主成分分析法例子之一
主成分分析案例范文
主成分分析案例范文假设我们有一个包含多个汽车特征的数据集，每个汽车被表示为一个m维向量。
我们想要对数据进行降维，以便更好地理解和可视化数据。
我们可以利用主成分分析，将高维数据转换为低维数据，然后选择其中的几个主成分进行分析。
首先，我们需要对数据进行标准化处理，即使得每个维度的均值为0，方差为1、这是因为PCA是一种基于协方差矩阵的方法，对于不同单位和尺度的变量，会导致主成分的不准确。
接下来，我们计算数据的协方差矩阵。
协方差矩阵描述了数据之间的线性关系，其中每个元素表示两个变量之间的协方差。
对于m维数据，其协方差矩阵为一个大小为mxm的矩阵。
然后，我们计算协方差矩阵的特征向量和特征值。
特征向量描述了协方差矩阵的主要方向，特征值表示了数据在特征向量方向的方差。
特征向量按照对应特征值的大小进行排序，最大的特征值对应的特征向量即为第一主成分，第二大的特征值对应的特征向量即为第二主成分，以此类推。
我们可以选择前k个主成分进行降维，其中k可以根据需求进行选择。
最后，我们将数据投影到所选择的前k个主成分上。
具体做法是将数据与特征向量构成的转换矩阵相乘，得到数据在新的低维空间中的表示。
通过PCA降维，我们可以减少数据的维度，并保留了大部分的方差信息。
这有助于数据可视化和分析。
下面以一个具体的例子说明PCA的应用。
假设我们有一个汽车数据集，其中包含汽车的各种特征，如车速、发动机功率、车重、燃油消耗等。
我们的目标是将这些特征进行降维，并查看是否可以找到一些有趣的模式。
首先，我们对数据进行标准化处理，确保每个特征的均值为0，方差为1然后，我们计算数据的协方差矩阵，找到其特征向量和特征值。
接下来，我们选择前两个特征值最大的特征向量作为第一和第二主成分。
这两个主成分分别表示数据的主要方向。
我们可以将数据投影到这两个主成分上，得到一个二维的表示。
最后，我们可以在二维空间中绘制投影后的数据，并观察数据之间的分布。
如果在二维空间中存在一些有趣的模式，我们可以进一步探索这些模式，并进行更深入的分析。
主成分分析法实例
主成分分析法实例PCA的基本思想是将原始数据在坐标系下进行变换，使得各个坐标轴之间的相关性最小化。
在变换后的坐标系中，第一个主成分表示数据中方差最大的方向，第二个主成分表示与第一个主成分正交且方差次大的方向，以此类推。
因此，保留前k个主成分就可以达到降维的目的。
下面我们通过一个实例来详细介绍PCA的应用过程。
假设我们有一个二维数据集，其中包含了500个样本点，每个样本点具有两个特征。
我们首先需要对数据进行标准化处理，即对每个特征进行零均值化和单位方差化，这可以通过下面的公式实现：\[x_j' = \frac{x_j - \overline{x_j}}{\sigma_j}\]其中，\(x_j\)表示第j个特征的原始值，\(\overline{x_j}\)表示第j个特征的均值，\(\sigma_j\)表示第j个特征的标准差。
通过标准化处理后，我们可以得到一个均值为0，方差为1的数据集。
接下来，我们计算数据集的协方差矩阵。
协方差矩阵可以帮助我们衡量变量之间的相关性，它的第i行第j列的元素表示第i个特征与第j个特征的协方差。
\[Cov(X) = \frac{1}{n-1}(X - \overline{X})^T(X -\overline{X})\]其中，X是一个n行m列的矩阵，表示数据集，\(\overline{X}\)是一个n行m列的矩阵，表示X的每一列的均值。
协方差矩阵可以通过求解数据集的散布矩阵来得到，散布矩阵的定义如下：\[Scatter(X) = (X - \overline{X})^T(X - \overline{X})\]我们将协方差矩阵的特征值和特征向量求解出来，特征值表示每个特征方向上的方差，特征向量表示每个特征方向上的权重。
我们将特征值按照从大到小的顺序排序，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。
最后，我们将数据集投影到选取的主成分上，得到降维后的数据集。
投影的过程可以通过下面的公式实现：\[y=XW\]其中，X是一个n行m列的矩阵，表示数据集，W是一个m行k列的矩阵，表示主成分。
主成分分析(数学建模)
上面的四张图中， 上面的四张图中，哪一种有更高的 精度？原始变量的信息损失最少？ 精度？原始变量的信息损失最少？
旋转变换的目的是为了使得n个样品点在 Fl轴方向上的离 散程度最大，即Fl的方差最大。 变量Fl代表了原始数据的绝大 部分信息，在研 究某经济问题时，即使不考虑变量F2也无损大 局。经过上述旋转变换原始数据的大部分信息 集中到Fl轴上，对数据中包含的信息起到了浓 缩作用。
F 1
x1
平移、旋转坐标轴 主 成 分 分 析 的 几 何 解 释
•• •• •• ••• •• • •• •
x2 F2
••• • •• •• • •• •• • • •• • •
F 1
x1
平移、旋转坐标轴 x2 F 1 主 F2 成 • • •• •• • • • 分 • • 分 • •• •• • • • • • • • ••• • • • •• 析 • •••• • • •• • • • • • 的 • • • • •• • ••• • • • 几 • • •• • x1 • 何 • • • • •• • • • • •• • • 解 • • • • • • • • • • •• • 释
F1 F1 F2 F3 i Δi i t 1 0 0
F2
F3
i
i
t
1 0 -0.041 1 0.057 -0.124 l -0.102 -0.414 l -0.112 1
0.995
-0.056 -0.369
பைடு நூலகம்
0.948
-0.282
-0.836
二、主成分分析的意义 主成分分析是把各变量之间互相关联的复杂 关系进行简化的分析方法。 在社会经济的研究中，为了全面系统的分析 和研究问题，必须考虑许多经济指标，这些指标 能从不同的侧面反映我们所研究的对象的特征， 但在某种程度上存在信息的重叠，具有一定的相 关性。
主成分分析
主成分分析主成分分析、因子分析等在多元统计分析中属于协方差逼近技术。
主要是从协方差矩阵出发，实现一种正交变换，从而将高维系统表示为低维系统，在此过程中可以揭示研究对象的许多性质和特征。
主成分分析的结果可以用于回归分析、聚类分析、神经网络分析等等。
只要懂得线性代数中二次型化为标准型的原理，就很容易掌握主成分分析的原理，进而掌握因子分析的原理。
在理解正交变换数学原理的基础上，我们可以借助Excel 开展主成分分析。
为了清楚地说明主成分的计算过程，不妨给出一个简单的计算实例。
【例】2000 年中国各地区的城、乡人口的主成分分析。
这个例子只有两个变量（m=2）：城镇人口和乡村人口；31 个样品：即中国的31 个省、自治区和直辖市（n=31）。
资料来自2001 年《中国统计年鉴》，为2000 年全国人口普查快速汇总的11 月1 日零时数。
由于变量太少，这个例子仅仅具有教学意义——简单的实例更容易清楚地展示计算过程的细节。
计算步骤5.1.1 详细的计算过程首先，录入数据，并对数据进行适当处理（图5-1-1）。
计算的详细过程如下。
第一步，将原始数据绘成散点图主成分分析原则上要求部分变量之间具有线性相关趋势。
如果所有变量彼此之间不相关（即正交），则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的就是用正交的变量代替原来非正交的变量。
