例谈求平行四边形顶点坐标的一种万能解法

例谈求平行四边形顶点坐标的一种万能解法

【摘要】二次函数综合题中经常遇到在平面直角坐标系下，求平行四边形的顶点坐标，这类试题综合性强、难度大、知识覆盖面广，涉及分类讨论思想，大部分学生对解这类题目感到困难，有的学生只得一部分解。笔者经过做大量的题目，归纳总结出解这类题的一种万能解法，这种解法不会漏解，也不用画图，但计算量稍大点。①由中点坐标公式推出平行四边形顶点坐标公式；②函数解析式；

③分类讨论思想；④点与曲线方程的关系。

【关键词】二次函数综合题求平行四边形的顶点坐标解法

二次函数综合题中，经常出现在平面直角坐标系背景下，求平行四边形的

顶点坐标问题。这类试题综合性强，知识覆盖面广，涉及分类讨论思想，对分析问题、解决问题的能力要求较高，大部分学生对解答此类题目感到困难，有的学生也只得一部分解。纵观这些试题,大致可以分为两大类型：三定一动型和两定两动型。三定一动型，即已知三个顶点的坐标，在平面内求第四个顶点的坐标,使其构成平行四边形；两定两动型,即已知两个顶点坐标,另外两个待求的顶点坐标一般处于坐标轴上、二次函数对称轴上或函数的图象上。笔者通过做这类大量的练习，悟出解这类题的一种万能解法(这是笔者的观点)，而且这种解法不会漏解，也不用画图，但计算量稍大点。下面笔者就三道题，谈谈平行四边形顶点坐标的一种万能解法。这种解法主要用到下面几个知识点:

知识点1:已知点A（x A,y A），点B（x B,y B ），则线段AB的中点坐标为:

(〖SX(〗x A+x B〖〗2〖SX)〗,〖SX(〗x B+y B〖〗2〖SX)〗).

〖TP7.TIF;%50%50,Y〗知识点2: 在平行四边形中，因为平行四边形的对角线互相平分，所以由线段的中点坐标公式，推出平行四边形四个顶点坐标公式，

在平面直角坐标系中，设平行四边形ABCD四个顶点的横坐标分别x A、x B、x C、x D，纵坐标分别为y A、y B、y C、y D，则有如下关系：

①x A+x C=x B+x D；②y A+y C=y B+y D.

知识点3:已知两个定点，求两个动点，使这四个点构成平行四边形，则这两个定点可以是平行四边形的边，可以是平行四边形的对角线两种情况。

下面用三道例题谈谈这种解法。

〖TP8.TIF;%50%50,Y〗例1:如图，△ABC的顶点分别为A（3，2）、B（0，1）、C（2，0），求第四个顶点D，使A、B、C、D构成平行四边形，则D点的坐标是〖CD#4〗

分析:这道题是已知3个定点A,B,C,，求1个动点D，使A,B,C,D,4个点构成平行四边形，我们以AB为边和AB为对角线分两类即可。

用平行四边形四个顶点坐标特点解这题的方法为:

解:设D（x,y）

(1)当AB为边，且ABCD为平行四边形时，∠A与∠C，∠B与∠D分别为对角，

根据平行四边形四个顶点坐标公式有:

x+0=3+2=5,y+1=2+0则y=1 ∴D ( 5, 1 ).

(2)当AB为边，且ABDC为平行四边形时,∠A与∠D，∠B与∠C分别为对角，

根据平行四边形四个顶点坐标公式有:x+3=0+2则x=1 ,y+2=1+0则y=1 ∴D ( 1, 1 ).

3)当AB为对角线时，∠A与∠B，∠C与∠D分别为对角，

〖TP9.TIF;%50%50,Y〗则有:x+2=3+0∴x=1y+0=2+1 ∴y=3∴D ( 1, 3 ).

∴D ( 5, 1 )或( 1, 1 ) 或( 1, 3 ).

例2:（2013·郑州模拟改篇)如图，抛物线y=ax2+bx+〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗

与直线AB交于点A(－1，0)，B(4，〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗)．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．

（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式;

（2）当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请求出相应的点Q的坐标．

解：（1）由题意得〖JB({〗a-b+〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗=0

16a+4b+〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗=〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗.〖JB)〗解得〖JB({〗a=-〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗b=2.〖JB)〗

∴y=-〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗x2+2x+〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗.

设直线AB为：y=kx+b，则有〖JB({〗-k+b=04k+b=〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗.〖JB)〗解得〖JB({〗k=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗,b=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗〖JB)〗

∴y=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗x+〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗

（2）用平行四边形四个顶点坐标特点解这题的方法为:

解∵点Q 在直线AB上，∴设Q（m, 〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗m+〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗）, 易得C(2,〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗), D( 2,〖SX(〗9〖〗2〖SX)〗).

(1)当CD为边，CDQP为平行四边形时，∠C与∠Q, ∠D与∠P为对角,

则有x C +x Q=x D+x Py C+y Q=y D+y P .

又∵C(2,〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗),D( 2,〖SX(〗9〖〗2〖SX)〗), ∴P（m, 〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗m-〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗）.

∵点P（m,〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗m-〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗）在抛物线上y=-〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗x2+2x+〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗上

∴－〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗m2+2m+〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗m －〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗

解得:m1=5 m2=-2∴Q（5， 3 ）或（-2，- 〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗）.

(2)当CD为边，CDPQ为平行四边形时，∠C与∠P, ∠D与∠Q为对角,

则有x C+x P =x D+x Qy C+y P=y D+y Q

设Q（m,〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗m+〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗）, ∵C( 2 ,〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗),D( 2,〖SX(〗9〖〗2〖SX)〗)∴P ( m,〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗m+