上海财经大学2014 811专业课回忆(1)

2014年 811概率论与数理统计回忆版
1、 随机变量X 的密度函数为 11cos 0220X x x f x 其他
，对X 进行观测，Y 表示5次观测中观测值大于
3 的次数，求2
Y 的数学期望。

（15分）
2、 设离散型随机变量X 的概率分布律为：
21,1,0,1,2,k P X p P X k p p k ， 证明：
（1）样本函数 T X 是0的无偏统计量的充分必要条件是对于任意的k 和任意常数a ，有
E T k ak ；
（10分） （2） T X （这个统计量想不起来了） 是 21p 的无偏统计量，并且是最小方差无偏估计。

（15分）
3、设 n X 是一列独立同分布的随机变量序列， 12n P X n
，令1n n i i T X ， 证明：
（1）当0.5 时，..0n a s T ；（10分）
（2
.0,1d N 。

（10分）
4、甲中有1只红球，3只黑球；乙中有4只黑球。

每次从甲，乙中分别取出一只交换，问n 次交换后红球仍在甲中的概率。

（15分）
5、设随机变量X 服从1122U
,； 证明：
（1）X 为枢轴量；形如 ,x c x d 112
2c d 的置信水平为1 的置信区间的充分必要条件是置信区间的长度也为1 ；（10分）
（2）已知X 的累积分布函数是关于 的非增函数，由此构造一个枢轴量使其置信水平为1 。

（10分）
6、设 1122,,,,,,n n Y Z Y Z Y Z 是二元随机向量 ,Y Z 的样本，,Y Z 相互独立，且 Y Exp ， Z Exp ；
证明：
（1）求 和 的极大似然估计量；（10分）
（2）现在由于某些原因只能观测到数据 min ,i i i x y z ，10i i i i i
x y x y ，此时的 和
的极大似然估计量是什么？（20分）
（提示思路：求 ,i i x 得联合密度函数， 0,1,1lim h P x Y x h f x h
） 7、对于假设检验：0122::33H H >，给出拒绝与形式
n W X c ； （1）求势函数；（8分）
（2）若犯第一类错误的概率不超过0.05，如何确定c ；（6分）
（3）在第（2）问的基础上，若犯第二类错误的概率不超过0.02，问n 至少为多少；（6分）
（4）现在 20,0.48n n x ，对该检验做出判断。

（5分）。