如果原始变量之间为非线性关系，则有必要对数据进行线性转换，否则效果不佳。
从图5-1-2 可见，原始数据具有非线性相关趋势，可以近似匹配幂指数函数，且测定系数R2=0.5157，相应地，相关系数R=0.7181（图5-1-2a）；取对数之后，点列具有明显的线性趋势（图5-1-2b）。
第二步，对数据进行标准化标准化的数学公式为我们将对对数变换后的数据开展主成分分析，因此只对取对数后的数据标准化。
根据图5-1-1所示的数据排列，应该按列标准化，用xij 代表取对数之后的数据，则下式分别为第j 列数据的均值和标准差，xij 为第i 行（即第i 个样本）、第j 列（即第j 个变量）的数据，xij*为相应于xij 的标准化数据，n=31 为样品数目（参见图5-1-1）。
SPSS软件进行主成分分析的应用例子
SPSS软件进行主成分分析的应用例子主成分分析是一种常用的多变量数据降维方法，它可以将众多相关性较强的变量通过线性组合转化为较少数量的无关变量，方便进行后续的统计分析和可视化。
下面是一个应用SPSS软件进行主成分分析的例子。
假设我们有一份健康调查问卷数据，其中包括了以下一些变量：1.年龄2.身高3.体重4.血压5.血糖6.血脂7.心率8.运动频率9.饮食习惯10.吸烟习惯11.饮酒习惯我们希望通过主成分分析来探索这些变量之间的关系，并找出影响健康的主要因素。
首先，我们需要使用SPSS软件导入数据并进行数据预处理，包括缺失值处理、异常值处理等。
接下来，我们需要进行主成分分析。
在SPSS中，可以通过如下步骤实现：1.打开SPSS软件并导入数据文件。
2.选择"分析"菜单中的"降维"，然后选择"主成分"。
3.在弹出的对话框中，选择要进行主成分分析的变量。
在我们的例子中，我们选择所有的量表变量。
4.选择主成分提取的方法。
常用的方法有主成分提取和因子分析，我们选择"主成分"。
5.在主成分提取对话框中，可以选择要保留的主成分数量。
可以使用不同的标准来确定保留的主成分数量，如特征值大于1、方差解释度大于85%等。
根据实际需求，我们选择保留主成分的累积方差解释度达到60%。
6.点击"确定"进行主成分分析。
在主成分分析完成后，SPSS会生成主成分的系数矩阵、特征根表和解释根表等结果。
接着，我们需要对主成分进行解释和命名。
可以通过查看主成分的系数矩阵和特征根表来判断主成分代表的变量或潜在构念。
在我们的例子中，主成分的系数较高且与身高、体重、血压等变量相关，可以将其命名为"体型健康"。
最后，我们可以进行主成分得分的计算和解释。
在SPSS中，可以通过如下步骤实现：1.在主成分分析的结果中，选择"得分"选项卡。
主成分分析法概念及例题
主成份分析法之巴公井开创作时间：二O二一年七月二十九日主成份分析（principal components analysis,PCA）又称：主分量分析,主成份回归分析法目录[显示]• 1 什么是主成份分析法• 2 主成份分析的基本思想• 3 主成份分析法的基来源根基理• 4 主成份分析的主要作用• 5 主成份分析法的计算步伐• 6 主成份分析法的应用分析o 6.1 案例一：主成份分析法在啤酒风味评价分析中的应用[1]▪ 6.1.1 1 资料与方法▪ 6.1.2 2 主成份分析法的基来源根基理▪ 6.1.3 3 主成份分析法在啤酒质量一致性评价中的应用▪ 6.1.4 4 结论•7 参考文献[编纂]什么是主成份分析法主成份分析也称主分量分析,旨在利用降维的思想,把多指标转化为少数几个综合指标.在统计学中,主成份分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术.它是一个线性变换.这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一年夜方差在第一个坐标(称为第一主成份)上,第二年夜方差在第二个坐标(第二主成份)上,依次类推.主成份分析经经常使用减少数据集的维数,同时坚持数据集的对方差贡献最年夜的特征.这是通过保管低阶主成份,忽略高阶主成份做到的.这样低阶成份往往能够保管住数据的最重要方面.可是,这也不是一定的,要视具体应用而定.[编纂]主成份分析的基本思想在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必需考虑众多影响因素.这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量.因为每个变量都在分歧水平上反映了所研究问题的某些信息,而且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定水平上有重叠.在用统计方法研究多变量问题时,变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,获得的信息量较多.主成份分析正是适应这一要求发生的,是解决这类题的理想工具.同样,在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题.科普效果是很难具体量化的.在实际评估工作中,我们经常会选用几个有代表性的综合指标,采纳打分的方法来进行评估,故综合指标的选取是个重点和难点.如上所述,主成份分析法正是解决这一问题的理想工具.因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性,就肯定存在着起支配作用的因素.根据这一点,通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究,找出影响科普效果某一要素的几个综合指标,使综合指标为原来变量的线性拟合.这样,综合指标不单保管了原始变量的主要信息,且彼其间不相关,又比原始变量具有某些更优越的性质,就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时,容易抓住主要矛盾. 上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标,这指标构成的维随机向量为.对作正交变换,令,其中为正交阵,的各分量是不相关的,使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释,这就使得我们有可能从主分量中选择主要成份,削除对这一要素影响微弱的部份,通过对主分量的重点分析,到达对原始变量进行分析的目的.的各分量是原始变量线性组合,分歧的分量暗示原始变量之间分歧的影响关系.由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系,主成份分析使我们能从扑朔迷离的科普评估要素的众多指标中,找出一些主要成份,以便有效天时用年夜量统计数据,进行科普效果评估分析,使我们在研究科普效果评估问题中,可能获得深条理的一些启发,把科普效果评估研究引向深入.例如,在对科普产物开发和利用这一要素的评估中,涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普财富化（科普示范基地数百万人）等多项指标.经过主成份分析计算,最后确定个或个主成份作为综合评价科普产物利用和开发的综合指标,变量数减少,并到达一定的可信度,就容易进行科普效果的评估.