投影的基本知识

Z
V
Z a′ (x,z)
Z
a′
aZ
aZ
Z
a〞(y,z)
A(X,Y,Z)
ax a
X
a″ W X ay Y aX a (x,y)
X
X
O
Y
O
Y
aY aY YH
YW
H
立体图
XA =|A →W|=aaY=a′aZ ； 投影与坐标的关系 YA =|A →V|=aax=a″az； ZA =|A →H|=a′aX=a″aY。
侧 垂 线
1、a''d''积聚成一点。 2、a'd'//OX，ad//OX， 并反映实长。
投影面垂直线的两面投影图:
a′
c′(d′)
e′
f′
b′
d a(b) e c f
铅垂线
正垂线
侧垂线
投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为一点（积聚性）；
（2）另外两面投影同时平行于同一投影轴，且反映实长 （显实性）。
一、点的三面投影
【例3—1】已知点B的两面投影，求第三面投影。 Z b′ Z
b〞
b′
bZ
b″
X b
O 45° YW
X
bX
O YW
b
YH 方法一： 利用45°辅助线
YH
方法二：
利用特性3：bbX＝b″bZ
二、点的投影与直角坐标的关系
把三面投影体系看成是直角坐标系，则点A的空间位置可由它到三个投影面的 距离，也就是它的三个坐标来确定。记为A(X,Y,Z)，三个投影的坐标分别为a(x,y)， a′(x,z)，a″(y,z)，坐标值单位为mm。如下图：
物体
光源（投影中心）
影子（投影）
光线（投影线）
S
投 影 法
二、投影的分类
中心投影法
投影
平行投影法
正投影法 斜投影法
1．中心投影法
中心投影法：投射线由一点（投射中心）发出，投射 物体，所得到的投影。 投影特性： 如改变物体 与投射中心或投影面之 间的距离，则其投影的 大小也随之改变。既远 小近大。 P
Y
它们的投影 有何特性？
立体上的投影面平行线
投影面平行线的投影： 水平线
a' b´ Z Z b" a" V a´ b´
X
b
O
YW
β
X Υ
b″ Υ O β b W a″
Υ a
β
YH
a H
水平线投影特性：
Y
（1）直线的水平投影反映直线的实长，且反映β、Υ角的实 形；
（2）直线的V投影（a´b´）平行OX轴，W投影（a″b ″） 平行OYW轴,均小于实长。
第二章 投影的基本知识
§2-1 投 影 法 §2-2 正投影的特性 §2-3 三面投影图的形成及特性 §2-4 §2-5 §2-6 点的投影 直线的投影 平面的投影
概
述
在工程中，用图样来表达人的思想是 必不可少的表现手段。各种工程使用的 图样大多数是采用正投影的画法。 本章将介绍投影法，特别是正投影
与三个投影面都倾斜的直线(简称一般线)。
c′
b′ a′
c″(d″)
C B A
c b a
D
b″
a″
d
X
Y
立体表面上何种位置直线？
侧平线
一般线
二、直线的投影特性 1. 投影面的平行线
V Z
c′
b′ c″
C B O ●正平线 W
a′
AB∥V 面
b″
●水平线
BC∥H 面
X
A
a″
●侧平线
AC∥W 面
c
H
a
b
● 铅垂线
AB⊥H 面
AC⊥V 面
●正垂线
B
AD⊥W 面
立体上的投影面垂直线
它们的投影有 何特性？
投影面垂直线的投影
立 体 图 三 视 图 投 影 图 投影特性
1、a'b'积聚成一点。
正 垂 线
2、ab//OY H， a''b''//OY W， 并反映实长。
铅 垂 线
1、ac 积聚成一点。 2、a'c'//OZ，a''c''//OZ， 并反映实长。
投影特性：（1）三面投影均倾斜于投影轴； （2）投影长度都小于实长； （3）倾角的投影都不反映实形。
三、直线上的点
投影特性：（1）点的投影必在直线的同面投影上（从属性）；
（2）点分直线所成的比例投影后保持不变（定比性）。
如下图：AC/CB=ac/cb=a'c'/c'b'=a"c"/c"b".
