吉林一中高三数学系列复习资料 第四单元

第四单元 三角函数
第一节 三角函数的定义、同角三角函数关系式及诱导公式
一 高考考点：
1．三角函数的定义；
２．各个象限内三角函数值的符号；
３．利用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简、证明； ４．利用诱导公式化简三角函数式． 二 强化训练 一、 选择题
１．若角βα,的终边相同，则βα-的终边在（ ）上．
Ａ．x 轴的正半轴 Ｂ．y 轴的正半轴 Ｃ．x 轴的负半轴 Ｄ．y 轴的负半轴 ２．下列四个命题中正确的是（ ）
Ａ．第一象限角必是锐角 Ｂ．锐角必是第一象限角
Ｃ．终边相同的角必相等 Ｄ．第二象限的角必大于第一象限的角 3．第二象限角θ的终边上有一点P ，r OP =||，则点P 的坐标为（ ）
Ａ．)sin ,cos (θθr r Ｂ．))sin(),cos((θπθπ--r r Ｃ．)sin ,cos (θθr r -Ｄ．)sin ,(cos θθ 4. 已知tan θ 与的两根，则是方程022cot 2
=+-m x x θθsin ＝（ ） Ａ. 22± Ｂ. 2
2
C.23
D.23-
5． 若
==-+θθθθθ
θcos sin ,2cos sin cos sin 则（ ）
A. 43
B. 103
C. 103-
D. 10
3
±
6．如果cos31,则sin 239tan149a ==（ ）
2
2
11()
(()
()a a A B C D a
a
--
7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则（ ） A ．0x π≤≤ B ．
74
4
x ππ≤≤
C ．
54
4
x ππ≤≤
D ．
32
2
x π
π≤≤
8．若∈<
<=+απ
αααα则),2
0(tan cos sin （ ）
A ．)6
,
0(π
B ．)4
,6(
π
π C ．)3
,4(
π
π D ．)2
,3(
π
π 9．若x x x sin 32,2
0与则π
<<的大小关系
（ ）
A ．x x sin 32>
B ．x x sin 32<
C ．x x sin 32=
D ．与x 的取值有关
10．已知集合{cos sin ,02},{tan sin },则E F E F θθθθπθθθ=<≤≤=<为区间
（ ）
A (
,)2π
π B 3(,)44ππ C 3(,)2ππ D 35(,)44
ππ
二．填空题：
11．在
720-到
720之间与1050-终边相同的角的集合是 ．
12．若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是 ；若角α与β 的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是 ；
13．不查表求值_____28sin 36tan 45tan 54tan 62sin 2
2
=++
14．
=-)1200sin( ＿＿＿＿＿＿ 三、解答题
15 已知角α的终边经过点)0(),2,(>>-m n mn n m P ，问α是第几象限的角，并求α的四个三角函数值． 16． （1）已知5
3
cos -
=θ，求.tan sin θθ， （２）已知α
α
αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简
．
（３）设.cos sin ),cos sin 的值求，（θθπθθθ33
05
1-<<=+
第二节 三角函数化简求值及证明
一 高考考点：
1．两角和与差的三角函数公式 2．二倍角公式
3．利用和差倍角公式求值、化简、证明. 二 强化训练 一、 选择题
1．下列等式正确的是 （ ） A
ααsin 22cos 1=- B αα
cos 22cos 1=+ C
x x x sin 12cos 21sin 223+=-+ D x
x x cos 1sin 2tan -= 2．化简cos4︒0＋cos6︒0＋cos8︒0＋cos16︒0后的结果是（ ） A 0 B
21 C 21＋2cos2︒0 D －2
1
3．
753015sin sin sin 的值等于（ ）
A
32 B 83 C 81 D 4
1
4．cos 2
(
2A －87π)－cos 2
(2
A ＋87π)化简为（ ）
A 2sinA
B －2sinA
C －22sinA
D 2
2
sinA
5．化简θ
+θ+θ
-θ+2cos 2sin 12cos 2sin 1可得（ ）
A tan θ
B cot θ
C tan 2θ
D 2cot θ
6．设 14cos 14sin +=a ，
16cos 16sin +=b ，2
6
=
c ，则c b a ,,的大小关系为（ ） A c b a << B b c a << C c a b << D a c b << 7．对于任何18︒0<α<36︒0，cos
2
α
的值是（ ） A
2cos 1α+ B 2cos 1α- C －2cos 1α+ D －2
cos 1α
- 8．若θ是一个锐角，且sin
2
θ
＝x x 21-，那么tan θ等于（ ）
A x
B 12
-x C 1
1
+-x x D x x 12-
9．已知cos α＝－21
,sin β＝－23, α∈(2π, π), β∈(2
3π, 2π)，则sin(α＋β)的
值为（A ）
A
23 B －1 C －23 D －2
1
10．设α≠2π
k , (Z k ∈), T ＝α
αααcos sin --cot tan ，则T 为（ ）
A 正值
B 非负值
C 负值
D 可正可负 二．填空题：
11．︒-20sin 1＝ 12．sin ︒15＋cos ︒15＝
13．已知0<α<π,化简
=+-++α
α
α
ααcos )cos )(sin
cos sin (22221
14．求值：（1+tan210
）(1+tan220
)(1+tan230
)(1+tan240
)=
三、解答题
15 已知sin(α＋β)＝
