七年级上有理数复习专题讲义

有理数及其运算复习专题

知识回顾：

一、有理数

1、概念：整数和分数统称为有理数。

2、有理数的分类：

（1）按定义分：正整数

整数0

有理数负整数

正分数

分数

负分数

（2）按性质分：

正整数

正有理数正分数

有理数0

负有理数负整数

负分数

小结：“非负数”包括正有理数和0，“非正数”包括负有理数和0。0不属于正有理数也不属于负有理数。

二、数轴

1、概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴。（数轴“三要素”）

2、数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，0用原点表示，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示。

小结：数轴上，右边的数比左边的数大。

三、相反数

1、概念：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。

2、几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，并且与原点的距离相等。

字母表示：如果a、b互为相反数，那么a+b=0。

四、绝对值

1、概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

2、绝对值的求法：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。用字母表示： a （a>0）

|a| = 0 (a=0）

-a （a<0）

小结：绝对值具有非负性；0的绝对值是0。

五、有理数的运算法则

1、（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。

（2）加法运算律：①交换律：a + b = b + a；②结合律：（a + b）+ c = a + (b + c)。

2、（1）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（2）字母表示：a - b = a +(-b)。

3、（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘仍

得0。

（2）乘法法则的推广：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负

因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

（3）倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；字母表示：a ·b = 1。0没有倒数。

（4）乘法运算律：①交换律：a ·b = b ·a ；②结合律：（a ·b ）·c = a ·（b ·c ）；③分配

率：a （b+c ）= ab + ac 。

4、（1）除法法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不等

于0的数都是0，0不能做除数。

（2）除法法则二：除以一个数等于乘以这个数的倒数；字母表示：a ÷b = a ×b

1。 小结：加法、乘法有运算律，减法、除法没有运算律，只有运算性质。

5、（1）乘方：一般地，求n 个相同因数a 的乘积的运算就叫做乘方，即a ×a ×…×a = a n ，

其中乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数。

（2）乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数 n 个

的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

小结：底数不为0的数，零次幂都等于1，用字母表示：a 0 = 1（a ≠0）；指数为1的幂等于

它的底数，用字母表示：a 1 = a ；指数为-1的幂等于它的底数的倒数，用字母表示：a -1 = a

1

（a ≠0）。 思考：0a =0，则a 的取值范围为 a>0.

六、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号就先算括号里

面的，同一级运算从左到右依次进行。

七、科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，这种记

数方法叫做科学记数法。

考点攻略：

考点一：用正数和负数表示具有相反意义的量

方法技巧：用正数和负数表示具有相反意义的量，关键是看规定哪种意义的量为正，则

与之相反意义的量为负。

考点二：有理数及其分类

方法技巧：理清楚有理数的两种分类方法，分类时必须按照同一标准进行，不能混淆；

0属于有理数，但它既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点。

考点三：相反数和绝对值

易错点：0的绝对值是0,0的相反数是0。相反数是一对符号相反，绝对值相同的数。

绝对值相同的数可能是一对相反数，也可能相等。

方法技巧：要求一个数的绝对值，应先判断这个数是正数、负数还是0，再根据绝对值

的定义确定去掉绝对值符号后的结果。判断一对数是不是相反数，看它们的和是否等于0。

考点四：有理数的大小比较

方法技巧：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；利用数轴来比较，数轴上右边的

数比左边的大；对于负数的大小比较，可以利用它们的绝对值来比较，绝对值大的负数反而

小。

考点五：数轴与有理数运算

方法技巧：从数轴上不但可以看出字母的符号，还可以看出相关字母的绝对值之间的大

小关系。

考点六：有理数的混合运算

易错点：（1）-22与（-2）2不同，-22的底数是2，（-2）2的底数是-2。

（2）在计算12÷（21- 31 - 4

1）时，要先计算括号内的，除法没有运算律。 （3）有理数的混合运算一定要按照顺序进行，同时要注意每一步运算的符号。

考点七：有理数运算的应用

方法技巧：在实际问题中，如果所求结果与方向无关，而至于距离有关时，通常通过计

算数的绝对值解决问题。

考点八：科学记数法

方法技巧：用科学记数法a ×10n 表示大数时，要注意两点：(1)a 的整数部分只有

一位，它大于或等于1但是小于10；(2)n 是正整数，它的值等于原数的整数位数减1.

课堂练习：

一、选择题：

1．计算(－1)2＋(－1)3＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．2

2．计算－(－1)2012的结果是( )

A ．1

B ．－1

C ．2012

D ．－2012

2．若(a －2)2＋|b ＋3|＝0，则(a ＋b)1024的值是( )

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．1024

3．若|x －3|＋|y ＋2|＝0，则|x|＋|y|等于( )

A ．5

B ．1

C ．2

D ．0

4. 有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a ＋b a 2b

的值是( ) A. 正数 B. 0

C. 负数

D. 无法判断

5. 有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则|a －1|－|b －a |的值是（ ）.

A. a - b

B. 0

C. 1 - b

D. b - 1

二、填空题：

1．若|2x －6|＋|3＋y|＝0，则x y

＝__-1___. 2．中央电视台每一期的“开心辞典”栏目，都有一个“二十四点”的趣味题，即用“数字

牌”做24点游戏，抽出的四张牌分别表示2、－3、－4、6(每张牌只能用一次，可以用加、

减、乘、除运算)．请写出一个算式，使结果为24：__________________________________.

3．观察以下各式：

1＝12，

1＋3＝22，

1＋3＋5＝32，

1＋3＋5＋7＝42，

…

(1)运用上述规律求1＋3＋5＋…＋2013的值： 10072