 上，点G 在AC 上，连接FG 、FC ，FC 与BD 相交于点H ，∠l =∠2.

(1)求证:∠GFH 与∠BHC 互补；(2)若∠A =75°，FG ⊥AC ，求∠ACB 的度数.

22．（8分）（17+ 7 的整数部分是 a ， 7 7的整数部分是 b ，求 a + b 的值 （27+ 7 的小数部分是 a ， 7 7的小数部分是 b ，求 a + b 的值．

23．（8分）某公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2600元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2500元，且同一型号汽车每辆租车费用相同. (1)求租用辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?

(2)若这个公司计划此次租车费用不超过5200元，通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用，

24．（10分）（1）计算：2018(1)-+2

1

()2

--8-（π﹣3.14）1．

（212275)75)? （3）化简：2

2

2

(2)?3(6)x y xy x y -÷-

25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0）是x 轴正半轴上一点，C 是第四象限内一点，CB ⊥y 轴交y 轴负半轴于B （0，b ），且|a ﹣3|+（b +4）2＝0，S 四边形AOBC ＝1．

（1）求点C的坐标．

（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数；（点E在x轴的正半轴）．

（3）如图3，当点D在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N 点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每题只有一个答案正确）

1．D

【解析】

【分析】

根据内错角的定义找出即可．

【详解】

解：由内错角的定义可得b，d中∠1与∠2是内错角．

故选：D．

【点睛】

本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记内错角的定义是解题的关键．

2．A

【解析】

【分析】

把x看作已知数，移项，系数化成1即可．

【详解】

解：3x ﹣y ＝6， ﹣y ＝6﹣3x ， y ＝3x ﹣6， 故选：A ． 【点睛】

本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 3．D 【解析】 【分析】

联立两方程组成方程组，求出解即可． 【详解】 解：联立得：23231x y x y -=-??

+=?①

②

，

②﹣①×2得：7y=7， 解得：y=1，

把y=1代入①得：x=﹣1， 则方程组的解为1

1

x y =-??=?，

故选D ． 【点睛】

此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．C 【解析】 【分析】

由图像可知当x<-1时，1x b kx +<-，然后在数轴上表示出即可. 【详解】

由图像可知当x<-1时，1x b kx +<-， ∴可在数轴上表示为：

故选C.

【点睛】

本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．函数y1＞y2时x的范围是函数y1的图象在y2的图象上边时对应的未知数的范围，反之亦然．

5．D

【解析】

【分析】

如图所示，C1与C2到表示－1的点的距离均等于2，当点C在C1、C2之间时，点C到表示－1的距离小于2，根据几何概率的概念可求出概率.

【详解】

如图所示，

C1与C2到表示－1的点的距离均等于2，当点C在C1、C2之间时，点C到表示－1的距离小于2，根据几何

概率的概念可知点C到表示－1的点的距离不大于2的概率P＝4

5

，故答案选D.

【点睛】

本题主要考查了几何概率的概念，解本题的要点在于找出点C到表示－1的点的距离不大于2的范围. 6．D

【解析】

【分析】

根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．

【详解】

A、环保部门对长江某段水域的水污染情况的调查不可能把全部的水收集起来，适合抽样调查.

B、电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查，因为普查工作量大，适合抽样调查.

C、质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查，如果普查，所有电池都报废，这样就失去了实际意义，适合抽样调查.

D、企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查是精确度要求高的调查，适合全面调查.

故选D.

【点睛】

本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确

度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

7．C

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．

【详解】

解：∵∠A＝30°，∠B＝70°，

∴∠ACB＝180°?∠A?∠B＝80°．

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝1

2

∠ACB＝40°．

∵CD⊥AB于D，

∴∠CDA＝90°，

∠ACD＝180°?∠A?∠CDA＝60°．

∴∠ECD＝∠ACD?∠ACE＝20°．

∵DF⊥CE，

∴∠CFD＝90°，

∴∠CDF＝180°?∠CFD?∠ECD＝70°．

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，是基础题，准确识别图形是解题的关键．8．B

【解析】

【分析】

【详解】

点P（-2，3）在第二象限，故选B.

9．D

【解析】

【分析】

根据相交线与平行线的关系即可求解.

【详解】

A. 两条直线平行，同旁内角互补，故错误；

B. 两条直线平行，内错角才相等，故错误；

C. 两条直线平行，同位角相等，故错误；

D. 对顶角相等，正确

故选D.

【点睛】

此题主要考查相交线与平行线的关系，解题的关键是熟知平行线的性质与对顶角的特点.

