点集拓扑学拓扑空间和连续映射
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重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射
§2.1 度量空间与连续映射
一. 度量空间
1. 度量空间的定义
定义2.1. 设 X为集合, : X X R为一映射,如果 对于任何x，y，z∈X，有:
1) ( x, y) 0, ( x, y) 0 x y 2) ( x, y) ( y, x)
例2.3 离散的度量空间．
设(X,ρ)是一个度量空间．如果对于每一个x∈X，
存在一个实数
, 使 x得 0
( x, y,对) x
任意的 x, y X , x y都成立, 称(X,ρ)是离散的，
或者称ρ是X的一个离散度量.
例如:
(
x,
y)
0, 1,
x y; x y.
x V U ,则称U是点x的一个邻域.
二. 度量空间中的连续映射
定义2.4. 设X和Y是两个度量空间，f : X→Y，以及 x0 X
如果对于 f ( x0 )的任意一个球形邻域 B( f ( x0 ), ) , 存在 x0的某一球形邻域 B( x0 , ) ,使得:
f (B( x0 , ) B( f ( x0 ), )
说明
拓扑空间的开集和度量空间的开集有区别 设( X , )是一个度量空间, {V X V是(X, )}
则称 为由度量 诱导的拓扑,( X , )是由度量
空间 ( X , ) 诱导的拓扑空间. 常见的拓扑
例2.1 平庸空间．
设X是一个集合．令 ( X ,) ,则( X , )是拓扑 空间,称为平庸拓扑空间.
例2.2 离散空间．
设X是一个集合．令 =P (X)，即由X的所有子 集构成的族．容易验证， 是X的一个拓扑，称之 为X的离散拓扑；可知，在离散空间（X, ）中，X
的每一个子集都是开集．
练习2.1 设X＝{a，b，c}．1 {,(a), (a, b), (a, b, c)}
1是否X的拓扑
3)对于(任x,意z)两点(xx，, y∈) X，(实y,数z)ρ(x，y)称
则称为ρ从是点集x合到X点的y的一距个离度．量． 并称(X , )为度量空间.
例2.1 对于实数集合R ,定义ρ：R×R→R如下： 对于任意x，y∈R，令ρ(x，y)=|x-y|．
ρ是R的一个度量，因此偶对(R，ρ)是一个度
则称映射f 在点 x0处是连续的.
如果映射f 在X的每一个点x∈X处连续，则 称f 是一个连续映射．
定理2.3 设X和Y是两个度量空间，f : X→Y，以及 x0 X
则下述条件(1)和(2)分别等价于条件 (1 )和 (2 ) ：
(1) f 在点 x0 处是连续的. (1 ) f ( x0 ) 的每一个邻域的原象是 x0的一个邻域. (2) f 是连续的 (2 ) Y中每一个开集的原象是X中的一个开集 从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映 射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的, 本质上只与度量空间中的开集有关
§2.2 拓 扑 空 间 与 连 续 映 射
一. 拓扑空间的定义
定义2.5 设X是一个集合 是X的幂集P(X)的子集 如果 满足:
(1) X ,
(2) 若A, B∈ . 则A∩B∈
(3) 若 1 . 则 A ∈
A 1
则称 是X的一个拓扑 ,称(X, )为拓扑空间. 称 中的元素为拓扑空间(X, ) 中的开集.
定义2.3. 设A是度量空间X的一个子集．如果A中 的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每
一个a∈A，存在实数ε＞0使得B(a,ε) )，A 则称A
是度量空间X中的一个开集． 例2.4 实数空间R中的开区间 (a,b)为开集. 例2.5 度量空间 X 中的开球为开集. 例2.6 [a,b]={x∈R|a≤x≤b}
是一个离散度量
离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过 的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．
2. 度量空间的其他概念 定义2.2. 设(X,ρ)是一个度量空间，x∈X．
对于任意给定的实数 ＞0，集合: B( x, ) { y X | ( x, y) }
称为一个以x为中心以 为半径的球形邻域.
例2.3 有限补空间．可数补空间．
{U X U C 是X的一个有限子集}{} {U X U C 是X的一个可数子集}{}
(a.b]={x∈R|a＜x≤b}，[a,b)＝{x∈R|a≤x＜b} 都不是R中的开集．
定理2.2. 度量空间(X,ρ)的开集Baidu Nhomakorabea有以下性质：
(1)集合X本身和空集 都是开集.
(2) 有限个开集的交是一个开集 . (3)任意一个开集族（即由开集构成的族）
的并是一个开集
定义2.4. 设x是度量空间X中的一个点，U是度量 空间X的一个子集．如果存在一个开集V满足:
现 代 工 程 数 学
第二章 拓扑空间与连续映射
本章教学基本要求
掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓 扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映 射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与 邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌 握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关 概念.
定理2.1. 度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质：
1) 对任意x∈X,至少有一个 B ( x) .且 x B ( x)
2) 对x∈X的任意两个B1 ( x), B2 ( x) , B ( x), s.t x B ( x) B1 ( x) B2 ( x)
3) 若 y B( x, ) ,则存在 B( y, ) B( x, ) .
量空间,通常称为实数空间.
