高一数学预习培基习题(全)第二章一元二次函数、方程、不等式2.2基本不等式

2.2 基本不等式
知识梳理】
1．重要不等式：ab b a 22
2
≥+(R b a ∈，)，当且仅当b a =时，等号成立； 2．基本不等式：若a ＞0，b ＞0，则2
b
a a
b +≤，当且仅当b a =时，等号成立． 3．基本不等式的变形
（1）ab b a 2≥+(a ＞0，b ＞0)，当且仅当b a =时，等号成立； （2）2
)2
(
b a ab +≤(R b a ∈，)，当且仅当b a =时，等号成立； 4．常见的基本不等式的应用 （1）若a ＞0，则21
≥+a
a ，当且仅当1=a 时，等号成立； 若a ＜0，则21
-≤+
a
a ，当且仅当1-=a 时，等号成立；
（2）若a ，b 同号，则
2≥+b
a
a b ，当且仅当b a =时，等号成立． 5．利用基本不等式求最值问题：已知a ＞0，b ＞0，则
（1）如果积ab 是定值p ，那么当且仅当 时，b a +有最 值 ； （2）如果和b a +是定值p ，那么当且仅当 时，ab 有最 值 ． 6．两个变形
（1）
ab b a b a ≥+≥+2
22)2
(2(R b a ∈，，当且仅当b a =时取等号)； （2）b
a a
b ab b a b a +≥
≥+≥+22222(*
R b a ∈，，当且仅当b a =时取等号)． 基础自测】
1．已知x >0，若x ＋81
x
的值最小，则x 为（ ） A ． 81
B ． 9
C ． 3
D ．16
2．若实数a ，b ，满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）
A ．18
B ．6
C ．
D ．
3．若01a <<，01b <<且a b ≠，则a b +、2ab 、22a b +中最大的一个是（ ）
A ．a b +
B ．
C ．2ab
D ．22a b +
4．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) A ．
2
1
B ．1
C ．2
D ．4
5．已知正数,m n 满足22100m n +=，则m n +（ ）
A ．有最大值
B ．有最小值
C ．有最大值10
D ．有最小值
10
题型分类精讲】
题型1 利用基本不等式求最值 技巧一：凑项
【考题1】函数)2(2
1
>-+=x x x y 的最小值为（ ） A ． 2 B ． 3
C ． 4
D ．23
【举一反三】
1．若函数f (x )＝x ＋1
x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝（ ）
A ．1＋ 2
B ．1＋ 3
C ．3
D ．4
2．已知5
4x <
，则函数14245
y x x =-+-的最大值是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
技巧二：凑系数
【考题2】已知0＜x ＜5
2，则函数2
52x x y -=的最大值为 ．
【举一反三】
1．已知40<<x ，则)28(x x y -=的最大值为 ． 2．设2
3
0<<x ，则函数)23(4x x y -=的最大值为 ．
技巧三：分离换元法
【考题3】函数2710
(1)1
x x y x x ++=>-+的最小值为 ．
【举一反三】 1．函数9
41
++=
x x y 的最大值为 ． 2．函数1
22
2++=
x x y 的最小值为 ．
技巧四：巧用“1”代换的最值问题
【考题4】已知x ，y 均为正实数，且27
2
x y xy +=x +3y 的最小值是 ．
【举一反三】
1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 2．若a ，b 是正实数，若b
a
3:33:3=，则b
a 1
1+的最小值是 ． 3．若正数a b ，满足4310a b +-=，则
11
2a b a b
+++的最小值是 ．
题型二：利用基本不等式解决恒成立问题
【考题5】已知0,0x y >>，且211x y
+=，若对任意的正数,x y ，不等式2
22x y m m
+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<<
D ．42m -<<
【举一反三】 1．若对任意x ＞0，
a x x x
≤++1
32
恒成立，则a 的取值范围是________． 2．若对任意a ＞0，b ＞0，不等式
b
a m
b a +≥
+212恒成立，则m 的取值范围是________． 3．已知x ＞0，y ＞0，y x xy 2+=，若2-≥m xy 恒成立，则实数m 的最大值是________．
题型三：利用基本不等式证明不等式
【考题6】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：c b a c
ab
b ca a b
c ++≥++.
【举一反三】
1．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且1=++c b a ，求证：91
11≥++c
b a .
2．设a ，b ，c ∈(0，∞+)且1=++c b a ，求证：.8)11)(11)(11(≥---c
b a
3．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证,： （1）ab ＋bc ＋ca ≤
13
； （2）222
a b c b c a
++≥1.
【题型优化测训】
一、选择题 1．函数1
5(1)1
y x x x =++>-的最小值为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2．设x ，R y ∈，且5=+y x ，则y
x
33+的最小值是（ ） A ．10
B ．36
C ．64
D ．318
3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为（ ）
A ．
2
1
B ．1
C ．2
D ．4
4．已知0a >，0b >，且21a b ab +=-，则a +2b 的最小值为（ ）
A ．5+
B ．
C ．5
D ．9
5．若正数a ，b 满足111a b +=，则1911
a b +--的最小值为（ ） A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
6．已知1,0,2a b a b >>+=，则
11
12a b +-的最小值为（ ）
A ．
3
2
+ B ．
34 C ．3+
D ．
123
+
7．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234
y x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-
B ．()1,4-
C ．[]4,1-
D ．()4,1-
8．设正实数x ，y ，z 满足0432
2
=-+-z y xy x ，当z
xy
取最大值时，z y x 212-+的最大
值为( ) A ．0 B ．1
C ．
4
9
D ．3
二、填空题
9．已知a ，b 是正实数，则
ab b
a 21
1++的最小值是 ． 10．已知a ，b 是正实数，则)(112
b a a ab a -++
的最小值是 ．
11．已知x ，y 为正实数，且12
2
2
=+y x ，则21y x +的最大值为 ． 12．规定记号“⊗”表示一种运算，即b a b a ab b a ,(--=⊗为正实数），若正数x ，y 满足3=⊗y x ，则xy 的取值范围是________．
三、解答题
13．若,0,0>>b a 且
ab b
a =+1
1． （1）求3
3
b a +的最小值；
（2）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
14．已知x ，y ，z ，a ，b ，c 是正实数，求证：
).(22
22xz yz xy z c
b a y b
c a x a c b ++≥+++++
15．某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过m 5．房屋正面的造价为400元/2
m ，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为m 3，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？。