人教版初中数学八年级下册19.2.2.2

得k= 3 .
2
当k<0时,A' k6 ,
6

,此时S△A'OB= 12 OB·BA'= 12 ×

6 k

×6=12,解得k=- 3 .
2
综上,k=± 3 .
2
错解
由题意知A k6 ,
6

,B(0,6),AB⊥y轴,∴S△AOB= 12 ×6× k6 =12,解得k= 32 .
知识 详解
(1)如果两个变量的比值是一个常数,那么这两个变量之间的关系就是正比例函数关系. (2)正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)必须满足两个条件:①比例系数k≠0;②自变量x的次数 是1
19.2.1 正比例函数
例1 下列函数中,是正比例函数的是 ( )
①y=kx;②y=- 1 x;③y= 1 ;④y=-x2;⑤y=-1+x.
栏目索引
知识点三 正比例函数的解析式
步骤
①设出含有未知系数的函数解析式y=kx(k≠0);②把已知条件(自变量与函数的对应 值)代入解析式,得到关于未知系数k的方程;③解方程,求出未知系数k;④将求得的 未知系数k的值代入所设的解析式
方法 点拨
由于正比例函数只有一个未知系数k,所以只需知道图象上的一个点(非原点)的坐 标就可以求出正比例函数的解析式
19.2.1 正比例函数
知识点二 正比例函数的图象与性质
k>0
图象
栏目索引
k<0
图象形状 经过的象限 增减性
过原点,从左向右是上升的直线(/) 第一、三象限 y随x的增大而增大
过原点,从左向右是下降的直线(\) 第二、四象限 y随x的增大而减小
19.2.1 正比例函数
栏目索引
例2 在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比
19.2.1 正比例函数
栏目索引
题型一 根据正比例函数的定义求参数的值 例1 若函数y=(2-m) xm23 是关于x的正比例函数,则常数m的值等于 ( ) A.±2 B.-2 C.± 3 D.- 3 解析 根据题意得m2-3=1且2-m≠0,解得m=±2且m≠2,所以m=-2.故选B. 答案 B
19.2.1 正比例函数
栏目索引
例4 正比例函数y=kx的图象经过点A(1,3). (1)求这个函数的解析式; (2)请判断点B(2,6)是否在这个正比例函数的图象上,并说明理由. 分析 (1)把A(1,3)代入y=kx得到方程,求出方程的解即可;(2)把x=2代入y =3x(由(1)得出的)看解出的y是否为6即可. 解析 (1)把A(1,3)代入y=kx得k=3,∴y=3x. (2)点B(2,6)在这个正比例函数的图象上. 理由:把x=2代入y=3x得y=3×2=6, ∴点B(2,6)在这个正比例函数的图象上.
19.2.1 正比例函数
栏目索引
题型二 根据正比例函数的图象和性质比较比例系数的大小 例2 如图19-2-1-2所示,在同一直角坐标系中,一次函数y=k1x、y=k2x、y
=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4,则下列关系中正确的是 ( )
A.k1<k2<k3<k4 C.k1<k2<k4<k3
19.2.1 正比例函数
栏目索引
例3 已知正比例函数y=(m+1)x,且y随x的增大而减小,则m的取值范围 是 ( ) A.m<-1 B.m>-1 C.m≥-1 D.m≤-1 解析 ∵正比例函数y=(m+1)x中,y随x的增大而减小,∴m+1<0,解得m<1.故选A.
答案 A
19.2.1 正比例函数
3
x
A.①③ B.②
C.①③⑤ D.①②④
栏目索引
解析 根据正比例函数的定义进行判断.①y=kx,未标明k为常数且k≠0;
③y= 1 不能化为y=kx(k≠0)的形式;④y=-x2不能化为y=kx(k≠0)的形式;
x
⑤y=-1+x,即y=x-1,也不能化为y=kx(k≠0)的形式.只有②是正比例函数. 故选B. 答案 B 解题归纳 (1)判断一个函数是不是正比例函数,就是判断该函数能否 化成y=kx(k≠0)的形式;(2)若一个函数是正比例函数,则必有k为常数,k ≠0且x的次数为1,关于自变量x的代数式必为单项式.
栏目索引
图19-2-1-1
比较两个函数图象可以看出:两个图象都是经过原点的直线.函数y= 1 x
2
的图象从左向右呈上升趋势,依次经过第三、第一象限,即y随x的增大
19.2.1 正比例函数
栏目索引
而增大;函数y=- 1 x的图象从左向右呈下降趋势,依次经过第二、第四象
2
限,即y随x的增大而减小. 方法归纳 画正比例函数y=kx(k≠0)的图象可以只取点(0,0)和点(1,k)作 直线即可,这种方法叫做两点法.直线y=kx(k≠0)上y随x的变化规律由k 的符号决定,k>0(k<0),则y随x的增大而增大(减小).
(3)当x取何值时,y= 2 ?
3
栏目索引
19.2.1 正比例函数
解析 (1)设正比例函数的关系式为y=kx(k≠0),
∵图象经过点(-3,6),
∴-3k=6,解得k=-2,
所以,此函数的关系式是y=-2x.
(2)把x=-6代入函数关系式可得y=-2×(-6)=12.
(3)把y= 2 代入函数关系式可得 2 =-2x,
19.2.1 正比例函数
栏目索引
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.(1)在同一直角坐标系内画出正比例函数y=-2x与y=0.5x的图象;
(2)用量角器量一下这两条直线的夹角,你会发现什么?写出你的猜想.
解析 (1)如图.
(2)两条直线的夹角为90度. 猜想:当两个正比例函数中自变量的系数之积为-1时,它们的图象的夹 角为90度,即两直线互相垂直.
19.2.1 正比例函数
易错点二 运用正比例函数图象求解时,考虑不全面导致漏解
栏目索引
例2 在直角坐标系中,直线y=6与y=kx相交于点A,直线y=6与y轴交于点
B,若△AOB的面积为12,求k的值.
正解
根据题意画图(图略),当k>0时,A k6 ,
6