例2.2 n维欧氏空间,对于实数集合R的n重笛卡儿积, 定义ρ： Rn Rn R,对于任意的 x ( x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn ) Rn
n
定义: ( x, y) ( xi yi )2 则ρ是 R上n 的一个度量 i 1
§2.1 度量空间与连续映射
一. 度量空间
1. 度量空间的定义
定义2.1. 设 X为集合, : X X R为一映射,如果 对于任何x，y，z∈X，有:
1) ( x, y) 0, ( x, y) 0 x y 2) ( x, y) ( y, x)
例2.3 离散的度量空间．
设(X,ρ)是一个度量空间．如果对于每一个x∈X，
存在一个实数
, 使 x得 0
( x, y,对) x
任意的 x, y X , x y都成立, 称(X,ρ)是离散的，
或者称ρ是X的一个离散度量.
例如:
(
x,
y)
0, 1,
x y; x y.
x V U ,则称U是点x的一个邻域.
二. 度量空间中的连续映射
定义2.4. 设X和Y是两个度量空间，f : X→Y，以及 x0 X
如果对于 f ( x0 )的任意一个球形邻域 B( f ( x0 ), ) , 存在 x0的某一球形邻域 B( x0 , ) ,使得:
f (B( x0 , ) B( f ( x0 ), )
说明
拓扑空间的开集和度量空间的开集有区别 设( X , )是一个度量空间, {V X V是(X, )}
则称 为由度量 诱导的拓扑,( X , )是由度量
空间 ( X , ) 诱导的拓扑空间. 常见的拓扑
例2.1 平庸空间．
设X是一个集合．令 ( X ,) ,则( X , )是拓扑 空间,称为平庸拓扑空间.
例2.2 离散空间．
设X是一个集合．令 =P (X)，即由X的所有子 集构成的族．容易验证， 是X的一个拓扑，称之 为X的离散拓扑；可知，在离散空间（X, ）中，X
的每一个子集都是开集．
练习2.1 设X＝{a，b，c}．1 {,(a), (a, b), (a, b, c)}
1是否X的拓扑
3)对于(任x,意z)两点(xx，, y∈) X，(实y,数z)ρ(x，y)称
则称为ρ从是点集x合到X点的y的一距个离度．量． 并称(X , )为度量空间.
例2.1 对于实数集合R ,定义ρ：R×R→R如下： 对于任意x，y∈R，令ρ(x，y)=|x-y|．
ρ是R的一个度量，因此偶对(R，ρ)是一个度
则称映射f 在点 x0处是连续的.
如果映射f 在X的每一个点x∈X处连续，则 称f 是一个连续映射．
定理2.3 设X和Y是两个度量空间，f : X→Y，以及 x0 X
则下述条件(1)和(2)分别等价于条件 (1 )和 (2 ) ：
(1) f 在点 x0 处是连续的. (1 ) f ( x0 ) 的每一个邻域的原象是 x0的一个邻域. (2) f 是连续的 (2 ) Y中每一个开集的原象是X中的一个开集 从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映 射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的, 本质上只与度量空间中的开集有关
§2.2 拓 扑 空 间 与 连 续 映 射
一. 拓扑空间的定义
定义2.5 设X是一个集合 是X的幂集P(X)的子集 如果 满足:
(1) X ,
(2) 若A, B∈ . 则A∩B∈
(3) 若 1 . 则 A ∈
A 1
则称 是X的一个拓扑 ,称(X, )为拓扑空间. 称 中的元素为拓扑空间(X, ) 中的开集.
定义2.3. 设A是度量空间X的一个子集．如果A中 的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每
一个a∈A，存在实数ε＞0使得B(a,ε) )，A 则称A
是度量空间X中的一个开集． 例2.4 实数空间R中的开区间 (a,b)为开集. 例2.5 度量空间 X 中的开球为开集. 例2.6 [a,b]={x∈R|a≤x≤b}
是一个离散度量
离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过 的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．
2. 度量空间的其他概念 定义2.2. 设(X,ρ)是一个度量空间，x∈X．
对于任意给定的实数 ＞0，集合: B( x, ) { y X | ( x, y) }
称为一个以x为中心以 为半径的球形邻域.
例2.3 有限补空间．可数补空间．
{U X U C 是X的一个有限子集}{} {U X U C 是X的一个可数子集}{}
(a.b]={x∈R|a＜x≤b}，[a,b)＝{x∈R|a≤x＜b} 都不是R中的开集．
定理2.2. 度量空间(X,ρ)的开集Baidu Nhomakorabea有以下性质：
(1)集合X本身和空集 都是开集.
(2) 有限个开集的交是一个开集 . (3)任意一个开集族（即由开集构成的族）
的并是一个开集
定义2.4. 设x是度量空间X中的一个点，U是度量 空间X的一个子集．如果存在一个开集V满足:
现 代 工 程 数 学
第二章 拓扑空间与连续映射
本章教学基本要求
掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓 扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映 射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与 邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌 握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关 概念.
定理2.1. 度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质：
1) 对任意x∈X,至少有一个 B ( x) .且 x B ( x)
2) 对x∈X的任意两个B1 ( x), B2 ( x) , B ( x), s.t x B ( x) B1 ( x) B2 ( x)
3) 若 y B( x, ) ,则存在 B( y, ) B( x, ) .
量空间,通常称为实数空间.
例2.2 n维欧氏空间,对于实数集合R的n重笛卡儿积, 定义ρ： Rn Rn R,对于任意的 x ( x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn ) Rn
n
定义: ( x, y) ( xi yi )2 则ρ是 R上n 的一个度量 i 1