21,sin(α－β)＝3
1
，求βαcot tan ⋅的值。

16 已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．
第三节 三角函数的图象与性质
一 高考考点：
1．正弦，余弦，正切函数的图象和性质；
２．根据三角函数解析式研究函数的性质（单调性，奇偶性，周期性及求最值） ３．根据三角函数的图象归纳出三角函数的性质．
４．函数)sin(ϕω+=x A y 的图象及性质，能根据图象及代数条件求)sin(ϕω+=x A y 的解析式．
５．解三角函数不等式和三角函数方程． 二 强化训练 一、 选择题
1．函数y ＝sin(2x ＋
2
5π
)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－2π B.x ＝－4π C.x ＝8
π
D.x ＝45π
2．已知函数tan =y x ω 在（-2π，2
π
）内是减函数，则 （ ）
A 0 < ω ≤ 1
B -1 ≤ ω < 0
C ω≥ 1
D ω≤ -1
3．在下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）
A y ＝sin2x
B y ＝cos 2x
C y ＝sin2x ＋cos2x
D y ＝x
tg 1x tg 12
2+- 4.已知函数sin()cos(),12
12
y x x π
π
=-
-
则下列判断正确的是（ ）
A 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12
π B 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(
,0)12
π
C 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)6
π
D 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6
π
5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）
A ．周期函数，最小正周期为
3
π
B ．周期函数，最小正周期为3
2π
C ．周期函数，最小正周期为π2
D ．非周期函数
6．（理科）设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（ ） A ．sinx
B ．－sinx
C ．cos x
D ．－cosx
7．函数x x y 2
4
cos sin +=的最小正周期为 （ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．π D ．2π
8．函数()4sin 4f x x x =-的最小正周期是（ ）
A
4π B 2
π
C π
D 2π 9．已知f (x )＝a sin 3
x ＋b 3x cos 3
x ＋4 (a , b ∈R ),且f (lglog 310)＝5, 则f (lglg3)的值是（ ）
A 3
B －3
C －5
D 随a, b 的变化而变化 10．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） A 0 B 4π C 2
π
D π 二．填空题：
11当x ∈(0, 2π)时，函数y ＝x sin ＋tgx -的定义域是 ． 12．函数)32
1sin(2π
+
=x y 的振幅是 ，
周期是 ，相位是 ，初相是 ． 13．将函数+=x y 2cos(4π)的图象沿x 轴向左平移4π
个单位得到曲线C 1,又C 1与C 2关于原点
对称，则C 2对应的解析式是 14．关于函数()4sin(2)()3
f x x x R π
=+
∈，有下列命题：
①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写为4cos(2)6
y x π
=-；
③()y f x =的图象关于点(,0)6
π
-
对称；
④()y f x =的图象关于直线6
x π
=-
对称。

其中正确的命题的序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题
15 求下列函数的单调减区间 (1) )33cos(π
-
=x y (2))24
sin(x y -=π
． 16 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8
π
=x ．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；
（Ⅲ）（理科）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图像不相切。

第一节 参考答案：
ABAAB BCCDA
11．{690,330,30,390}--
12. 360,(21)180,(21)180,;k k k k Z αβαβαβ+=⋅-=+⋅+=+⋅∈
13. 2 14. 2
3-
15 解：,02,0,0><-∴>>mn n m m n
又α 的终边经过点)2,(mn n m P -，∴α是第二象限角．
,2,mn y n m x =-= ∴n m r +=． ∴n m mn r y +==
2sin α，n
m n m r x +-==αcos ， n m mn x y -==
2tan α，mn
mn n m mn n m y x 2)(2cot -=-==α. 16． 解：（1）∵5
3
cos -
=θ<0,∴θ为第二、三象限角，
当θ为第二象限角时，4sin 4sin ;tan 5cos 3
θθθθ===
==-．
当θ为第三象限角时，4
sin 4
sin ;
tan 5
cos 3
θθθθ===-=
=． （２）)
sin )(sin ()
sin )(sin ()sin )(sin ()sin )(sin (αααααααα-+---
-+++=