,此时S△AOB= 12 × k6 ×6=12,解
较:(1)y= 1 x;(2)y=- 1 x.
2
2
分析 先确定函数自变量的取值范围,然后依次列表、描点、连线,即 可得到函数图象,再进行比较.
解析 列表:
x
…
-4
-2
0
2
4
…
y= 1 x 2
…
-2
-1
0
1
2
…
y=-1 x
…
2
1
0
-1
-2
…
2
19.2.1 正比例函数
描点、连线,如图19-2-1-1所示:
19.2.1 正比例函数
栏目索引
解析 (1)因为y1随x增大1个单位而增加6个单位,所以y1=6x,因为y2随x增 大1个单位而减少2个单位,所以y2=-2x,又y=2y1+3y2,所以y=2×6x+3×(-2x), 即y=6x. 因此当x=-2时,函数值y=-12. (2)若函数值y=12,则6x=12,解得x=2.
19.2.1 正比例函数
栏目索引
初中数学（人教版）
八年级 下册
第十九章 一次函数
19.2.1 正比例函数
栏目索引
知识点一 正比例函数的定义
定义
举例
正比例 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做 函数 正比例函数,其中k叫做比例系数
如y=-3x,y= 12 x均为正比例函数,比例系数 分别为-3, 12
错解警示 解题时没有给出函数图象,直线有可能从左往右上升,也有
可能下降,即k的值有正、负两种情况,解题时忽略掉任何一种情况都是
错误的,根据题目给出的条件画出图象,分类讨论求解.
19.2.1 正比例函数
栏目索引
知识点一 正比例函数的定义 1.(2017天津期末)下列变量之间的关系中,一个变量是另一个变量的正 比例函数的是 ( ) A.正方形的面积S随着边长x的变化而变化 B.正方形的周长C随着边长x的变化而变化 C.水箱有水10 L,以0.5 L/min的速度往外放水,水箱中的剩余水量V(L)随 着放水时间t(min)的变化而变化 D.面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化
栏目索引
4.如图19-2-1-1,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax;②y =bx;③y=cx,则a、b、c的大小关系是 ( )
A.a>b>c
B.c>b>a
图19-2-1-1 C.b>a>c D.b>c>a
答案 C 首先根据图象经过的象限可知a>0,b>0,c<0,再根据直线越 陡,|k|越大,得b>a>c.故选C.
图19-2-1-2 B.k2<k1<k4<k3 D.k2<k1<k3<k4
19.2.1 正比例函数
栏目索引
解析 根据直线经过的象限,知k2<0,k1<0,k4>0,k3>0,再根据直线越陡,|k| 越大,知|k2|>|k1|,|k4|<|k3|,则k2<k1<k4<k3.
答案 B 点拨 解决此类问题首先根据直线经过的象限判断k的正负,再进一步 根据直线的变化趋势判断k的绝对值的大小,直线越平缓,k的绝对值越 小,直线越陡,k的绝对值越大,最后判断比例系数的大小.
3
3
解得x=- 1 .
3
栏目索引
19.2.1 正比例函数
栏目索引
1.已知y=(k+3)x+9-k2是正比例函数,则k=
,该函数的关系式是
.
答案 3;y=6x
解析 由题意得9-k2=0且k+3≠0,解得k=3,所以此函数关系式为y=6x.