[编纂]主成份分析法的基来源根基理主成份分析法是一种降维的统计方法,它借助于一个正交变换,将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量,这在代数上暗示为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵,在几何上暗示为将原坐标系变换成新的正交坐标系,使之指向样本点散布最开的p 个正交方向,然后对多维变量系统进行降维处置,使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统,再通过构造适当的价值函数,进一步把低维系统转化成一维系统.[编纂]主成份分析的主要作用概括起来说,主成份分析主要由以下几个方面的作用.1．主成份分析能降低所研究的数据空间的维数.即用研究m维的Y空间取代p维的X空间(m＜p),而低维的Y空间取代高维的x空间所损失的信息很少.即：使只有一个主成份Y l(即 m＝1)时,这个Y l仍是使用全部X变量(p个)获得的.例如要计算Yl的均值也得使用全部x的均值.在所选的前m个主成份中,如果某个X i 的系数全部近似于零的话,就可以把这个X i删除,这也是一种删除过剩变量的方法.2．有时可通过因子负荷a ij的结论,弄清X变量间的某些关系.3．多维数据的一种图形暗示方法.我们知道当维数年夜于3时便不能画出几何图形,多元统计研究的问题年夜都多于3个变量.要把研究的问题用图形暗示出来是不成能的.然而,经过主成份分析后,我们可以选取前两个主成份或其中某两个主成份,根据主成份的得分,画出n个样品在二维平面上的分布况,由图形可直观地看出各样品在主分量中的位置,进而还可以对样本进行分类处置,可以由图形发现远离年夜大都样本点的离群点.4．由主成份分析法构造回归模型.即把各主成份作为新自变量取代原来自变量x做回归分析.5．用主成份分析筛选回归变量.回归变量的选择有着重的实际意义,为了使模型自己易于做结构分析、控制和预报,好从原始变量所构成的子集合中选择最佳变量,构成最佳变量集合.用主成份分析筛选变量,可以用较少的计算量来选择量,获得选择最佳变量子集合的效果.[编纂]主成份分析法的计算步伐1、原始指标数据的标准化收集p 维随机向量x =(x1,X2,...,X p)T)n 个样品x i = (x i1,x i2,...,x ip)T,i=1,2,…,n,n＞p,构造样本阵,对样本阵元进行如下标准化变换：其中,得标准化阵Z.2、对标准化阵Z 求相关系数矩阵其中, .3、解样秘闻关矩阵R 的特征方程得p 个特征根,确定主成份按确定m 值,使信息的利用率达85%以上,对每个λj, j=1,2,...,m, 解方程组Rb= λj b得单元特征向量 .4、将标准化后的指标变量转换为主成份U1称为第一主成份,U2称为第二主成份,…,U p称为第p 主成份.5 、对m 个主成份进行综合评价对m 个主成份进行加权求和,即得最终评价值,权数为每个主成份的方差贡献率.[编纂]主成份分析法的应用分析[编纂]案例一：主成份分析法在啤酒风味评价分析中的应用[1]啤酒是个多指标风味食品, 为了全面了解啤酒的风味, 啤酒企业开发了年夜量的检测方法用于分析啤酒的指标, 可是面对年夜量的指标数据, 年夜大都企业又感到茫然,不知道如何利用这些年夜量的数据, 由上面的介绍可知,在这种情况下,主成份分析法能够派上用场.近年来,科研人员为了获得对啤酒风味更好的理解, 多元统计技术的使用越来越多.这主要有以下两方面的原因:①在啤酒领域里, 几乎没有一个问题能够使用单变量(单指标)就能反映事物的属性, 例如啤酒的好坏、一致性, 不能通过双乙酰一个指标说明问题;②另一个重要的原因就是, 近年来年夜量数学统计软件的不竭呈现和个人电脑的普及增进了多元统计分析技术的应用.多元统计技术在啤酒风味研究中的一个重要任务就是找出啤酒风格和啤酒理化指标(风味成份指标也属于理化指标)之间的相关性.例如可以用多元统计技术来找出啤酒的风味指标和啤酒风味的关系或分歧啤酒的风味不同性.经常使用的多元统计技术有聚类分析、判别分析、主成份分析和回归分析等.其中主成份分析能够用于多指标产物, 主成份分析可以依照事物的相似性区分产物, 结果可用一维、二维或三维平面坐标图标示, 特别直观.使用主成份分析法可以研究隐藏在分歧变量面前的关系,而且根据这些变量能够获得主成份的布景解释.鉴于主成份分析在啤酒风味质量应用中的强年夜作用, 本文简单介绍主成份分析的基来源根基理及其在啤酒一致性监控中的应用,以引起我国啤酒同行的广泛关注.[编纂]1 资料与方法1.1 仪器HP 6890 毛细管气相色谱仪 (美国安捷伦公司),FID 检测器, HP 7694E 顶空自动进样器, HP 气相色谱化学工作站.1.2 分析方法1.2.1 样品制备啤酒于5 ℃冷藏, 量取 5 mL 酒液于 20 mL 顶空瓶中, 添加2.0 g/L 正丁醇溶液 0.10 mL, 加密封垫及铝盖密封,振荡混匀以供顶空气相色谱测定.1.2.2 色谱条件毛细管色谱柱 (DB- WAXETR 30 m×0.53 mm i.d,膜厚1.0μm);柱温:起始温度为 35 ℃, 以 10 ℃/min 法式升温至150 ℃, 再以 20 ℃/min 升温到180 ℃, 并继续恒温5 min;进样口温度 150 ℃; 检测器温度 200 ℃; 载气为高纯氮气, 流速为5 mL/min;氢气 30 mL/min;空气400 mL/min;采纳分流进样,分流比为1∶1.[编纂]2 主成份分析法的基来源根基理2.1 主成份分析法在啤酒研究中应用的需要性这里通过一个例子说明, 主成份分析在啤酒研究中的需要性.假如有6 个啤酒样品,分别标为A- F,每个啤酒样品用3 个指标来描述.这些指标可以是仪器的分析数据、感官分析数据或两者都用.为了便于讨论,假设这3 个指标分别为苦味值(BU)、DMS和酒精浓度.为了解这6 个样品两两之间的相似性, 便于将这6 个样品进行分类,可以把这6 个样品画在三维空间中,见图1.显然在这个简单的例子中,这6 个样品倾向于形成两类, 即分别是A- C 和 D- F.通过所测的指标可以解释这种分类, 例如, 第一组(A- C)有较高的苦味值和较低的酒精浓度.这个例子中只涉及到6 个样品和3 个指标.可是实际上, 样品数量和指标数量城市很年夜, 例如, 有20 个指标, 这时, 样品不能在20 维的坐标系中画出.为了解决多指标的样品的比力问题,可以使用主成份分析法.2.2 主成份分析法的基来源根基理主成份分析的第一步是将所有的指标数据进行标准化, 标准化的一般方法为: (x ij−x j mean) / δj, 这里x ij是样品j 的第 i个指标, x j mean和δj是第j 个指标的平均值和标准偏差, 通过标准化后, 每个变量的平均值酿成0,标准偏差为1.标准化的好处是可以消除分歧指标间的量纲不同和数量级间的不同.第二步求出指标间的相关矩阵, 通过相关矩阵, 可以确定具有高度相关性的指标, 这些指标间的协方差可以通过另一个变量替代, 这个变量叫作第一成份.去失落第一成份后, 计算残留相关阵, 通过残留相关阵, 第二组高度相关的变量也可以发现, 它们的协方差可以用第二成份替代, 第二成份和第一成份是正交的.第二成份对原始数据的贡献去除后, 可以提取第三成份.此过程一直继续, 直到原始数据的所有方差都被提取后结束.结果是原数据转化成了同样数量的新变量, 可是, 这些新变量之间是正交的.