指数与指数函数

幂、指数式与指数函数

1、幂的有关概念

（1）正整数指数幂： a n =

n

a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n ∈N +) （2）零指数幂：a 0 = 1 (a ≠0) （3）负整数指数幂：a -n = 1n

a

(a ≠0, p ∈N +

) （4）正分数指数幂：a n

m = n

m a (a>0, m,n ∈N +,且n>1)

（5）负分数指数幂：a

n

m

-＝

n

m a

1 (a>0, m,n ∈N +,且n>1)

（6）运算法则：(0,,)r s r s

a a a

a r s Q +=>∈；

()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈

2、根式

（1）根式的定义：一般地，如果有x n = a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数。n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 （2）根式的性质：

①a a n

n =)(

②当n 为奇数时，有n

n

a ＝a ； 当n 为偶数时，有n

n

a ＝| a | = ⎩

⎨⎧<-≥)0()

0(a a a a

③负数没有偶次方根；

④零的任何次方根都是零。

例1计算下列各式（式中字母都是正数）：

⑴ )3()6)(2(6

56

13

12

12

13

2b a b a b a -÷-； ⑵ 8

834

1)(-n m .

例2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

(1)43a a ⋅ （２）a a a （３）32

)(b a -

例3 已知x+x -1

=3,求下列各式的值：

.)2(,)1(2

32

3212

1-

-

++x x x x

112

2

211112

2

22

2

21

1

112

2

1

1122

(1)()

()2()

232530x x x x x x x x x x

x x x x x

-

------+=+⋅+=++=+=∴+=+=>+=又由得所以 332

2

113

3221111112

2

2

222

2

211122

(2))()

()[()()]()[()1]1)x x

x x x x

x x x x x x x x -

-----

-++=+-•+=++-=-=＝（

3、指数函数：

（1）定义：形如)10(≠>=a a a y x

且的函数叫指数函数 （2

例4求下列函数的定义域、值域：

⑴1

14

.0-=x y ⑵1

53

-=x y ⑶2+=x

y

解（1）由x-1≠0得x ≠1 所以，所求函数定义域为{x|x ≠1}

由 ，得y ≠1 所以，所求函数值域为{y|y>0且y ≠1}

（2）由5x-1≥0得5≥

x 所以，所求函数定义域为{x|5

1

≥x } 由 15-x ≥0得y ≥1 所以，所求函数值域为{y|y ≥1}

（3）所求函数定义域为R 由x 2>0可得x

2+1>1 所以，所求函数值域为{y|y>1}

01

1

≠-x

例5求函数x

x y 2221-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=的单调区间，并证明

例6解下列不等式 （1）2

5

1x +> （2）31

2

1122x x +-⎛⎫

⎛⎫≤ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

例7 比较下列各题中两个值的大小： （1） 2.5

3

1.7,1.7 （2）0.1

0.20.8,0.8-- （3）0.3 3.11.7,0.9

1、幂函数：

（1）定义：形如y x α

=的函数叫幂函数，其中x 是自变量，a 是常数。 （2）图像：

（3）幂函数性质归纳．

①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

②0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例8比较下列各题中两个值的大小： （1）112

2

1.1,0.9 （2）112

2

1.1,0.9-- （3）3

34

4

13,2-

⎛⎫

⎪⎝⎭

练习

1、 当1a >时，证明函数1

1

x x a y a +=- 是奇函数

2、求下列函数的定义域、值域：

（1）121

8x y -= （2）y =

3、求函数22363x x y -+=的单调区间．

4、比较大小 232555

322,,555⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