2.已知关于x的函数y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则k=
答案 B 列出关系式,四个选项分别是S=x2,C=4x,V=10-0.5t,a= 40,只有
h
C=4x符合正比例函数的定义,故选B.
19.2.1 正比例函数
栏目索引
2.(2016陕西西安音乐学院附中期末)若y=(m-1) x2m2 是正比例函数,则m 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D. 2 或- 2 答案 B 由题意得2-m2=1且m-1≠0, 解得m=±1且m≠1,∴m=-1.
C. 1 D.- 1
4
4
答案 B 当x变为x+1时,函数值变为y-4,所以y-4=k(x+1),即y-4=kx+k,所
以kx-4=kx+k,所以k=-4.故选B.
19.2.1 正比例函数
栏目索引
2.已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),当-3≤x≤1时,对应的y的取值范
19.2.1 正比例函数
栏目索引
题型三 利用正比例函数性质求解析式 例3 已知正比例函数y1=k1x,当x每增大1个单位时,y1增加6个单位;y2=k 2x,当x每增大1个单位时,y2减少2个单位,且y=2y1+3y2. (1)确定y与x的函数解析式,并计算当x=-2时的函数值; (2)当函数值y是12时,求自变量x的对应值. 分析 如果正比例函数值着自变量增大1个单位时,函数值的增加量是 某个数值,那么比例系数的值就是这个增量;反之如果函数随着自变量 增大1个单位时,函数值的减少量是某个数值,那么比例系数就是这个减 少量的相反数.
19.2.1 正比例函数
栏目索引
知识点二 正比例函数的图象与性质 3.对于正比例函数y=(1-k)x,若y随x的增大而减小,则k的值可以是 ( ) A.-1 B.3 C.0 D.-3 答案 B ∵y随x的增大而减小,∴1-k<0,∴k>1. 选项中各数符合条件的数只有3.故选B.
19.2.1 正比例函数
19.2.1 正比例函数
栏目索引
易错点一 对定义理解不透彻,在求字母取值时出错
例1 当m=
时,函数y= xm23 -6m-12是正比例函数.
正解 -2
错解 ±2 错解辨析 ∵y= xm23 -6m-12是正比例函数, ∴m2-3=1,解得m=±2. 很多同学解题到此为止,而忽略条件-6m-12=0.若一个函数是正比例函 数,则它的表示形式一定要符合y=kx(k是常数,k≠0)的形式.
,
若y随x的增大而减小,则k的取值范围是
.
答案 1 ;k<0
2
解析 ∵函数的图象经过原点,
∴4k-2=0,∴k= 1 .
2
当k<0时,y随x的增大而减小.
19.2.1 正比例函数
栏目索引
1.若在正比例函数y=kx(k≠0)中,自变量x的取值每增加1,函数值相应地
减小4,则k的值为 ( )
A.4 B.-4
19.2.1 正比例函数
栏目索引
知识点三 正比例函数的解析式
6.三角形的一边长为6,该边上的高为x,则三角形的面积S与x之间的函数
关系式为
.
答案 S=3x
解析 由三角形的面积公式可得S= 1 ×6x,即S=3x.
2
19.2.1 正比例函数
7.已知y是x的正比例函数,且函数图象经过点(-3,6). (1)求y关于x的函数关系式; (2)当x=-6时,求对应的函数值y;