探索性因素分析

一行（或每一列）绝对值最大的一个元 素作为该行（或该列）变量共同度的估 计。
复相关系数平方估计法
Z J变量的复相关系数的平方为：
1 SMC j 1 Rjj
其中 RJJ 为对角线元素为 1 的相关矩阵 R 的 逆矩阵中第j个变量对角线的元素，SMC 是共同度估计的下限。
公共因素个数的确定
准
特征值大于等于1的选为共因素，小于1
的不选。
碎石检验（screen test）
以特征值为纵坐标，以因素个数为横坐
标，按照因子被提取的顺序，画出因子 的特征值随因子个数变化的散点图，根 据图的形状来判断抽取因子的个数。从 第一个因子开始，曲线逐渐下降，然后 变得平缓，最后近似于一条直线，曲线 变平的前一点被认为是提取的最大因子 数。
对观测变量的加权系数 jk 。一般情况 下，称共因素的系数为因素载荷。即因 素分析模型中的系数。将所有的因素载 荷以矩阵的形式表示即为因素载荷以矩 阵。
公共因素方差
公 共 因 素 方 差 一 般 用 h2 表 示 ， 又 称 作
“共同度”或“公共性”，公共因素方 差是指被公共因素所决定的方差在观测 变量总方差中所占的比例。 在对观测数据进行标准化的情况下，一 个观测变量的总方差Sj2为：
Q bij Max
2 i 1 j 1 k m
②方差最大法（VARIMAX）
四次方最大法的不同是它从简化因子负荷 矩阵的每一列出发，使和每个因子有关 的负荷平方的方差最大。方差最大法通 过使下式达到最大求得因子解：
V (k bij ( bij ) ) / k 2
4 2 2 j 1 i 1 i 1 m k k
因素分析中的基本概念
因素载荷（Factor loading） 公共因素方差（Communality）
唯一性方差（uniqueness ）
jk
特征值(Eigenvalue)
贡献率(Explain of Variance)
因素载荷（Factor loading）
因素载荷指因素分析模型中各公共因素
③等量最大法（EQUIMAX）
等量最大法把四次方最大法和方差最大法 结合起来，取V和Q的加权平均作为简化 准则，通过使下式达到最大：
E bij ( bij ) / k
4 2 2 j 1 i 1 j 1 i 1 m k m k
权数γ 等于m/2，和因子数有关，当因子 数为2时，等量旋转法结果与方差最大 法旋转结果相同。
旋转变换
初始因子解达到了数据化简的目的。在求初 始因子这一步中，我们既确定了共因素个数， 又确定了每个变量的公因子方差。可是根据
初始因子解，往往很难解释因子的意义，大 多数因子都和很多变量相关，但是在实际研 究中，我们往往关心每个因子的实际意义是 什么。因子旋转是寻求这一实际意义的有效 工具，因子旋转的目的是通过改变坐标轴的 位置，重新分配各个因子所解释的方差的比 例，使因子结构简单并易于解释。因子旋转 不改变模型对数据的拟合程度，不改变每个 变量的公因子方差。
是指用n个新的因素来线性表示n个观测变量的因素分 析模型（m=n）。
Z j a j1F1 a j 2 F2 a jn Fn
此模型希望从一组相关观测变量中每次取得的一个 公共因素的方差在观测变量的全部方差（或剩余方 差）中所占的比例最大，这一思想也是全分量模型 确定公共因素的一种数学准则。 但在实际应用中， 人们总是只取少数几个对观测变量的方差贡献较大 的即为首的几个因素。于是得到截分量模型
Av v
则称为矩阵A的一个特征值，称v为 对应于特征值的一个特征向量。
特征值
在因素分析中，特征值表示每个因素 在所有变量上的因素负荷的平方之和 它反映某一公共因素对各观测变量的 影响程度，也说明该公共因素的重要 性。特征值越大，说明该公共因素相 对重要。
贡献率
各因素的特征值（ j ）在总的公共 因素方差之和中所占的比例。反映 该因素对所有观测变量变异影响的 大小。第j个共因素的方差贡献率为：