因此, 每个样品的原始变量的标准化数据就被转换成一系列成份的计算值.每一个样品, 原始数据能够表告竣新成份的线性组合值, 例如一个有9 个指标的数据集就可转换成:………………是原始数据的标准化值.是原变量与新成份之间的相关水平的指标, 一般将其称为因子荷载.通过计算机的主成份法式生成对方差的贡献率.一般而言, 原数据的总方差总是高度集中在前几个成份中.因此,在这个分析中,可以基于可以接受的最低方差贡献率,来选择几个数目较少的主成份.最终,可以用选择的几个主成份来重新计算所用的样品.重新计算的值叫做主成份得分.因为原始数据阵的方差通常集中在前几个主成份中(一般为2 或 3 个), 因此样品的一系列标准化因子得分可以在二维的平面坐标中画出, 这样就能够根据样品的相似性来分类样品.另外, 还可以根据因子荷载对这种分类做出某种解释.[编纂]3 主成份分析法在啤酒质量一致性评价中的应用3.1 主成份分析法在分歧品牌啤酒风味不同性评价中的应用啤酒是含酒精的饮料酒, 啤酒的风味是人们选择啤酒的主要影响因素.显然啤酒分歧于同浓度的酒精水溶液, 主要是因为啤酒除含有酒精外还含有数以百计的微量成份, 例如醛、醇及酯类等.对啤酒生产企业来说, 把自己的啤酒和竞争啤酒的风味进行比力非常重要, 这样可以了解自己的啤酒和竞品的不同, 分析竞争啤酒受市场欢迎的原因, 以改进自己的产物, 或者找出自己啤酒的风格特点, 走不同化竞争之路.为了完成此工作, 啤酒企业可以把自己的啤酒和竞争啤酒进行比较品评, 这是一种非常好的方法, 可是此方法很难从实质上找到与竞品的不同, 很难形成指导生产的定性定量办法.为了解决此问题, 啤酒企业可以对啤酒的风味成份进行分析, 理论上讲, 分析的成份越多, 获得的信息量越年夜, 可是, 很难从总体上进行比较分析, 这时, 可以通过主成份分析法, 提取主要的综合成份, 然后在平面坐标系中画图进行比力.图2 是我国市场上主要啤酒的风味物质经主成份分析后的前两个主成份的平面坐标.分析的风味成份有乙醛、乙酸乙酯、异丁酯、乙酸异戊酯、异戊醇及己酸乙酯.分析的时间跨度为半年, 这些数据通过主成份分析法后, 提取前两个主成份, 这两个主成份可以反映全部信息的83.1 %, 提取较为完全, 这说明这两个主成份替代原始的6 个风味成份反映的样品信息.百威啤酒、喜力啤酒和青岛啤酒是我国啤酒市场上的3 种知名品牌,同时这3 种啤酒的质量也是获得人们的认可的.从图2 可看出, 尽管百威啤酒、喜力啤酒和青岛啤酒随着时间的变动每种啤酒的风味成份的含量有所摆荡, 可是, 每种啤酒还是各自成一团, 自成一类, 三者的中心犹如一个三角形的3 个极点, 三者组成一个风味三角形.从图2 还可看出, 南方某品牌的啤酒有单独成型的特点, 即其分歧于青岛啤酒、也分歧喜力啤酒和百威啤酒的风格,实际上通过感官品尝也可以获得此结论.主成份分析法采纳的分类是可以通过对主成份的分析做出解释的,图3 是前两个主成份的因子荷载图.从图3 可以看出, 主成份 1 主要由乙酸乙酯、乙酸异戊酯和己酸乙酯决定, 这些酯含量高, 主成份1 就越年夜, 即主成份1 代表了啤酒的酯香, 酯香越浓, 主成份 1就越年夜.主成份2 主要由乙醛、异丁醇和异戊醇决定,这些成份能够代表啤酒的“酒劲”的年夜小, 这些成份含量越高,主成份2 就越年夜,即啤酒的酒味就越重.结合这种解释, 就可以对图2 中的分类做出分析, 其中百威啤酒是酒味适中和酯香相对较浓的“浓香型”啤酒, 喜力啤酒是酒味和酯香均较浓的“浓醇型”啤酒, 青岛啤酒是酒味较重, 而酯香较弱的“醇型”啤酒, 而某品牌的啤酒则是酒味和酯香均弱的“淡型”啤酒.3.2 主成份分析法在同一品牌啤酒风味一致性评价中的应用3.2.1 主成份分析法在同一品牌分歧生产厂之间一致性评价中的应用近十几年来, 我国啤酒行业发展非常快, 啤酒企业的规模越来越年夜, 很多啤酒企业已经走出啤酒的“原产地”到异地建厂,进一步扩年夜企业的规模.对一些啤酒企业来说, 新建厂面对的消费群体和建厂前面对的消费群体较为一致, 这时就要求新建厂生产的啤酒要与原厂生产的啤酒风格一致, 以免生产厂在切换时, 消费者不认可的情况发生.图4 是同一企业的3 个分歧生产厂之间的同一品种啤酒的主成份分析图.从图4 可以看出, 总的来说, 3 个生产厂生产的啤酒还是比力一致的, 因为3 个厂生产的同一品种的啤酒的摆荡范围较小.从图4 还可以看出, 生产厂1 因为生产的历史长, 生产较稳定,因此其摆荡较小(图中的圆圈);生产厂2 和生产厂3 的稳定性就稍差一点, 这是由于这两个厂都是新厂,有个磨合的过程.同时,生产厂2和生产厂1 的风味较为一致, 生产厂 3 和生产厂1 的一致性就稍差,其中生产厂3 是最新的厂.3.2.2 主成份分析在同一生产厂啤酒一致性评价中的应用同一生产厂生产的同一品种的啤酒, 由于分歧时间的水质、原辅料等的摆荡, 最终体现在产物风味的摆荡上.同一主成份分析也可以评价产物随时间的一致性.现以某一啤酒企业2006 年生产的某品种啤酒为例说明主成份分析在产物风味一致性评价中的应用.要评价啤酒风味的一致性, 啤酒企业首先要测定啤酒的风味指标,目前通过顶空-毛细管技术能测定年夜约10 种的风味物质,分别为乙醛、DMS、甲酸乙酯、乙酸乙酯、乙酸异丁酯、正丙醇、异丁醇、乙酸异戊酯、异戊醇和己酸乙酯.以前的一些统计技术例如统计过程控制(SPC)的控制图等只能说明某一指标的摆荡情况, 而不能从总体上反映产物的摆荡性, 因为有些指标的摆荡, 不会引起产物风格的摆荡, 而主成份分析法, 是从总体上说明产物的摆荡性,比控制图更能说明产物的摆荡性.图5 是某啤酒企业 2006 年一年生产的某品种的啤酒的10 种风味指标的前两个主成份的平面坐标图,这两个主成份可反映产物约60 %的信息.图 5 中的第一个小椭圆是95 %的置信区, 即在这个椭圆外的点占5 %, 通过对该椭圆外的点进行跟进分析可以发现摆荡的原因, 并在以后的生产过程中加以防止, 以提高产物的一致性.[编纂]4 结论4.1 主成份分析法, 可以消除各变量之间的共线性, 减少变量的个数,利于后续的分析.4.2 使用主成份分析可以依照事物的相似性区分产物, 结果可用一维、二维或三维平面坐标图标示, 特别直观.4.3 将样品的数据通过主成份分析进行浓缩, 然后通过平面坐标可以实现从总体上对样品进行一致性的分析,一般的统计技术只能对某一指标进行评价.4.4 静态顶空进样高效毛细管气相色谱分析啤酒香味组分技术结合, 主成份分析技术可以有效地应用于评价分歧品牌啤酒风味的不同性、同一啤酒的风味一致性与均一性.[编纂]参考文献1. ↑邵威平,李红,张五九.主成份分析法及其在啤酒风味评价.酿酒科技2007 年第 11 期(总第 161 期)。
主成分分析案例数据
主成分分析案例数据目录主成分分析案例数据 (1)介绍主成分分析 (1)主成分分析的定义和背景 (1)主成分分析的应用领域 (2)主成分分析的基本原理 (3)主成分分析案例数据的收集和准备 (4)数据收集的方法和来源 (4)数据的预处理和清洗 (5)数据的特征选择和变换 (6)主成分分析的步骤和方法 (7)数据的标准化和中心化 (7)协方差矩阵的计算 (8)特征值和特征向量的求解 (9)主成分的选择和解释 (10)主成分分析案例数据的分析和解释 (11)主成分的解释和贡献率 (11)主成分的权重和特征 (11)主成分得分的计算和应用 (12)主成分分析的结果和结论 (13)主成分分析的结果解读 (13)主成分分析的应用建议 (14)主成分分析的局限性和改进方法 (15)总结和展望 (16)主成分分析的优势和局限性总结 (16)主成分分析的未来发展方向 (16)主成分分析在实际问题中的应用前景 (16)介绍主成分分析主成分分析的定义和背景主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多变量数据分析方法，旨在通过降维将高维数据转化为低维数据，同时保留原始数据中的主要信息。
