层次分析论文

层次分析法在购买品牌洗发水中的应用

摘要：

本文针对某人选择哪种品牌洗发水问题进行建立层次分析模型。

首先通过实地了解某人有关意向数据，并对其进行处理，总结四大影响因素：外观、价格、功效和品牌口碑及各因素对比比较矩阵A，和不同品牌的洗发水：海飞丝、潘婷、沙宣及各品牌洗发水的成对比较矩阵4,3,2,1

。

B

j

,

j

其次，建立目标层，准则层，方案层的层次结构模型图。进而以准则层对目标层权重比值及一致性指标进行检验，此过程利用MATLAB软件对数据进行求解，得出矩阵的最大特政值及特征向量，从而利用相关Saaty定理验证得出准则层对方案层一致性指标验证性通过。

同理，再次验证方案层对准则层权重比值及一致性指标进行检验，得出各准则中每个方案相互比较矩阵的特征向量。

最后可以得出结论，此人选择海飞丝这款洗发水更合适。

关键词：层次分析法；一致性检验

一、 问题重述

1.问题的提出

某人想要选择一个适合自己的某品牌洗发水，她考虑的因素有洗发水的外观、价格、功效及品牌口碑等。比较中意的洗发水品牌有海飞丝、潘婷、沙宣。但不知道选择哪个品牌洗发水，为此，我们通过数学建模给出一个建议。

二、

符号说明

i M 判断矩阵每一行因素的乘积 i W i M 的m 次方根

W

每个指标相对于其上一级指标的权重(对i W 进行归一化处理的数据) max

判断矩阵的最大特征值根 CI 一致性指标 RI 随机一致性指标

CR 判断矩阵的一致性比率 m E 方案m

m E G

方案m 所对应的风险大小分数

三、 模型假设

模型的假设：

（1）假设短期内这三种品牌的洗发水价格不会有太大变动。 （2）假设短期内不会有促销活动，外观不会有什么改变。 （3）该人不会改变所选的三种品牌的洗发水。 （4）不会出现所有非人为的意外情况。

四、 模型的建立与分析

4.1 建立层次结构模型

目标层：

准则层：

方案层：

选择一款洗发水

外 观

价格

功效

口碑

海飞丝

潘婷 沙宣

图一：层次结构图

4.2构造判断矩阵

判断矩阵是层次分析法的核心，是定性过渡到定量的重要环节。它是以上一个某因素为准则，对下一层诸因素有支配关系。当比较两个可能具有不同性质的因素对于上层因素的影响是，一般采用Saatty 等人提出用1-9尺度，具体如下表：

表一：1-9尺度的含义

尺度 含义 1 两个要素比较，具有相同重要性 3 两个要素比较，前者比后者稍微重要 5 两个要素比较，前者比后者明显重要 7 两个要素比较，前者比后者强烈重要 9 两个要素比较，前者比后者极端重要 2,4,6,8 上述相邻判断的中间值 1,1/2,...,1/9 两个要素相比，后者比前者的重要性

标度

则判断矩阵为

表二：判断矩阵

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=mm m m m m a a a a a a a a a A 2

1

2222111211......

判断矩阵的性质是：

(1)0>ij a

(2)1=ii a (3)ij

ji a a 1

=

4.3 确定指标标值和确定指标权重

根据判断矩阵提供的信息，可用一般线性代数的方法求解得到任意精度的最

大特征根和特征向量，特征向量就代表了该层次各因素对上一层次某因素影响大小的权重，但在实际应用层次分析法求得某层次中各因素的权重，从本质上讲就是表述某种特定性的概念，所以，采用更为简单的近似求解法，如方根法、和法。它们的精度完全可以满足实际应用的要求。

（1） 计算判断矩阵每一行因素的乘积

∏==m

i ij

i a M 1 m ,2,1⋯=i 式4.1

（2） 计算i M 的m 次方根，即为分量

m m

i ij m

i i a M W ∏===1 式4.2

（3） 对向量Wi 作归一化处理，并得权重，即

∑==

m

i i

i

W

W W 1

式4.3

则T

n W W W W ],,[21⋯=即是所求得的特征向量（权重）。

（4）计算矩阵A 的最大特征值根

∑

∑===m

i m

i ij m W

W

a 1

1

max λ 式4.4

4.4 进行一致性检验

尽管判断矩阵是查阅而得，但同样是人为赋予的，所以免不了出现判断上的

不一致。因此，还需要进行一致性检验，即评价判断矩阵的可靠性。

（1）计算一致性指标CI

1

m a x --=n n

CI λ 式4.5

m a x

λ为判断矩阵的最大特征根，n 为判断矩阵的阶数。 CI 越小，说明一致性越大，一般，只要1.0≤CI ，就可以判断矩阵是满意的。

（2）考虑到一致性偏离有随机原因，因而检验判断矩阵是否满足一致性时，还需将CI 值与平均随机一致性指标RI 相比较，得出检验系数，其公式为

RI

CI

CR = 式4.6 CR 为判断矩阵的一致性比率，当CR 越小，说明对各指标权值的可靠性越高。当0=CR 时，可认为判断具有完全一致性；当1.0

表三 随机一致性指标[2]

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

RI 0

0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 一般而言，CR 越小，判断矩阵的一致性越好，通常任务1.0