初始因素载荷矩阵求解
对于全分量模型来说，直接从变量相关矩阵 入手求解因素载荷矩阵；而对于公共因素模 型，则从约相关矩阵出发来求解因素载荷矩
阵A。目前，求解因素载荷矩阵使用较为普遍 的一种方法是主因素解法（在全分量模型中 称为主成分分析法）。它的基本思想是，考 虑第一共同因素的方差对所有变量的方差贡 献最大，第二共同因素对所有变量的方差贡 献次之，……依次将全部变量的方差分解为 各共同因素方差，最终求得因素载荷矩阵。
求因素得分涉及到用观测变量来描述因
素，第p个因子在第i个个案上的值可以 表示为： k f pi w pj Z ji
j 1
这一模型确切地说应称为截分量模型（truncated component model），但经常被称作主成分分析模 型。误差项ajej表示被忽略的几项因素之和。
公共因素模型
指所有观测变量中每个观测变量均可被表示为 m个公共 因素和一个唯一性因素的线性加权之和：
Z j a j1F1 a j 2 F2 a jmFm d j u j
(j=1,2,3, ……n m<n) 其中公共因素可以解释观测变量之间的相关，唯一性 因素则用以解释观测变量除去公共因素的影响后所剩 下的那部分方差。
公共因素模型
这一模型希望从观测变量中抽取到的因素能尽可能好 地再生观测变量之间 的相关。在这一模型中将观测 变量、公共因素和唯一性因素都假定为标准变量，平 均数为0，标准差为1，而且n个唯一因素uj之间相互 独立，每个唯一性因素与各个公共因素 Fp(p=1,2, ……,m)之间相互独立。各公共因素Fp是随 机变量。若假定各公共因素为互相独立的正态分布， 则观测变量Zj就服从多元正态分布。在实际应用公共 因素分析方法时，通常把唯一性因素看作不包括模型 误差，也就是说因素分析没有考虑抽样误差。因此， 抽样就必须足够大，以使抽样误差被忽视，样本究竟 多大合适，一般至少要大于100，或者是变量数目的 5——10倍。
因素分析模型
因素分析假定个体在某一变量上的反应由两部分组成：一
是 各 个 变 量 共 有 的 部 分 ， 称 为 共 同 因 素 （ Common Factor）；另一部分是各变量所特有的部分，称为独特因 素（Unique Factor），可用下式表示：
zij a j1 Fi1 a j 2 Fi 2 a jm Fim d jU ij
斜交旋转
常见的为OBLIMIN，该方法应用斜交参考轴 求解。所谓的斜交参考轴是指斜主因子轴的 垂直线。斜交因子解应使变量尽可能落在主
轴附近，变量落在主轴附近和变量在参考轴 上的投影近似为零这两个条件是相同的。 OBLIMIN方法首先求出斜交参考矩阵，斜交 因子负荷矩阵等于斜交参考阵的逆矩阵再按 行进行规范化处理，使矩阵中每一行的元素 的平方和等于1。参数δ 控制因子斜交的程度， 其取值一般小于等于零，等于零时，因子之 间的斜交程度最大，小于零时因子之间的斜 交程度减小。另外还有Promax法。
探索性因素分析
主要内容
因素分析简介 因素分析模型
因素分析中的基本概念
求共因素的主要方法 因素旋转方法
因素得分
应用因素分析应该注意的问题 因素分析应用举例
因素分析简介
行为科学和社会科学研究中多变量之间
的统计分析方法主要有： 1.将多个变量与某种称为准则变量的外 部变量联系起来进行分析。回归分析、 方差分析等。 2.不使用外部准则而同等地对待所有变 量，分析它们之间的相互关系。相关分 析、因素分析等。
截分量模型（主成分分析模型）
在实际应用中，人们总是只取少数几个对观测变
量的方差贡献较大的即为首的几个因素。有些人 把几个方差贡献较小的因素看作误差项。于是全 分量模型就成为：
Z j a j1F1 a j 2 F2 a jm Fm a j e j
(j=1,2,3, ……n m<n)