10．A

【解析】

【分析】

根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2018除以4，根据商和余数的情况确定点A2018的坐标即可．

【详解】

∵A1的坐标为（2，4），

∴A2（-3，3），A3（-2，-2），A4（3，-1），A5（2，4），

…，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

∵2018÷4=504…2，

∴点A2018的坐标与A2的坐标相同，为（-3，3）．

故答案是A．

【点睛】

考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．

二、填空题题

11．46

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=∠BDC，再根据三角形内角和定理即可推导得出∠A=∠CBD=46°. 【详解】

∵AB=AC，BC=BD，

∴∠ABC=∠C ，∠BDC=∠C ， ∴∠ABC=∠C=∠BDC ，

∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∠BDC+∠C+∠CBD=180°， ∴∠A=∠CBD=46°， 故答案为：46. 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用. 12．5a 2b 【解析】 【分析】

由题可知每一项都有5a 2b ，即可求解； 【详解】

因为每一项都有5a 2b ，

所以多项式各项的公因式为5a 2b ； 故答案为5a 2b. 【点睛】

本题考查多项式的公因式；掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键． 13．()0,2或()6,2- 【解析】 【分析】

根据平行于x 轴的直线上的点纵坐标相等，得出点B 的纵坐标为2，再根据,A B 两点距离等于3，用A 点的横坐标加3或减3即可 【详解】

∵点A 的坐标是()3,2-，直线AB 平行于x 轴， ∴B 点的纵坐标为2； ∵,A B 两点距离等于3， ∴B 点的横坐标为-3+3=0或-3-3=-6 ∴B ()0,2或()6,2-

故答案为：()0,2或()6,2- 【点睛】

本题涉及到的知识点为：平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个． 14．5 【解析】 【分析】

把x=2代入方程，即可求出a ，把a 的值代入求出即可． 【详解】

把x=2代入方程3a-x=x+2， 得：3a-2=4， 解得：a=2， 所以a 2+1=22+1=5， 故答案为5 【点睛】

本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出a 的值是解此题的关键． 15．13k -<< 【解析】 【分析】

先求出方程组的解，再得出关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】 解：解方程组

得：22x k y k +??-?

＝＝，

∵关于xy 的方程组24

x y k

x y +??

-?＝＝的解满足1x >，1y <，

∴2121k k +??-?

＞＜，

解得：-1＜k ＜1， 故答案为：-1＜k ＜1．

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于k的不等式组是解此题的关键．16．68

【解析】

【分析】

根据∠1+∠2的度数，再利用四边形内角和定理得出∠A+∠B的度数，即可得出∠C的度数．

【详解】

解：因为四边形ABCD的内角和为360°，且∠1+∠2=248°．

所以∠A+∠B=360°-248°=112°．

因为△ABD的内角和为180°，

所以∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-112°=68°．

故答案为：68°

【点睛】

此题主要考查了多边形的内角与外角，利用四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系是解题关键．

17．HL

【解析】

【分析】

根据直角三角形全等的判定、平行线的性质进行解答．

【详解】

∵AB⊥CF，AB∥DE，

∴△ABC和△DEF都是直角三角形．

∵CE=FB，CE为公共部分，

∴CB=EF，

又∵AC=DF，

∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．

故填HL．

【点睛】

本题考查的是直角三角形全等的判定定理及平行线的性质，牢记定理，并注意在直角三角形中HL定理的应用，得到CB=EF是正确解答本题的关键．

三、解答题

18．（1）45AGD ∠=；（2）52. 【解析】 【分析】

（1）先求出EAD 120∠=?，再根据等腰三角形的性质可得AED ADE 30∠∠==?，由三线合一可求

EAG 15∠=?，然后根据三角形外角的性质求解即可；

（2）如图，过A 作AQ ⊥DE 于Q ，则∠AQP=90°，由AD=AE ，得到DQ=EQ ，∠AEQ=∠ADQ ，同理得到∠3=∠FAB ，根据外角的性质得到∠APQ=∠3-∠AEQ=∠3-∠ADQ ，等量代换得到∠2=∠3-∠AEP ，求得∠2=∠APQ=45°，进而可证∠FEP=∠APQ=45°，由勾股定理求出PE 的长，再根据勾股定理求出AE 的长即可.