它是由卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）于1901年提出的，被广泛应用于数据挖掘、模式识别、图像处理等领域。
主成分分析的背景可以追溯到19世纪末，当时统计学家们开始关注如何处理多变量数据。
在那个时代，数据集的维度往往非常高，而且很难直观地理解和分析。
因此，研究人员开始寻找一种方法，能够将高维数据转化为低维数据，以便更好地理解和解释数据。
主成分分析的基本思想是通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得新坐标系下的数据具有最大的方差。
这样做的目的是希望通过保留原始数据中的主要信息，同时减少数据的维度，从而更好地理解数据的结构和特征。
具体而言，主成分分析通过计算数据的协方差矩阵，找到一组正交的基向量，称为主成分。
主成分分析法案例
主成分分析法案例主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的降维技术，可以将高维数据映射到低维空间，同时保持数据信息最大化。
本文将介绍一个应用主成分分析法的案例，以展示其在实际问题中的应用价值。
假设我们有一个销售数据集，包含100个样本和10个特征。
我们希望通过主成分分析法来降低数据的维度，以便更好地理解和解释数据。
第一步是标准化数据。
由于每个特征的单位和范围可能不同，我们需要将其缩放到相同的尺度。
这样可以避免某些特征对主成分分析结果的影响过大。
通过减去特征均值并除以标准差，我们可以将数据的均值调整为0，方差调整为1。
第二步是计算特征的协方差矩阵。
协方差矩阵可以衡量不同特征之间的关系。
通过计算特征之间的协方差，我们可以得到一个10×10的协方差矩阵。
第三步是计算协方差矩阵的特征值和特征向量。
特征值可以衡量每个特征的重要性，特征向量则表示数据在这些特征方向上的投影。
第四步是选择主成分。
我们可以通过特征值的大小来选择主成分的数量。
特征值越大，说明对应特征向量的信息量越大。
在这个案例中，我们选择前三个特征值最大的特征向量作为主成分。
第五步是计算主成分得分。
我们可以将原始数据映射到选定的主成分上，从而得到主成分得分。
主成分得分是原始数据在主成分上的投影。
最后，我们可以通过对主成分进行可视化和解释来理解数据。
在这个案例中，我们可以绘制主成分之间的散点图，观察样本之间的分布情况。
同时，我们还可以计算主成分与原始特征的相关系数，以评估特征在主成分中的重要性。
总之，主成分分析法是一种强大的降维技术，可以帮助我们更好地理解和解释数据。
通过选择主成分，计算主成分得分以及解释主成分，我们可以在高维数据中寻找关键的信息。
主成分分析案例数据
主成分分析案例数据主成分分析案例数据，这可是个挺有趣的话题呢！咱先来说说啥是主成分分析。
简单来讲，主成分分析就是把一堆乱七八糟的数据，通过一些巧妙的办法，找出其中最关键、最重要的几个成分。
就好比你走进一个乱糟糟的房间，然后想办法找出最显眼、最有用的那几件东西。
给您举个例子吧。
我之前教过一个学生，叫小明。
他特别喜欢收集各种石头，什么形状、颜色、大小的都有。
有一天，他拿着他的宝贝石头来找我，说他想弄清楚这些石头有没有什么规律。
这可把我难住了，那么多石头，怎么找规律呀？这时候我就想到了主成分分析。
我先让小明把石头的一些特征记录下来，比如石头的长度、宽度、高度、重量、颜色的深浅等等。
这就像是我们收集了一堆关于石头的数据。
然后呢，通过主成分分析，我们发现石头的大小（长度、宽度、高度、重量综合起来）和颜色的深浅这两个方面，是最能区分这些石头的关键因素。
比如说，大而颜色深的石头往往是他在河边捡到的；小而颜色浅的石头多数是在公园里找到的。
您看，这就是主成分分析的作用。
它能帮我们从复杂的数据中找出关键的信息，就像在一堆乱麻中理出了几根主要的线头。
再比如说，在学校的成绩分析中也能用到主成分分析。
咱们不只是看学生的语文、数学、英语成绩，还会考虑他们的课堂表现、作业完成情况、参加活动的积极性等等。
这么多的数据，如果一股脑儿地去看，那简直要让人头晕眼花。
但通过主成分分析，我们可能会发现，课堂表现和作业完成情况这两个因素，对学生的综合成绩影响最大。
那咱们就可以重点关注这两个方面，想办法帮助学生提高。
还有在市场调研中，假如一家公司想了解消费者对他们产品的看法。
他们可能会收集消费者的年龄、性别、收入水平、购买频率、对产品的满意度等等数据。
经过主成分分析，也许会发现年龄和购买频率是影响消费者满意度的主要成分。
总之，主成分分析就像是一个神奇的工具，能让我们在纷繁复杂的数据海洋中找到方向，抓住重点。
您想想，如果没有主成分分析，我们面对那么多的数据，不就像没头的苍蝇一样乱撞吗？所以说呀，学会主成分分析，能让我们更聪明地处理数据，做出更准确的判断和决策。
主成分分析法实例
1、主成分法：用主成分法寻找公共因子的方法如下：假定从相关阵出发求解主成分，设有p个变量，则可找出p个主成分。
将所得的p个主成分按由大到小的顺序排列，记为Y1, Y2，…，Y P，则主成分与原始变量之间存在如下关系：丫1 11X1 12X2 ... 1p X p丫2 21X1 22X2 .. .2p X pY p p1X1 p2 X2 . X .. pp八p式中，j为随机向量X的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，因为特征向量之间彼此正交，从X到Y得转换关系是可逆的，很容易得出由Y到X得转换关系为：X111丫21丫2 ... p11 pX212丫22丫2 ... p2Y pX p 1p Y 2p Y2 ... Ypp p对上面每一等式只保留钱m个主成分而把后面的部分用i代替，则上式变为：X1 11Y 21丫2 (1)m 1X2 12Y122丫？... m2 丫n 2X p 1p Y 2p Y2 ... Ymp 1 m p上式在形式上已经与因子模型相一致，且Y (i=1,2,…，m)之间相互独立, 且Y 与i之间相互独立，为了把Y转化成合适的公因子，现在要做的工作只是把主成分Y变为方差为1的变量。
为完成此变换，必须将Y除以其标准差，由主成分分析的知识知其标准差即为特征根的平方根厂。
于是,令F Y/厂，\T~\ 1,/；2，...，J m m,则式子变为：X p a p1F 1这与因子模型完全一致，这样，就得到了载荷 A 矩阵和初始公因子（未旋转）。
—般设A 为样本相关矩阵R 的特征根，1, 2 ,..., p 为对应的标准正交化 特征向量。