b′ c′ a′ C
Z V a′ aZ W Z aZ
a〞
a′
a〞
X
aX a H
O
aY aY
YW
X
aX a
O
aY
aY
YW
YH
YH
点的三面投影特性：
1.点的正面投影和水平投影连线必垂直于OX轴，即aa′⊥OX轴。 2.点的正面投影和侧面投影连线必垂直于 OZ轴，即a′a″⊥OZ轴。 3.点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到OZ轴的距离，即aa X ⊥a″a Z 。
应用这种投影理论绘出的图叫透视图。 优点：逼真。缺点：度量性差。
S
应用中心投影法绘制的建筑物模型（透视图）
2．平行投影法
平行投影法： 如果把中心投影法的投射中心移至无 穷远处，则各投射线 成为相互平行的直线， 这种投影法称为平行 投影法。
P
（1）当平行光线 （投影线）垂直于 投影面P时得到的 投影称为正投影。
正投影
应用这种投影理论绘出的图叫正投影图。 优点：度量性好。缺点：直观性差。
应用平行投影法绘制的建筑物实例（正投影图）
2．平行投影法
（2）当平行光线（投影线）倾斜投影面P时得到的投
影称为斜投影。
P
斜投影 应用这种投影理论绘出的图叫轴测图。 优点：直观性好。缺点：度量性差。
应用平行投 影法绘制的 建筑物模型 （轴测图）
请分析AB、 BC、CD这三段直 线的空间位置和投 影特点有何不同？
展开
投影图
YH
立体上的直线
直线的投影
一、直线的分类
投影面平行线 仅平行于一个投影面的直线。 特殊位置直线
( ∥H：水平线；∥V：正平线；∥W：侧平线)
直 线
一般位置直线
Z 侧垂线
d′
投影面垂直线
垂直于一个投影面的直线。
( ⊥H：铅垂线；⊥V：正垂线；⊥W：侧垂线)
的基本原理、特征，了解三面投影图的
形成及特性，并能够初步运用正投影原
理绘制简单形体的三面投影。
§ 2-1 投 影 法
一、投影的概念：
1．先请同学们绘制一个长方体。
正投影图 轴测投影图 透视投影图
各种图实际上都应用了投影理论
投 影 法
2．投影的三要素
承影面 （投影面）
P
构成投影的三要素： 投影中心 物体 投影面
Z V
e′ α f″ f´ β α F e E e″ W
f´
e
X
O
f″
f
f H Y
侧平行投影特性： （1） （a″b ″）侧平面投影反映直线的实长，且反映α、 β角的实形； （2）直线的V、H投影（ef、e´f´）都垂直ox轴，均小于实 长。
2. 投影面的垂直线
Z V a′ (c′) b′ C A X c H a(b) d Y D O d′ c″ W a″ (d″) b″ ●侧垂线
V
W
§ 2-4
点的投影
一、点的三面投影（立体图）
点是构成立体的最小几何元素。
Z
V a′ A X aX a H Y O aZ a〞 W
展开
Z V a′ aZ a〞 W X aX
O
a H YH aY YW
aY
a
— 点A的水平投影
a′— 点A的正面投影
a〞— 点A的侧面投影
一、点的三面投影（投影图）
展开后点的三面投影:
V V
由此可见，两面投影基本上就可以将形体表达清楚了。但对于复 杂的形体仅两面投影也不够，还需再加一个投影面。
3.三面投影图
在水平投影面“H”和正立投影面“V”的基础上，再 增加一个与H面和V面都垂直的投影面，称之为侧立投影， Z 用“W”表示。
V
X
O
W
H
由于物体的三面投影图能反映物体三个侧面的形状、大小，因 此根据物体的三面投影图可以唯一地确定该物体的形状。
Y
A、B为H面重影点， a在上、b在下，记为 a(b)。 A、B为W面重影点， a″在左、b″在右，记 为 a″(b″)。
a(b)
d
Y Y H H
§ 2-5
直线的投影
Z
c′
Z
d′
c″(d″)
c′ b′ a′
d′
c″(d″)
b′ a′
b″
a″
D C
b″ a″
B
A
d
X
c d b a
O
YW
X
c a
b
Y
立体图
3.一般位置直线
Z
b′ a′
X O
b′
b″ a″
a′ a″
a b
b″
a
b
Y
Y
立体上的一般 位置直线
——直线与H面的倾角 ——直线与V面的倾角 ——直线与W面的倾角
一般线的投影和倾角
一般位置直线的投影：
Z
b′ a′
O
b′ b″ a″
X
b″ a″
O
YW
a′
a
b
Y
a
b
YH
从直观图中分 析投影长、实长、 倾角之间有何联系？
§ 2-2
正投影的特性
正投影具有以下特性： 1.同素性 2.从属性 3.平行性 4.定比性 5.积聚性 6.显实性
