二阶线性偏微分方程的分类

•我们在解析几何中知道对于二次实曲线
•其中
•为常数，且设
•
•则当
•时，上述二次曲线分别为双
•曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏
•微分方程进行分类.
• 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行
•
理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨
论的基本方法是一样的．
•2．当判别式
•时：这时方程
•(10.2.10)一定有重根
•
•因而只能求得一个解，例如，
•，特征线为
•一条实特征线．作变换
•就可以使
•由(10.2.4)式可以得出，一定有
•，故可推出
•．这样就可以任意选取另一个变换，
•只要它和
•彼此独立，即雅可俾式
•
•即可．这样，方程(10.2.6)就化为
• 此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 •这种类型．
•
•10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一 步化简
• 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还 可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法
•1.双曲型
• 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 •可进一步化简
•
•注：上式中用小写字母
•代表常系数，以便与
•大写字母代表某函数区别开来, 例如
二阶线性偏微分方程的分类
•
•写方便，通常记
•(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方
•程的阶．
•(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微
•分方程的次数．
•
•(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所
有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程， 高于一次以上的方程称为非线性方程．
•
• (10.3.4) •上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．
•注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
•与
•是两个不同的函数。
• 2．抛物型偏微分方程
•
•因为抛物型偏微分方程的判别式 •线是一族实函数曲线． •其特征方程的解为
•因此令 •进行自变量变换，则原偏微分方程变为
•，所以特征曲 • (10.3.5)
•1.双曲型偏微分方程
• 因为双曲型方程对应的判别式 •所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，
•
•设特征方程的解为
•令
• (10.3.2)
•进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式
•
• (10.3.3) • 上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量 •代换，令
•或 •则偏微分方程又变为
•泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型． • 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，
只 •需讨论判别式
•即可.
•
•10.3 二阶线性偏微分方程标准化
•对于二阶线性偏微分方程
•若判别式为 •线性偏微分方程分为三类：
•(10.3.1) •，则二阶
•
•时，方程称为双曲型; •时，方程称为抛物型; •时，方程称为椭圆型;
•(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最
•高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．
•(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的
•项称为自由项．
•
•例如 ： 方程的通解和特解概念
•二阶线性非齐次偏微分方程
•的通解为
•其中
•是两个独立的任意函数．因为方程为
•二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数
•．为了化简，
•我们不妨令
•从而有
•(10.4.2)
•
•其中
• 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 •一步化简
•(10.4.3)
•式中
•均为常系数．若令
•
• •则有
•其中
Байду номын сангаас
•(10.4.4) • (10.4.5)
•
•2.抛物型
•对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数 ）
•（10.4.6）
•指定为
•特殊的
•，则得到的解
•
•称为方程的特解．
• n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方 程的通解含有n个任意函数．
•10.2 数学物理方程的分类
•
• 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型 的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类 方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的 解也表现出各自不同的特点．
•
•10.5 线性偏微分方程解的特征
• 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 •面的形式：
•还可以进一步化简．上式中小写字母 •为了化简，不妨令 •从而有
•均为常系数． • (10.4.7)
•
•3.椭圆型
•对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
• (10.4.8)
•还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 •为常系数．
•
•为了化简，不妨令 •从而有 •其中
• (10.4.9)
•时，从方程(10.2.10)可
•
•也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令
•即可使得
•．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
•．所以，方程(10.2.6) 即为
• (10.2.4)
•
•或者进一步作变换 •于是有
•所以
•
•又可以进一步将方程(10.2.11)化为
• 这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型．
•(10.3.6)
•
•上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
•3.椭圆型偏微分方程
•椭圆型偏微分方程的判别式
•，所以特征曲线是
•一组共轭复变函数族．其特征方程的解为
•若令
• (10.3.7)
•
•作自变量变换，则偏微分方程变为
•(10.3.8)
• (10.3.9) •上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
•两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
•
•其中
•定理10.2.1 如果
•的一般积分，则
•（10.2.1）
•为
•的已知函数．
•是方程
•(10.2.2)
•是方程
•
• (10.2.3) •的一个特解． •在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式
•1. 当判别式 •以求得两个实函数解
•
•3. 当判别式
•时：这时，可以重复上
•面的讨论，只不过得到的
•和
•是一
•对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是
•一对共轭复函数族．于是
•是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
•
•于是
•所以 • •方程(10.2.11)又可以进一步化为
•
• 这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、