设m<p ，则因子载荷矩阵A 的一个解为：共同度的估计为：2222h i an a i2 ... a im卜面用主成分法分析以下数据:ABcIIFFGHI 」JI 产际值贫羽:f.T 愤 3:格林，圳利猊（％ JIL ■产0混 k 产值〔元） 1元r 人迁】 炬金夕现度宜［21卜京） 珈30 99 £9.92 ES. V7 15.49 纣G3H1 21005296. T1初园 31 59 30 fl -S R ?S 2B52 4 Jfl 却湖3M LJ可北〔3）MgL7. 2 IT. % 18. M B . 37 ]]6T 2.03 126J7 322.25L I 西〔* )BE .IL D913. OG12 IS LB. 340 021.GG1河204.7C 5)« n谷N4 54Jie. M ft 打844j aT5M225 47M bl2L. 12空.8322.35 ll. & ]U6 2.36 京.奴311.7BW# CT1氏一君L3L »15 TG16.6 T. L4 1006 2.07 g 214 1勺75 BE L5 BZ &r2D. BE ID. JT ]267Z. 2E 933a ?B710_海⑴ isn.Ta45. 9 的T24. 44 LB. 39 捋场4. n 31246 418 611a:苏 c iu ) 汽石27 B5 22 58 13城 7 5 32024朗 ?33T74 or ?12 源Lt ZOT-我 33 D& 25.19 K.K 9. H 况L4. .19果向 命陌5r xs就 t 12 >110/70 £D. 7 20.12 16.61 & & 1愤 巳前3牝t 1412?乔Z? 5? )9时 ie 34 K 职2200Z fi3301 ?15江西It L1>91 #1 Lt T 14. IS 1E.M &村ItM10163■2T4 -116 illTC 15 JL17.M 2L D3 ML 89 1C.E5 9 I 1020£.0 ITKD 331 L17河商c 385用 tr 3H 1« 20 12 T VT ］顺 1.胸 tl?4T 2Tft 513 MC 1T> 1D3.4B18.48Ifc 日 y. IB】3也2.75 l&Tto 3UW.H19iOi( IB) 厂 JR C 19 )104. a 虬4721.26 S0.G3B T21.9013191 309地IM 44 Z3 田■!2D Bl仃.313T E皿勺3.11 1&Z^=I 33431 「西（20）IOC.7^ DI 30.9 21. SS 自.B7m22.1312441 观.4nJ&1.T3 L4 3514, 17 16.93 7. 9B 1310£.由11TD3 242.5寡Hum 53 D5 L4 43H 35 24. 53 5四 】口时1 32 aria 7K 7云两C 23 )73.72 21 Bl 22. T 20.72 9. 3B 144T 1则 12517 洒8ss 陵西f 2i ) TH 陞13 n 12 VIS 03 9 1日 JT31? 00 11.W 221) 326甘肃“S ） 孰L 盘L4 DT 睇Als.罪 ll 34 K&in 13®^l 咨8 QT • 1 肓海f a ） 51-C£ 0 32 0£C IB. 117.05 炫51.31 DMC 176啊28 于互c 厂）5? ?fl« ?5 ft w r FTfl 5,M41 1210*35 加43LL.器13.141£JBB. X金甘LM83288.步骤：第一步，把Excel 中的数据导入到SPSS 中：File —Oper^Data ； 第二步，数据标准化： Analyze^ Descriptive Statistics^ Descriptives 如图：X i X 2aiF 1a 21F 1a 12F 2 a 22F 2a im F m a 2m F ma p2 F 2 a pm F m第三步，检验数据: 如图：得到结果如下:KMO 和 Bartlett 的检验取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。
主成分分析法案例
主成分分析法案例主成分分析法（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的多变量统计分析方法，它可以帮助我们发现数据中的主要特征和结构，从而简化数据集并减少信息丢失。
在本文中，我们将通过一个实际案例来介绍主成分分析法的应用。
案例背景。
假设我们有一个包含多个变量的数据集，我们希望通过主成分分析法来找出其中的主要特征，并将数据进行降维，以便更好地理解和解释数据。
数据准备。
首先，我们需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、标准化等操作。
在这个案例中，我们假设数据已经经过了预处理，并且符合主成分分析的基本要求。
主成分分析。
接下来，我们将利用主成分分析法来分析数据。
主成分分析的基本思想是通过线性变换将原始变量转化为一组线性无关的新变量，这些新变量被称为主成分，它们能够最大程度地保留原始数据的信息。
在进行主成分分析之前，我们需要计算数据的协方差矩阵，并对其进行特征值分解。
通过特征值分解，我们可以得到数据的主成分和对应的特征值，从而找出数据中的主要特征。
案例分析。
假设我们得到了数据的前三个主成分，我们可以通过观察主成分的载荷（loadings）来理解数据中的结构。
载荷可以帮助我们理解每个主成分与原始变量之间的关系，从而解释数据的特点和规律。
通过主成分分析，我们可以发现数据中的主要特征和结构，从而更好地理解数据。
同时，我们还可以利用主成分分析的结果进行数据的降维，从而简化数据集并减少信息丢失。
结论。
通过以上案例分析，我们可以看到主成分分析法在多变量数据分析中的重要作用。
通过主成分分析，我们可以发现数据中的主要特征和结构，从而简化数据集并减少信息丢失。
同时，主成分分析还可以帮助我们更好地理解和解释数据，为后续的分析和应用提供有力支持。
总结。
在本文中，我们通过一个实际案例介绍了主成分分析法的基本原理和应用。
主成分分析是一种常用的多变量统计分析方法，它可以帮助我们发现数据中的主要特征和结构，从而简化数据集并减少信息丢失。
SPSS主成分分析1
主成分分析
例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观 测值是6维空间中的一个点。我们希望把6维空 间用低维空间表示。 先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横 坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相 应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数 据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维 正态的假定下是可能的） 那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴 方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴 如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够 解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的 降维就自然完成了。
主成分分析