求初始因素载荷矩阵的一般方法
Principal Components Unweighted Least Squares
Generalized Least Squares
Maximum Likelihood
Principal Axis FImage Factoring
探索性因素分析
探索性因素分析（Exploratory Factor Analysis） 是一种常用的多元数据分析方法，它是从众 多可观测“变量”中，概括和推论出少数不
可观测的“潜变量”（又称因素），目的在 于用最少的因素去概括和解释大量的观测事 实，并建立起最简洁的，基本的概念系统， 以揭示事物之间的本质联系的一种统计分析 方法。这种方法的原则是在尽可能保存原有 资料信息的前提下，用较少的维度去表示原 来的数据结构。
V j j /(1 2 m )
变量共同度的估计
在全分量模型中可以直接用相关矩阵求
解因素载荷矩阵，在公共因素模型中， 由于考虑特殊因素对变量的影响，求解 因素载荷矩阵则以约相关矩阵为出发点。 估计变量的共同度是得到约相关矩阵估 计的关键，
最大相关系数估计法
最大相关系数估计法是把原相关矩阵每
zij 是第i个体在第j观测变量上的得分，(
测变量的加权系数，（Fik）是个体i在因素F k上的得分， Uij为特殊因素，dj为特殊因素对观测变量的加权系数；N 为样本容量，n为观测变量的个数，m为共因素的个数。 因素分析的模型主要有全分量模型和公因子模型两个。
j k）是因素对观
全分量模型 （主成分分析模型）
6．因子得分及应用
在公式 zij a j1 Fi1 a j 2 Fi 2 a jm Fim d jU ij
中可以将变量表示成公共因素的线性组
合。但在有些场合，需要考虑通过变量 Z的值来获得共因素指标F的值。这种由 变量的观测值来估计各公共因素值的方 法称为因素得分。
因素得分及其应用
jk
其中由公共因素决定的方差为：
h j a j1 a j 2 a jm a jp
2 2 2 2 p 1
m
2
公共因素方差在测验或特质行 为的研究方面主要有以下用途：
1. 公共因素方差能反映该测验对所要测量行 为属性的测量程度，公共因素方差越大，该 因素所能反映的行为属性程度就越强，某一
根据累计贡献率确定因子个数 以特征值是否大于等于1为标准 碎石检验
根据累积贡献率确定因子个数
将约相关矩阵（在主成分分析中，用相
关矩阵）的特征值从大到小排列，根据 前面若干个共同因素所对应的特征值之 和的百分比来确定。一般来说，这一比 例要达到 80% 以上，但根据问题的复杂 程度可做适当调整。
. 以特征值是否大于等于 1 为标
因子旋转的方式
因子旋转的方式有两种，一种是正交旋
转，另一种是斜交旋转。正交旋转是使 因子轴之间仍然保持90度角，即因子之 间是不相关的，而在斜交旋转中，因子 之间的夹角可以是任意的，即因子之间 可以相关。
正交旋转
①四次方最大法 （QUARTIMAX）
通过使因子载荷矩阵中每一行因子负荷平 方的方差达到最大求得因子解。最终的 简化准则为：
唯一性方差（uniqueness）
归因于唯一性因素的那部分方差称 为唯一性方差，唯一性方差表示 m 个公共因素对观测变量的方差不能 作出解释的部分，一部分归因于所 选变量的特殊性，称为特殊性方差； 剩余部分归因于测量的不完备性。
特征值
特征值： 对于一个n阶矩阵A，如果 存在一个n维向量v和一个常数，满足 条件
因素的方差贡献率越大，说明该因素在他所 测量的特质中，它所起的作用就越大。 2.如果在构成一个测验的诸多项目中，某些项 目构成的因素的公共方差大，说明这些项目 测定被试的个别差异的功能强，也说明该组 项目的区分度好，鉴别力高，同理公共因素 方差越小，该项目的鉴别力越低。因此项目 的公共因素方差，可用作评价项目区分度的 一种指标。