11111111原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222ααααα
ααα--
+=----+=
0cos <∴αα是第三象限角，
αα
α
ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+=
∴原式 （注意象限、符号）．
（３）2
1(sin cos )12sin cos 12sin cos 25θθθθθθ+=+∴+=，
24即2sin cos 25
θθ=-
22449
(sin cos )12sin cos 12525
θθθθ∴-=-=+
=
， 又
0,sin cos 0sin 0,cos 0θπθθθθ<<<∴>< ，7
sin cos 5
θθ∴-=
∴3371291
sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)525125
θθθθθθ-=-+=-=
第二节 参考答案：
CBCCA BCBAA 11．︒-︒10sin 10cos 12.
2
6
13. -αcos 14. 4 15 解：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝21, sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β＝3
1
∴ 解得sin αcos β＝125, cos αsin β＝12
1
, 两式相除得tan α·cot β＝5.
16 解法一 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.)sin(cos sin sin sin 0=+-+B A B A B A
所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B
因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A =
由),,0(π∈A 知.4π
=
A 从而π4
3=+C B . 由.0)4
3
(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得
即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即
由此得.125,3,21cos ππ===
C B B 所以,4π=A .12
5,3ππ==C B 解法二：由).22
3sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π
得
由B <0、π<c ，所以.2
2223π
π-=-=C B C B 或
即.2
2232π
π=-=+B C C B 或
由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A
所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A =
由.4),,0(π
π=
∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=
23π
不合要求. 再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .12
5,3π
π==C B
第三节 参考答案：
ABDBB CBAAC 11．
π≤<π
x 2
12. 14;;
233x πππ+ 13. sin(2)4
y x π
=-- 14. ②③
15解：（1）令33
u x π
=-
，则函数33
u x π
=-
为增函数，而函数cos y u =在
[2,2]()k k k Z πππ+∈上为减函数，所以
224232,即,33939
k x k k x k k Z π
ππ
πππππ≤-
≤++≤≤+∈ 所以，函数)33cos(π-=x y 的单调减区间为224[,]()3939k k k Z ππ
ππ++∈．
（2）令24
u x π
=
-，则函数24
u x π
=
-为减函数，而函数sin 在[2,2]22
y x k k π
π
ππ=-
+
为增函数，所以3222即()2
4
2
8
8
k x k k x k k Z π
π
π
π
π
ππππ-≤
-≤+
-
≤≤+
∈ 所以，函数)24
sin(
x y -=π
的单调减区间为3[,]()8
8
k k k Z π
π
ππ-
+
∈． 方法2：也可以将原三角函数化成)42sin(π-
-=x y ，则可求)4
2sin(π
-=x y 的单调递增区间，则有224222πππππ+≤-≤-k x k ，解得8
38π
πππ+≤≤-k x k ．
16 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π 的图像的对称轴，,1)8
2sin(±=+⨯∴ϕπ
.,Z k k ∈+=+∴24ππϕπ .4
3,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).sin(,4
3243π
πϕ-=-=x y 因此
由题意得
.,2
24322
2Z k k x k ∈+≤-
≤-
π
πππ
π
所以函数.],8
5,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-
=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）证明：,2|)4
32cos(2||))432(sin(|||≤-='-='π
πx x y
所以曲线)(x f y =的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线025=+-c y x 的斜率为22
5
>，所以直线025=+-c y x 与函数)4
32sin(π
-=x y 的图像不相切.。