正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三 个主轴一样，有几个变量，就有几个主成 分。 选择越少的主成分，降维就越好。什么是 标准呢？那就是这些被选的主成分所代表 的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大 部分。有些文献建议，所选的主轴总长度 占所有主轴长度之和的大约85%即可， 其实，这只是一个大体的说法；具体选几 个，要看实际情况而定。
主成分分析实例－不旋转
默认为主成分分析法:Principal 使用默认值进行最简单的主成分分析(默认为主成分分析法 默认为主成分分析法 components) 对美国洛杉矶12个人口调查区的 个经济学变量的数据进行因子分析， 个人口调查区的5个经济学变量的数据进行因子分析 对美国洛杉矶 个人口调查区的 个经济学变量的数据进行因子分析， 菜单：Analyze－Data Reduction－Factor Variables ：pop，School，employ，Services， house 其他使用默认值（主成分分析法Principal components，选取特征值>1， 不旋转)
• 这里的Initial Eigenvalues就是这里的六个 这里的 就是这里的六个 主轴长度， 又称特征值（ 主轴长度 ， 又称特征值 （ 数据相关阵的特 征值） 征值 ） 。 头两个成分特征值累积占了总方 差的81.142%。后面的特征值的贡献越来越 差的 。 少。
主成分分析案例
主成分分析案例主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的数据降维技术，通过将原始数据投影到新的特征空间中，从而得到一组线性无关的主成分，用较少的主成分来表示原始数据，减少数据的维度，同时保留数据的主要信息。
在实际应用中，主成分分析可以帮助我们发现数据中的内在结构，降低数据的复杂度，便于后续的数据分析和可视化。
下面我们以一个实际的案例来介绍主成分分析的应用。
假设我们有一份包含多个变量的数据集，我们希望通过主成分分析来发现数据中的主要特征，并进行数据的降维处理。
首先，我们需要对数据进行标准化处理，使得每个变量具有相同的尺度。
然后，我们可以利用主成分分析来计算数据的主成分。
主成分分析的结果会给出每个主成分的方差解释比例，我们可以根据这个比例来选择保留的主成分个数。
一般来说，我们会选择累计方差解释比例达到80%以上的主成分作为数据的代表。
接下来，我们可以利用选定的主成分对数据进行降维处理。
通过将数据投影到选定的主成分上，我们可以得到降维后的数据集。
这样做不仅可以减少数据的维度，还可以保留数据的主要信息，方便后续的数据分析和可视化。
举个例子，假设我们有一个包含身高、体重、年龄、收入等多个变量的数据集，我们希望通过主成分分析来发现数据中的主要特征，并进行数据的降维处理。
我们首先对数据进行标准化处理，然后利用主成分分析计算数据的主成分。
假设我们选择保留累计方差解释比例达到80%以上的主成分，得到了3个主成分。
接下来，我们将数据投影到这3个主成分上，得到了降维后的数据集。
这样，我们就可以用这3个主成分来代表原始数据，实现了数据的降维处理。
总之，主成分分析是一种非常实用的数据降维技术，通过发现数据中的主要特征并进行降维处理，可以帮助我们减少数据的维度，保留数据的主要信息，方便后续的数据分析和可视化。
希望通过本文的介绍，读者对主成分分析有了更深入的理解，能够在实际应用中灵活运用主成分分析来处理数据。
主成份分析和因子分析实例
主成份分析和因子分析实例主成分分析和因子分析是常用的降维技术，用于对数据进行降维和探索性因子分析。
在本文中，我将为您介绍两种方法，并提供一个数据集的实例来说明它们的应用。
一、主成分分析（PCA）主成分分析是一种广泛应用的数据降维技术，它可以将高维数据转换为低维数据，同时尽可能以保留最大方差的方式来解释数据。
主成分分析的目标是找到一个新的低维度空间，使得投影到该空间的数据具有最大的方差。
下面是一个用于说明主成分分析的实例：假设我们有一组包含5个变量的数据，分别是身高、体重、BMI指数、血压和血糖。
我们希望使用主成分分析将这些变量降维到2维并通过可视化来分析数据。
首先，我们需要对原始数据进行标准化，以消除变量之间的单位差异。
然后，我们计算协方差矩阵，并通过对协方差矩阵进行特征值分解来找到数据的主成分。
在这个例子中，我们得到了两个主成分，分别称为PC1和PC2、PC1是与身高、体重和BMI指数等相关的主成分，而PC2是与血压和血糖相关的主成分。
这两个主成分解释了数据总方差的大部分。
接下来，我们可以使用这两个主成分来可视化数据，并分析数据的聚集和分布情况。
例如，我们可以使用散点图可视化数据的主成分得分，并根据不同类别对数据进行颜色编码，以便观察数据的聚集情况。
通过主成分分析，我们可以将原始高维数据转换为低维数据，并通过可视化来分析数据的分布和聚集情况，进而进行更深入的研究和分析。
二、因子分析（FA）因子分析是一种用于探索性数据分析的统计技术，其目的是揭示变量之间的潜在因子结构。
因子分析假设观测数据由一组潜在因子引起，并尝试将这些因子解释为一组不可观测的变量。
下面是一个用于说明因子分析的实例：假设我们有一组包含10个观测变量的数据，我们希望了解这些变量之间的潜在因子结构。
我们可以使用因子分析来识别可能存在的潜在因子，并了解它们对观测变量的影响。
在进行因子分析之前，我们首先需要检验数据的合适性。
我们可以使用Kaiser-Meyer-Olkin (KMO)测度和巴特利特球形检验来评估数据的适合度。
主成分分析实例和含义讲解
a. Rotation converged in 3 iterations.
22
• 这x文6来个）表表，示说hism明toa六rtyh（个（历变数史量学）和），因，e子pnhg的ylis关s（h（系物英。理语为））简，等单ch变记em量，（。我化这们学样用）因x1，,子xli2ft,1e和xr3a,ft2x（与4,语这x5, 些原变量之间的关系是（注意，和主成分分析不同，这里把成分（因 子）写在方程的右边，把原变量写在左边；但相应的系数还是主成分 和各个变量的线性相关系数，也称为因子载荷）：
• 那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在 极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些 点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。
6
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
7
椭球的长短轴
• 当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主 要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。
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主成分分析的数学
• 要寻找方差最大的方向。即使得向量X的线性组合a’X的方差
最大的方向a. • 而Var(a’X)=a’Cov(X)a;由于Cov(X)未知；于是用X的样本相
关阵R来近似.因此，要寻找向量a使得a’Ra最大(注意相关阵 和协方差阵差一个常数 • 记得相关阵和特征值问题吗?回顾一下吧! • 选择几个主成分呢?要看“贡献率.”
