高三数学课件：空间角

9.8空间角
【教学目标】
掌握二面角及其平面角的概念'能灵活作出二面角的平面角'并能求出大小
【知识梳理】
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

其取值范围分别是：
0° < 0 W90°、0° W e W90° v 0° < 0
W180。

•空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法和向量法.
A. 30°
B.600
C.90°
D.150°
1.如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长 的3倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值
2•平面a 的斜线与a 所成的角为30。

，则此斜线和
a 内所有 不过斜足的直线所成的角的最大值
为 ........................... （C
）
A. B. 2^3 C. V2
3 •如果向量a=(101)，b=(O丄1)分别平行于平面％卩且都
与此两平面的交线1垂直，则二面角a亠卩的大小是............ (D )
A. 90°
B. 30°
C.45。

D.600 4 •在△ ABC中,M，N分别是ABAC的中点,PM丄平面ABC,当BC=18,PM=373 时,PN和平面ABC所成的角是qn。

5・PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60。

，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为豆_____ ・
3
【典例剖析】、异面直线所成的角
例1 (04高考广东18 (2))如右下图，在长方体
ABCD AiBiGDi 中，己知AB=4, AD=3, AA X=2O E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=lo求
直线EC】与FDi所成的角的余弦值。

E B
例2如图，在直三棱柱ABGA1B1G中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,侧棱AA]=2, D, E分别是CC]与A]B |=:
的中点，点E在平面ABD上的射影是/ABD的重心G。

求A]B与平面ABD所成角的大小。

【典例剖析】三、二面角的求法
例3•在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA
丄平面ABCD,设PA二AB二a, BC=2a,求二面角B・
PC-D的大小。

例4如图6,正三棱柱ABGAiBiG的底面边长为
【典例剖析】
3,侧棱44】=舟石，D是CB延长线上一点，且BD二BC，求二面角B X.AD-B的大小。

【补充练习】
1. (01天津)如图，以正四棱锥V—ABCD底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,其中
Ox//BC, Oy//AB. E为VC中点，正正四棱锥底面边
长为2a,高为h・(I )求cos<BE，,DE>;
(II)记面BCV为a,面DCV为卩，若ZBED是
二面角a—VC—卩的平面角，求ZBED.
【补充练习】
2.如图，直三棱柱ABC—AiB&i
,ZACB=90° , AC=1, CB= ,侧棱画的两条对角线交
点为D, B&1的中点为M。

求证：(1)CD丄平面BDM；⑵求面B]BD与面CBD所成二面角的大小。