2019届高考数学大二轮复习精品练习：第1部分 专题5 立体几何 第3讲 Word版含解析
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第一部分 专题五 第三讲
A 组
1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为( B )
A ．
1
20
B ．
1010
C ．－
1010
D ．－
1
20
体棱长为1，以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示，
[解析]设正方E (0，1
2
，1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，
则D (0,0,0)，
12
，1)，AC →
＝(－1,1,0)，
所以DE →
＝(0，
则cos 〈DE →，AC →
〉＝DE →·AC
→|DE →||AC →|
＝
1
214
＋1·
2
＝1010，
则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为
1010
.
2．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →
＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥
平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( B )
A ．337，－15
7
，4
B ．407，－157，4
C ．40
7
，－2,4
D ．4，40
7
，－15
[解析]AB →⊥BC →⇒AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，
所以z ＝4，又BP ⊥平面ABC ， 所以BP →·AB →
＝x －1＋5y ＋6＝0，①
BP →·BC
→
＝3x －3＋y －3z ＝0，②
由①②得x ＝407，y ＝－15
7
.
3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列命题：①(A1A ―→＋A1D1―→＋A1B1―→)2＝3A1B1―→2，②A1C ―→·(A1B1―→
－A1A ―→)＝0，③向量AD1―→与向量A1B ―→的夹角为60°，④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ―→·A1A ―→·AD
―→|，其中正确命题的序号是( B )
A ．①③
B ．①②
C ．①④
D ．①②④
图所示：
[解析]如
坐标原点，以向量DA →，DC →，DD1→
所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建以点D 为标系，设棱长为1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，A 1(1,0,1)，
立空间直角坐C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，
B 1(1,1,1)
，
对于①：A1A ―→＝(0,0，－1)，A1D1―→
＝(－1,0,0)，
A1B1―→
＝(0,1,0)，
所以A1A ―→＋A1D1―→＋A1B1―→＝(－1,1，－1)，(A1A ―→＋A1D1―→＋A1B1―→)2＝3，而A1B1―→2＝1，所以(A1A ―→＋A1D1
―→＋A1B1―→)2＝3A1B1―→
2.所以①正确；
对于②：A1C ―→＝(－1,1，－1)，A1A ―→＝(0,0，－1)，A1B1―→＝(0,1,0)，所以A1C ―→·(A1B1―→－A1A ―→
)＝0.所以②正
确；
对于③：AD1―→＝(－1,0,1)，A1B ―→＝(0,1，－1)，AD1―→·A1B ―→＝－1，cos 〈AD1―→，A1B ―→〉＝AD1―→·A1B
―→|AD1―→||A1B ―→|
＝
－12×
2＝－12，所以AD1―→与A1B ―→
的夹角为120°，所以③不正确；
对于④：因为AB ―→·A1A ―→
＝0，所以④错误．故选B ．
4．(2018·海口一模)如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于
⊙
O 所在平面，点C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，P A ＝BC ＝3，则二面角A －BC －P 的
大小为( C )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[解析]因为AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在平面，点C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，
且AB ＝2，P A ＝BC ＝
3，
所以AC ⊥BC ，AC ＝
AB2－BC2＝
4－3＝1，
以点A 为原点，在平面ABC 内过点A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标
系，P (0,0，3)，B (
3，1,0)，C (0,1,0)，
PB →
＝(
3，1，－
3)，PC →
＝(0,1，－
3)，
设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨
⎧
n·PB →＝3x ＋y －3z ＝0，n·PC
→
＝y －3z ＝0，
取z ＝1，得n ＝(0，3，1)，
平面ABC 的法向量m ＝(0,0,1)，
设二面角A －BC －P 的平面角为θ， 则cos θ＝|m·n|
|m|·|n|＝1
2，所以θ＝60°，
所以二面角A －BC －P 的大小为60°.
5．在底面是直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，
∠
ABC ＝90°，AD
∥
BC ，SA
⊥
平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SAB 3