16
•可以把第一和第二主成分的载荷点出一个二维图以直 观地显示它们如何解释原来的变量的。这个图叫做载荷 图。
17
Component Plot
1.0
cphheyms
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76.204 71.106 73.307 68.904 66.502 50.302 64.609 62.804 60.102 68.001 60.702 63.304 54.206 55.901 54.503 49.102
1540.29 926.35 1501.24 897.36 911.24 103.52 968.33 957.14 824.37 1255.42 1251.03 1246.47 814.21 1124.05 805.67 1313.11
…… zm是与z1，z2，……，zm－1都不相关的x1，x2，…xP， 的所有 线性组合中方差最大者。 则新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…， xP的第一，第二，…，第m主成分。
从以上的分析可以看出，主成分分析的
实质就是确定原来变量xj（j=1，2 ，…， p） 在诸主成分zi（i=1，2，…，m）上的载荷 lij （ i=1，2，…，m； j=1，2 ，…，p）。
(％)
26.262
24.301 1752.35 452.26 32.314 14.464 1.455 27.066
65.601 1181.54 270.12 18.266 0.162 7.474 12.489
33.205 1436.12 354.26 17.486 11.805 1.892 17.534
xnp
（1）
❖降维处理！！！
当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。 降维是用较少的几个综合指标代替原来较多 的变量指标，而且使这些较少的综合指标既 能尽量多地反映原来较多变量指标所反映的 信息，同时它们之间又是彼此独立的。
定义：记x1，x2，…，xP为原变量指标，z1， z2，…，zm（m≤p）为新变量指标
分析：
①第一主成分z1与x1，x5，x6，x7，x9呈显出 较强的正相关，与x3呈显出较强的负相关， 而这几个变量则综合反映了生态经济结构
状况，因此可以认为第一主成分z1是生态 经济结构的代表。
②第二主成分z2与x2，x4，x5呈显出较强的 正相关，与x1呈显出较强的负相关，其中， 除了x1为人口总数外，x2，x4，x5都反映了 人均占有资源量的情况，因此可以认为第
lnp
x
p
（6）
三、 主成分分析方法应用实例
表1 某农业生态经济系统各区域单元的有关数据
样本 序号
1
x1：人 口密度
(人 /km2)
363.91
x 2：人 均耕地 面积
(ha)
0.352
2 141.5 1.684
3 100.7 1.067
4 143.74 1.336
5 131.41 1.623
216.39 291.52 225.25 196.37 226.51 217.09 181.38 194.04 188.09 211.55 220.91 242.16 193.46 228.44 175.23 236.29
8.128 8.135 18.352 16.861 18.279 19.793 4.005 9.11 19.409 11.102 4.383 10.706 11.419 9.521 18.106 26.724
16.607 1405.09 586.59 40.683 14.401 0.303 22.932
6 68.337 2.032 7 95.416 0.801 8 62.901 1.652 9 86.624 0.841 10 91.394 0.812 11 76.912 0.858 12 51.274 1.041 13 68.831 0.836 14 77.301 0.623 15 76.948 1.022 16 99.265 0.654 17 118.505 0.661 18 141.473 0.737 19 137.761 0.598 20 117.612 1.245 21 122.781 0.731
k 1
(i 1,2, , p)
一般取累计贡献率达85—95%的特征值 1, 2 , , m 所对应的第一、第二、…、第m（m≤p）个主成分。
④各主成分的得分
l11 l12 l1p x1
Z l21
l22
l2
p
x2
.
ln1 ln2
x 3：森 林覆盖 率(%)
16.101
x 4：农 民人均 纯收入 (元/人)
192.11
x 5：人 均粮食 产量 (kg/
人)
295.34
x 6：经济 作物占农 作物播面 比例(％)
26.724
x 7：耕地 占土地面 积比率
(％)
18.492
x 8：果 园与林 地面积 之比
2.231
x 9：灌溉 田占耕地 面积之比
二主成分z2代表了人均资源量。
③第三主成分z3，与x8呈显出的正相关程度 最高，其次是x6，而与x7呈负相关，因此可 以认为第三主成分在一定程度上代表了农业 经济结构。
显然，用三个主成分z1、z2、z3代替原来9个变量（x1， x2，…，x9），描述农业生态经济系统，可以使问题更进
一步简化、明了。
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x1
1 -0.327 -0.714 -0.336 0.309 0.408 0.79 0.156 0.744
x2 -0.33 1 -0.035 0.644 0.42 0.255 0.009 -0.078 0.094
x3 -0.71 -0.035 1 0.07 -0.74 -0.755 -0.93 -0.109 -0.924
1
（2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各 个主成分的贡献率与累计贡献率（见表3）。 由表3可知，第一，第二，第三主成分的累 计贡献率已高达86.596%（大于85%），故 只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2， z3即可。
主成分 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9
表3 特征值及主成分贡献率
x4
0.0042
0.868
0.0037
75.346
x5
0.813
0.444
-0.0011
85.811
x6
0.819
0.179
0.125
71.843
x7
0.933
-0.133
-0.251
95.118
x8
0.197
-0.1
0.97
98.971
x9
0.964
-0.0025
0.0092
92.939
上述计算过程，可以借助于SPSS软件系统实现。
从数学上可以证明，载荷lij分别是相关 矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。
二、计算步骤
（一）计算相关系数矩阵
r11 r12 r1p
R
r21
r22
r2
p
rp1 rp2
rpp
（3）
rij（i，j=1，2，…，p）为原变量xi与xj的相关系数， rij=rji， 其计算公式为：
x4 -0.34 0.644 0.07 1 0.383 0.069 -0.05 -0.031 0.073
x5 0.309 0.42 -0.74 0.383 1
0.734 0.672 0.098 0.747
x6 0.408 0.255 -0.755 0.069 0.734
1 0.658 0.222 0.707
②
分别求出对应于特征值
的特征向量
i
li (i 1,2, , p) ，要求 li =1，即
，
p
其中表li2j示向1 量 的lij第j个分量。li
j 1
③ 计算主成分贡献率及累计贡献率
▲贡献率:
i
p
k
k 1
(i 1,2, , p)
▲累计贡献率:
i
k
k 1
p
k
rij
n
(xki xi )(xkj x j )
k 1
n
n
(xki xi )2 (xkj x j )2
k 1
k 1
（4）
（二）计算特征值与特征向量：
① 解特征方程 I R 0 ，求出特征值，并 使其按大小顺序排列 ；
1 2 , p 0
z1 l11 x1 l12 x2 l1p x p
z
2
l21 x1 l22 x2
l2p xp
(2)
zm lm1 x1 lm2 x2 lmp x p
❖ 系数lij的确定原则：
① zi与zj（ i≠j；i，j=1，2，…，m ）相互无关； ② z1是x1，x2，…，xP的一切线性组合中方差最大者，z2是与 z1不相关的x1，x2，…，xP的所有线性组合中方差最大者；
4.861 4.862 3.201 6.167 4.477 6.165 5.402 5.79 8.413 3.425 5.593 8.701 12.945 12.654 8.461 10.078
步骤如下：
（1）将表1中的数据作标准差标准化处理，
然后将它们代入公式（4）计算相关系数矩阵
（见表2）。
表2 相关系数矩阵
主成分分析（PCA） 具体例子
➢ PCA的基本原理 ➢ PCA的计算步骤 ➢ PCA应用实例
秦楠
一、主成分分析的基本原理
❖ 假定有n个样本，每个样本共有p个变量， 构成一个n×p阶的数据矩阵