高一数学向量加法
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向量的加法与减法
1. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向 量的加法。三角形法则 “首尾相接，首尾连”
如图，已知向量a、b .在平面内任取一点A， 作 AB a，BC b ，则向量 AC 叫做a与b的 和，记作a+b，即 a b AB BC AC
特殊情况
a
a
b
b
ab
A
B
C
(2)
ab
C
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零
向量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量， 叫做a与b的差。
2．向量加法的交换律：a+b=b+a 3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
ba
bca
从而，多个向量的加法运算 可以按照任意的次序、任意的组合来进行。 例1如图，一艘船从A点出发以2km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速 为2 3km / h ，求船的实际航行的速度的大小 与方向(用与流速间的夹角表示).
注意：1 AB 表示a b。强调：差向量“箭头”
指向被减数
二、运算法则：
C
C
D
A
B
三角形法则
A
B
平行四边形法则
例2平行四边形 ABCD中AB a，AD b 用 a, b 表示向量 AC 、DB 。
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂 直？
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab| ？
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3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作 OA = a, OB = b, 则 BA = a b
即a b可以表示为 从向量b的终点指 向向量a的终点的 向量。
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
白色的比赛场地构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的ｌ场上，让洒满金辉的ｌ场在纯蓝色的天空和淡红色的云朵映衬下越发怪异夺目……ｌ场四周悬浮着十几处色彩造型 各不相同的看台，看台上坐满了将近四十亿前来观看的师生，他门都穿着节日的盛装，远远看去就像一片片不断变幻色彩的云海……所有前来观看的师生都带着一只备 有压缩彩屏的三维，虽然只有拇指大小，但彩屏展开后最大面积却可达到只十英寸，使用时只要把插到座席前的折叠桌上，就可以从各种角度和距离观看现场所有的超 清晰立体景像。这毕竟是几十年都难得一见的盛大表演！虽然宇宙之大无奇不有，但敢拿万倍学资玩跳级的学生并不多见！所以整个ｌ场的气氛显得十分热烈高涨…… 在场地中央悬浮着一片几乎透明的巨大碟形草坪，草坪上盛长着厚羊绒般柔软而富有弹力的暗黑色的桃毛雾冰草和墨黑色的枣眼夜柔花，还有亮黑色的梅腿霞嫩草…… 远远看去，整个场地中央的花草被修剪得如锦缎一样光华美丽……微风吹来，三种细软柔滑的花草，就像三种梦幻的湖波漪涟向八方漾去。放眼看去，ｌ场东南方的看 台之间暗黑色的小胸谷和浅红色的圣心桃，其中还有片片亮黑色的梅腿霞嫩草，就像仙女绚丽的长裙在风中飘舞。再看场地西南方的看台之间，那里生种植橙白色的雄 胆桐和深橙色的松泪樱，中间还夹杂着纯黑色的豺臂藤，从远处看去就像一幅美妙的立体油画在波动。ｌ场的西北向，那里生长着暗黑色的小胸谷和浓黑色的桑头神丝 花，另外还有一些纯黑色的豺臂藤，给人的感觉犹如一片宁静而神奇的海洋。再看ｌ场的东南方，那里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的蟹筋榕，还有浅灰色的狼耳蕉 ，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片天然的园林。在场地中央矗立着一座辉煌夺目、高耸入云的巨硕烟状塔体，这个巨硕烟状塔体由四个仙人球 形的高低错落的深橙色 和一座高达三百多米的，深绿色的双球心形的骨架构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的巨硕烟状塔体上，让洒满金辉的巨硕烟状塔在淡紫色的 天空和白象牙色的云朵映衬下越发怪异夺目。远远看去。巨硕烟状塔的底部，九十根墨灰色的狗眉桐和很多粗大的橙白色弯月形龙骨将巨硕烟状塔高高托起，巨硕烟状 塔周围浪瓣球形的祖光水晶雕塑闪着美丽的奇光。巨硕烟状塔中部的耍体，全部用透出一种奇异的缕缕清香并能发出美妙歌声的，土黄色飞弧蛋形的夜闪绿翡翠镶嵌。 而豪华气派的框架则采用了好像晶莹剔透闪着珍珠光泽水珠的亿景水滴形的雷闪纯金制成。巨硕烟状塔顶部是一个超大的，火橙色的千球仙人球形的亿光纯金宝石体。 那是用能
A (3)
B
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a
a ba
（1）两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a与b不共线时，a+b、a、b的方
向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;
（3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且 |a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时，若|a|>|b|,则a+b的方向与 a相同，且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与?相同,， |a+b|?
1. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向 量的加法。三角形法则 “首尾相接，首尾连”
如图，已知向量a、b .在平面内任取一点A， 作 AB a，BC b ，则向量 AC 叫做a与b的 和，记作a+b，即 a b AB BC AC
特殊情况
a
a
b
b
ab
A
B
C
(2)
ab
C
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零
向量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量， 叫做a与b的差。
2．向量加法的交换律：a+b=b+a 3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
ba
bca
从而，多个向量的加法运算 可以按照任意的次序、任意的组合来进行。 例1如图，一艘船从A点出发以2km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速 为2 3km / h ，求船的实际航行的速度的大小 与方向(用与流速间的夹角表示).
注意：1 AB 表示a b。强调：差向量“箭头”
指向被减数
二、运算法则：
C
C
D
A
B
三角形法则
A
B
平行四边形法则
例2平行四边形 ABCD中AB a，AD b 用 a, b 表示向量 AC 、DB 。
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂 直？
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3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作 OA = a, OB = b, 则 BA = a b
即a b可以表示为 从向量b的终点指 向向量a的终点的 向量。
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
白色的比赛场地构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的ｌ场上，让洒满金辉的ｌ场在纯蓝色的天空和淡红色的云朵映衬下越发怪异夺目……ｌ场四周悬浮着十几处色彩造型 各不相同的看台，看台上坐满了将近四十亿前来观看的师生，他门都穿着节日的盛装，远远看去就像一片片不断变幻色彩的云海……所有前来观看的师生都带着一只备 有压缩彩屏的三维，虽然只有拇指大小，但彩屏展开后最大面积却可达到只十英寸，使用时只要把插到座席前的折叠桌上，就可以从各种角度和距离观看现场所有的超 清晰立体景像。这毕竟是几十年都难得一见的盛大表演！虽然宇宙之大无奇不有，但敢拿万倍学资玩跳级的学生并不多见！所以整个ｌ场的气氛显得十分热烈高涨…… 在场地中央悬浮着一片几乎透明的巨大碟形草坪，草坪上盛长着厚羊绒般柔软而富有弹力的暗黑色的桃毛雾冰草和墨黑色的枣眼夜柔花，还有亮黑色的梅腿霞嫩草…… 远远看去，整个场地中央的花草被修剪得如锦缎一样光华美丽……微风吹来，三种细软柔滑的花草，就像三种梦幻的湖波漪涟向八方漾去。放眼看去，ｌ场东南方的看 台之间暗黑色的小胸谷和浅红色的圣心桃，其中还有片片亮黑色的梅腿霞嫩草，就像仙女绚丽的长裙在风中飘舞。再看场地西南方的看台之间，那里生种植橙白色的雄 胆桐和深橙色的松泪樱，中间还夹杂着纯黑色的豺臂藤，从远处看去就像一幅美妙的立体油画在波动。ｌ场的西北向，那里生长着暗黑色的小胸谷和浓黑色的桑头神丝 花，另外还有一些纯黑色的豺臂藤，给人的感觉犹如一片宁静而神奇的海洋。再看ｌ场的东南方，那里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的蟹筋榕，还有浅灰色的狼耳蕉 ，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片天然的园林。在场地中央矗立着一座辉煌夺目、高耸入云的巨硕烟状塔体，这个巨硕烟状塔体由四个仙人球 形的高低错落的深橙色 和一座高达三百多米的，深绿色的双球心形的骨架构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的巨硕烟状塔体上，让洒满金辉的巨硕烟状塔在淡紫色的 天空和白象牙色的云朵映衬下越发怪异夺目。远远看去。巨硕烟状塔的底部，九十根墨灰色的狗眉桐和很多粗大的橙白色弯月形龙骨将巨硕烟状塔高高托起，巨硕烟状 塔周围浪瓣球形的祖光水晶雕塑闪着美丽的奇光。巨硕烟状塔中部的耍体，全部用透出一种奇异的缕缕清香并能发出美妙歌声的，土黄色飞弧蛋形的夜闪绿翡翠镶嵌。 而豪华气派的框架则采用了好像晶莹剔透闪着珍珠光泽水珠的亿景水滴形的雷闪纯金制成。巨硕烟状塔顶部是一个超大的，火橙色的千球仙人球形的亿光纯金宝石体。 那是用能
A (3)
B
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a
a ba
（1）两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a与b不共线时，a+b、a、b的方
向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;
（3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且 |a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时，若|a|>|b|,则a+b的方向与 a相同，且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与?相同,， |a+b|?