向量组线性相关与线性无关

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数

12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域

P 中没有不全为零的数12

,m k k k ，使

0332211=++++m m k k k k αααα ，

称它是线性无关.

3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法

由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.

命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.

关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.

命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α，

()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.

命题3 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关.

证明 设m ααα,,,21 线性相关，

s m m m ++ααααα,,,,,,121 是包含m ααα,,,21 的一组向量，由于m ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数12

,m k k k 使得

0332211=++++m m k k k k αααα 此时有

0001332211=+++++++++s m m m m k k k k αααααα ,

因此，s m m m ++ααααα,,,,,,121 线性相关.证毕.

由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例

的两向量，那么这个向量组必定线性相关.

命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.

3.2.1 运用定义判定

由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.

例1 设m m m ααβααβααβ+=+=+=--11322211,,, ，证明，当m 为偶数时，

123,,,m ββββ线性相关.

证明 令1122330ββββ+++

=m m k k k k ，即

()()()0

1322211=++++++a a k a a k a a k m m ，

又即

()()()0

121211=++++++-m m m m a k k a k k a k k ，

取

1

,142131-========-m m k k k k k k ，

则有

0332211=++++m m k k k k ββββ .

由线性相关的定义知，m βββ,,,21 线性相关.

3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断

向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.

命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.

例2 设向量组()()()1,4,1,2,4,5,2,4,1,3,1,2321--=-=-=ααα，判断321,,ααα的线性相关性.

解

()()

0,0,0,04,453,2,242321321321321332211=-+++---++=++k k k k k k k k k k k k k k k ααα得0321===k k k ，于是321,,ααα线性无关.

例3 设向量组m ααα,,,21 线性无关，且可由向量组m βββ,,,21 线性表示.证明：

m βββ,,,21 也线性无关，且与12,,,m ααα等价.

证明 如果m βββ,,,21 线性相关，假设r βββ,,,21 是它的一个极大无关组，如果

m r =,就说明了m βββ,,,21 就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下

面考虑m r <.又因为向量组m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示，则m ααα,,,21 也可由m βββ,,,21 线性表示,于是有r m ≤,矛盾！

由于m βββ,,,21 线性无关，则()m R m =βββ,,,21 ,又m ααα,,,21 可由

m βββ,,,21 线性表示,所以，

{}≅m βββ,,,21 {}m m βββααα,,,,,,,2121 等价，所以

()m R m m =βββααα,,,,,,,2121 .

于是m ααα,,,21 和m βββ,,,21 都是{

}m m βββααα,,,,,,,2121 的极大无关组.所以