【详解】

解：（1）∵α30=,BAD 90∠=?， ∴EAD 120∠=?， ∵AE AD =，

∴AED ADE 30∠∠==?， ∵AE=AB,AF ⊥BE, ∴1

EAG EAB 152

∠∠=

=?， ∴AGD AEG EAG 45∠∠∠=+=；

（2）如图，过A 作AQ ⊥DE 于Q ，则∠AQP=90°， ∵AD=AE ，

∴DQ=EQ ，∠AEQ=∠ADQ ，EQ=1

2

DE=7, ∵AE=AB ，AF ⊥BE ， ∴∠3=∠FAB ，EF=

1

2

2, ∵∠APQ=∠3-∠AEQ=∠3-∠ADQ ， ∵∠1+∠FAB=∠FAB+∠ABF=90°， ∴∠1=∠ABF=∠AEF ，

∴∠2=90°-∠1-∠ADP=90°-（90°-∠3）-∠AEP=∠3-∠AEP ， ∴∠2=∠APQ=45°，

∵∠1=∠AEF ，∠AEQ=∠ADQ ， ∴∠FEP=∠APQ=45°， ∴FP=EF=42, ∴PE=

()()

2

2

42428+=,

∴PQ=8-7=1,

∴AE=227152+=.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 19．135° 【解析】 【分析】

设BCD A x ∠=∠=，ABE CBE y ∠=∠=，根据三角形外角定理，分别用, x y 表示∠ADC 和∠BEC ，结合∠A 与∠ADC 互余，列方程即可求出∠BEC ，由邻补角的性质进而可求出BEA ∠的度数． 【详解】

设BCD A x ∠=∠=，ABE CBE y ∠=∠=， ∵CD AC ⊥

∴∠A+∠ADC=∠A+(∠BCD+∠ABC)=()()22=90x x y x y ++=+? ∴45x y +=?

∴∠BEC=∠A+∠ABE=45x y +=? ∴BEA ∠=180°-45°=135° 即BEA ∠的度数为135°． 【点睛】

本题主要考察三角形外角定理、互余与邻补角的性质，解题关键是用未知数表示出角的度数，进而根据它们之间的关系进行代数运算．

20．（1）60CBD ∠=?；（2）不变，2APB ADB ∠=∠；（3）30ABC ∠=? 【解析】 【分析】

（1）先根据平行线的性质，得出∠ABN=120°，再根据BC 、BD 分别平分∠ABP 和∠PBN ，即可得出∠CBD 的度数；

（2）根据平行线的性质得出∠APB=∠PBN ，∠ADB=∠DBN ，再根据BD 平分∠PBN ，即可得到∠PBN=2∠DBN 进而得出∠APB=2∠ADB ；

（3）根据∠ACB=∠CBN ，∠ACB=∠ABD ，得出∠CBN=∠ABD ，进而得到∠ABC=∠DBN ，根据∠CBD=60°，∠ABN=120°，可求得∠ABC 的度数． 【详解】 （1）

AM //BN ，

ABN A 180∠∠∴+=?， ABN 18060120∠∴=?-?=?， ABP PBN 120∠∠∴+=?，

BC 平分ABP ∠，BD 平分PBN ∠， ABP 2CBP ∠∠∴=， PBN 2DBP ∠∠∴=， 2CBP 2DBP 120∠∠∴+=?， CBD CBP DBP 60∠∠∠∴=+=?；

（2）不变，APB 2ADB ∠∠=.

AM //BN ，

APB PBN ∠∠∴=，ADB DBN ∠∠=，

BD 平分PBN ∠，

PBN 2DBN ∠∠∴=，

APB 2ADB ∠∠∴=；

（3）

AM //BN ，

ACB CBN ∠∠∴=，

当ACB ABD ∠∠=时，则有CBN ABD ∠∠=，

ABC CBD CBD DBN ∠∠∠∠∴+=+，

ABC DBN ∠∠∴=，

由（1）可知ABN 120∠=?，CBD 60∠=?，

ABC DBN 60∠∠∴+=?， ABC 30∠∴=?.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．

21．（1）证明见解析； （2）∠ACB=75°． 【解析】 【分析】

（1）根据BD 平分∠ABC ，∠l=∠2，得出FG ∥BD ，根据平行线的性质得出∠GFH+∠FHD=180°，等量代换即可得到结论；

（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】

（1）证明：∵BD 平分∠ABC ， ∴∠2=∠ABD ， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠ABD ， ∴FG ∥BD ，

∴∠GFH+∠FHD=180°， ∵∠BHC=∠FHD ， ∴∠GFH+∠BHC=180°， ∴∠GFH 与∠BHC 互补； （2）∵∠A=75°，FG ⊥AC ， ∴∠1=90°-75°=15°， ∴∠2=∠1=15°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC=30°，

∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=75°． 【点睛】