非线性方程的行波解

Sine-Gordon 方程的行波解

摘要：本文利用行波变化法求解了(2+1)维Sine-Gordon 方程的行波解, 得到了很好的结果, 并对其解进行了简要的讨论.

关键词： Sine-Gordon 方程,行波变换,行波解

Sine-Gordon 方程是物理学中的一个非常重要的模型方程，也是一类非常普遍的具有物理特性的非线性演化方程之一，在固体物理、非线性光学、量子理论等方面都有广泛的应用。

许多研究人员对此方程的解析解做了大量的研究. 如,Drazin 和Johnson 用分裂算符法[1]

求

解了该方程的解析解；刘等,张等和刘等利用Jacobi 椭圆展开法[2,3,4,5]

得到了该方程的周期波解. Parkes 和Duffyl 利用双曲正切函数法[6]找到了该方程的孤波解. 张等人通过求解得到了该方程的精确行波解[7]

Sine-Gordon 方程的形式如下

0sin 2

0202022=+∇-∂∂u f c t

u (1)

其中

0022

2222

,f c ,y

x ∂∂+∂∂=∇为常数

对方程(1)做如下行波变换

()ξu u =, ct ly Rx -+=ξ

(2)

得到

()

22

222222222,ξ

ξd u d l R u d u d c t u +=∇=∂∂ (3)

将式(3)带入式(1)得

0sin )]([20222

2

20

2

=++-u f d u

d l R c c ξ

(4)

下面我们分0)]([22202>+-l R c c 和0)]([2

2

202<+-l R c c 两种情况来讨论Sine-Gordon 方程的解.

(一)、当0)]([2

2

2

02

>+-l R c c 时

0sin 2

2

2=+u m d u d ξ

(5)

其中

)

(2

2202

2

02

l R c c f m +-= (6)

方程(5)的形式同无阻尼的单摆运动方程, 将其化成下列微分方程组,

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==u m d ξ

dv

v d ξ

du

sin 2

(7)

再将其化为

v

u m du dv sin 2-= (8)

将其积分可得

()H u m v =-+cos 12

122

(9)

其中H 为积分常数, 并注意2

sin

21cos 2

u

u -=, 则上式可化为 H u m d du 22sin 4222

=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ξ (10)

令

222k m H =

(11)

则方程(10)可化为

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2sin 42222

u k m d du ξ (12)

在1202

2

<≡

H

k 的情况下, 可求得 ()[]k m ksn u

,2sin 0ξξ-±=,⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=2

2m H

k (13)

这就是0)]([222

02>+-l R c c 时, 正弦Sine-Gordon 方程的周期解, 其中H 为积分常数.

0000ct ly Rx -+=ξ

(14)

当0→k （即0→H ）时

()0sin 2

sin

ξξ-±=m k u

,()ππ<<-u (15)

此解为线性波解

当1→k （即2

2m H →）时

()()[]00tanh tanh 2

sin

ξξξξ-±=-±=m m u

(16)

利用双曲正切函数定义

x

x x

x e

e e x --+-=e tanh (17)

很容易得到

x x e x tanh 1tanh 1-+=

, x

x e x

tanh 1tanh 1+-=-

(18)

再利用正弦函数和正切函数的万能公式

2122sin 2x tg x tg

x +=

, 2

1222

x tg x

tg

tgx -= (19)

式(18)和式(19)代入式(16)可得

4

141442144212sin 12sin 12

2

)

(0u

tg u

tg u tg u tg u tg u

tg u u e m -+=+-++=-+=

-±ξξ ⎪⎭

⎫

⎝⎛<<-

444ππu (20) 再化简可得

()

)4

4(0π

ξξ+=-±u tg e

m

(21) ][4)(10ξξπ-±-+-=m e tg u

(22)

式(22)为Sine-Gordon 方程的孤立子解.

取参数0ξ=0, m=0.8, R=l=1.0, c=3.0, t 分别取0.0, 1.0, 2.0, 3.0做出下面的图1, 图2, 图3, 图4. 从下面的四个演化图我们可以看出随着时间的增大扭结波在向右传播.

图1

图2