数学---江苏省泰州中学2016-2017学年高一上学期期末考试试题

江苏省泰州中学2016-2017学年高一上学期期末考试
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.函数y =
的定义域为 ．
2.函数cos 43y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为 ． 3.已知函数()2,0
,0x x f x x x ⎧>=⎨≤⎩
，()()11f f +- ．
4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫
⎪⎝⎭
，则()2f = ． 5.把函数sin y x =的图象向左平移π
6
个单位长度，所得到的图象的函数表达式为 ．
6.12
34log 9+= ．
7.函数sin cos y x x =+的单调递增区间为 ．
8.若函数()sin πy x ϕ=+过点1,16⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()0f = ．
9.若,a b 的夹角为0
60，1a = ，2b = ，则a b += ．
10.在ABC ∆ 中，D 为边BC 上一点，且AD BC ⊥，若1AD =，2BD =，3CD =，则
BAC ∠的度数为 ．
11.若1
tan tan θθ
+
=sin 2θ= ． 12.若锐角,αβ满足22cos cos 1αβ+=，则cos
2
αβ
+= ．
13.若方程2
0x a a --=有四个不同的实根，则实数a 的取值范围为 ．
14.已知函数()31f x x x =++，若对任意的x ，都有()
()2
2f x a f ax ++>，则实数a 的
取值范围是 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合{}
216x A x =≥，{}
2log B x x a =≥ . （1）当1a =时，求A B ；
（2）若A 是B 的子集，求实数a 的取值范围.
16.已知向量()1,2a x =-
，()1,2b x =+ .
（1）若//a b
，求x 的值；
（2）当[]0,2x ∈时，求(
)
a a
b ⋅-
的取值范围.
17.如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO 为滑道，OBA ∠为直角，
20OB =米，设rad AOB θ∠=，一个小朋友从点A 沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t 秒，已知小朋友下滑的长度s 与2
t 和sin θ的积成正比，当π
6
θ=时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米.
（1）求s 关于时间t 的函数的表达式；
（2）请确定θ的值，使小朋友从点A 滑到O 所需的时间最短.
18.已知函数())
cos cos f x x
x x =+，R x ∈.
（1）求函数()f x 的最大值； （2）若3
24f θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，R θ∈，求π3f θ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
19.如图，在ABC ∆中，2BF FC = ，AM MF FN ==
.
（1）用AB ，AC
表示AF ；
（2）若AB AC ⊥ ，AB = ，求证：AN BC ⊥
；
（3）若1BM BC MF ⋅== ，求BA BN ⋅
的值.
20.已知函数()22f x x x a =-+-，R x ∈. （1）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值；
（2）当1x =-时，函数()f x 在取得最大值，求实数a 的取值范围. （3）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、填空题
1.[)1,+∞
2.
π
2 3.1 4.18
5.sin 6y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
6. 4
7.()3π2π,2πZ 4k k k ⎡⎤
-
∈⎢⎥⎣
⎦
10.0
135
12.2
13.()1,+∞ 14.04a << 二、解答题
15.解：（1）当1a =时，由216x
≥得4x ≥，所以{}
4A x x =≥， 由2log 1x ≥得2x ≥，所以{}
2A x x =≥， 所以{}
4A B x x =≥ ； （2）{
}{
}2log 2
a
B x x a x x =≥=≥，
因为A 是B 的子集，所以24a
≤，
所以实数a 的取值范围2a ≤.
16.解：（1）因为//a b
，所以()()2112x x -+=⨯， 解得0x =或1x =，
（2）因为()1,2a x =-
，()1,2b x =+ ，所以(),a b x x -=-- ， 所以()
()()2
2392324a a b x x x x x x ⎛
⎫⋅-=-+--=-=-- ⎪⎝
⎭ ，
因为[]0,2x ∈，所以()
a a
b ⋅- 的取值范围9,04⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
17.解：（1）由题意，设2sin ,0s kt t θ=>，
2π
102sin
6
k ∴=⨯ ，
5k ∴= ，
25sin ,0s t t θ∴=> ；
（2）20
cos OA θ
=
， 220
5sin cos t θθ
∴
= ，
t ∴=
=
， ∴当π
4
θ=
时，时间t 最短. 18.解：（1）
())
21cos 2cos cos cos cos 222
x
f x x
x x x x x x +=+=+=
+ π1sin 262x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭ ，
∴当ππ(Z)6x k k =+∈时，()max 13122
f x =+
=； （2）324f θ⎛⎫=
⎪
⎝⎭
，π13sin 624θ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，即π1sin 64θ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭ ， 2π5ππππsin 2sin 212sin 36326f θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2
171248
⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭ .
19.解：因为2BF FC =
,所以()
2AF AB AC AF -=- ,
所以1233
AF AB AC =+ ,
（2）因为AB AC ⊥ ，所以0AB AC ⋅=
，即(
)(
)
0AF FB AF FC +⋅+=
，
即22
20AF AF FC FC -⋅-= ,又因为AB = ,
所以()
()
2
2
2AF FB
AF FC +=+ ，即22280AF FC AF FC --⋅= .
所以0AF FC ⋅= ，所以AN BC ⊥ ,
（3）因为AM MF FN == ,所以2AM MN =
,
即()
2BM BA BN BM -=-
，因此2133
BM BA BN =+ ,
同理1233BF BA BN =+ ,又2BF FC =
,所以31212332
BC BA BN BA BN ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ,
因为1BM BC ⋅= ,所以2111332BA BN BA BN ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
即()
22256BA BN BA BN ++⋅=
①
又因为1MF = ,AM MF FN ==
，所以3AN = ，所以()
2
9BN BA
-= ,
即2229BN BA BN BA +-⋅=
②
由①②得4
3
BA BN ⋅=- .
20.解：（1）任取R x ∈，则()()f x f x -=恒成立， 即()2
2
22x x a x x a --+--=-+-恒成立，
x a x a ∴-=+恒成立，两边平方得：222222x ax a x ax a -+=++，
0a ∴= ；
（2）()2
222,22,x x a x a
f x x x a x a
⎧-+-≥⎪=⎨--+<⎪⎩ ，因为函数()y f x =在1x =-时取得最大值，
当1a ≥时，必须()()1f f a -≥，即2
1222a a a a +≥-+-，即()2
10a +≥，
所以1a ≥适合题意；
当11a -<<时，必须()()11f f -≥，即1212a a +≥-，即0a ≥， 所以01a ≤<适合题意；
当1a ≤-时，因为()()11f f -<，不合题意，
综上，实数a 的取值范围是[)0,+∞.
（3）()2222,22,x x a x a f x x x a x a
⎧-+-≥⎪
=⎨--+<⎪⎩，
()()21241248a a ∆=---=- ，()()()2
2241248a a ∆=---=+，
当10∆=时，12a =，此时函数()2
2121,2
1
21,2x x x f x x x x ⎧-+->⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩ 有三个零点1
，1-
当20∆=时，12a =-，此时函数()2
2121,2
1
21,2
x x x f x x x x ⎧-++≥-⎪⎪=⎨⎪---<-⎪⎩
有三个零点1,1-；
当120,0∆>∆>时，即1122
a -
<<时，方程2
220x x a -+-=
的两根为1x =， 方程2
220x x a --+=
的两根为1x =-，
因为11a -<-<
，所以1a ≥
且1a -≥，解得0a = ，
或者1a <
且1a -<，此时无解， 综上得1
2
a =±或0.。