1.同素性
空间点用大 写字母表示
点的投影用小 写字母表示
点的投影仍然是点， 直线的投影一般仍是直线。
2.从属性
若点在直线上，则该点的投影一定在 该直线的投影上。
即C在AB上，则c在ab上。
3.平行性
空间两条直线平行，则两平行直线的 投影一般仍平行。
AB∥CD=ab∥cd
4.定比性
点分直线所成的比例，等于点的投影分直线的投影所成的 比例。
AC/BC = ac/bc
5.积聚性
当直线平行于投射方向 时，直线的投 影为点；当平面平行于投射方向时，其投 影为直线。这一性质称为积聚性。
6.显实性（全等性）
2004年2月
综上所述：正投影具有度量性好这一优 点，因此在工程中，无论建筑图样还是机 械图样多数采用平行投影法中的正投影法 绘制，所以在今后课程中将主要介绍正投 影法的相关知识。如不加特殊说明，凡是 所说的投影都是指正投影。 然而，正投影直观性很差，这给我们 初学者带来了读图困难。因此，空间想象 力的建立将是我们今后学习的重点。
三面投影图的特性
长对正、高平齐、宽相等。
Z
侧面投影反映物 体的宽和高 上
W
V
上 左 下
右 高平齐 后
正面投影反映 物体的长和高
X
前 下
O
长对正 后 水平投 影反映 物体的 长和宽 左
H
YW
右
前
YH
宽相等
三面投影图的绘制
边框大小不限
Z Z
V
W
X
O
YW
X
O
YW
45°
45°
H
边框不需画出
YH
YH
例题：习题集5页2-2 （1）根据物体的立体图画出三面投影图（尺寸由立体图中量取） 。
X
c′ O c
c″ YW
a
H
投影面上的点
YH
立体图
投影图
三、两点的相对位置和重影点
1．点与点的相对位置 指空间点之间的左右、前后、上下的位置关系。
▪ H投影反映左右、前后关系；
▪ V投影反映左右、上下关系； ▪ W投影反映前后、上下关系。
左 下 上 右 后 下 上 前
见右图：
▪ A点在 S点之左、后、下方； ▪ B点在A点之右、前方； B点在S点之前、下方； 点与 CA 点的相 ▪AC 点在 点的正右方！ 对位置如何？
Y百度文库
二、 三面投影图的特性
OX轴对应的尺寸表示物体的长； OY轴对应的尺寸表示物体的宽； OZ轴对应的尺寸表示物体的高
V
正面投影反映 物体的长和高
Z
上 上 右 下 后 左
H
O
侧面投影反映 物体的宽和高
左
X
后 下
W 前
右
前
Y
水平投影反映 物体的长和宽
三面投影图的展开
将三面投影展开 使空间物体的 投影展开在同一平 面上。既空间的三 维物体用二维平面 来表示。
O
Z
b′ b″ a″ c″
X
b″ c″ a″
O YW
c′ a′
a
c
b
Y
a
c b
YH
【例3—3】 点K在侧平线AB上,已知点K的正面投影k′,求k。(教材21页） a′ k′ b′
X
a′ k′ b′
O
X O
a′ k′ b′
当线段平行于投影面H 时，其投影长 度反映线段的实长；当平面图形平行于投 影面H 时，其投影反映平面图形的实形。
§ 2-3 三面投影图的形成及特性
1.单面投影图
单面投影不能唯一 确定物体的形状。
物体在水 平面上的投影 为水平投影
平行于地面的投 影面为水平投影面， 用“H”表示
2. 两面投影图
在水平投影面的基础上再增加一个与之垂直的投 影面，称为正立投影面，用“V”表示。
正平线
Z b' Υ a' α a″ X a´ α α b″ V b´ Υ B b″ W a″ b Y
A
Υ O
a
b
a
H
正平行投影特性： （1）直线的正面投影反映直线的实长，且反映α、Υ角的实 形； （2）直线的H投影（ab）平行ox轴，W投影（a″b ″）平 行oz轴,均小于实长。
侧平线
e′
e″ β
投影图
二、点的投影与直角坐标的关系
【例3—2】 空间点的坐标A（10，5，20）、B（20，0，5）、 C（ 0, 10 ,0，），求作三点的立体图和三面投影图。
Z
V
空间一般点
a′ b′ X b a
Z a〞 b″
a′ A(10,5,20) a″ B(20,0,5) b′ b b″ W O c′ C(0,10,0) c c″ Y 投影轴上的点
左
前 后 右
三、两点的相对位置和重影点
请分析下图中A、B、C、D的相对位置，并标出重影点的投影。
A、C为V面重影点， a在前、c在后，记为 a′(c′)。
Z Z V
a′ (c′) C D b′ A
d′
a′ c″
(c′)
d′
c″
a″(d″
a″(d″)
W
b′
X
B
c
O
b″
X
投影图
c
O
b″
YW
H
a(b)
d