线段的垂直平分线课件

线段的垂直平分线

授课教师:杨婷

一.教学目标

1.知识与技能目标

(1)理解和掌握线段的垂直平分线的定义、性质定理及性质定理的逆定理；

(2)能利用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算。

2.过程与方法目标

(1)利用情景探究线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；

(2)培养学生建模能力，形象思维力，进一步渗透数学思想和方法。

3.情感态度与价值观目标

通过生活实例，让学生感受数学中的对称美，使学生认识到数学来源于生活又服务于生活，培养学生应用数学的意识。

二.教学重点与难点

1.重点:线段垂直平分线的定义、性质定理及性质定理的逆定理；

2.难点:线段垂直平分线的应用。

三.教学方法

多媒体演示法、举例练习

四.教学程序

(一)导入新课

运用剪纸，展示剪纸的一部分，同学们猜一猜老师剪的是何种图形？

将剪纸展开，那么这个剪纸是我们学过的什么图形？

生：(轴对称图形)。

且折痕为这个图形的对称轴。任意选择一对对应点AA’，连接AA’，对称轴记为直线l，那么直线l与线段AA’有怎样的关系呢?

生：(l垂直平分AB)。

符号语言可以表示为：AD=A’D,l⊥AA’

(二)探究新知

垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。即l是线段AA’的垂直平分线。

探究猜想证明图形

在线段AB的垂直

平分线l上任取一

点P，连接PA、PB，线段PA、PB之间有什么关系？PA=PB

作关于直线l的轴反射,由于l

是线段AB的垂直平分线,因此

A点与B点重合.则PA与PB

重合,故PA=PB.

结论线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

A B

C

P

l

符号语言 ∵l ⊥AB ，AC=BC ，点P 为l 上任意一点

∴PA=PB.

如果一点P 到线段AB 两端的距离PA 与PB 相等,那么点P 在线段AB 的垂直平分线上吗？ 点P 在线段AB 的垂直平分线上. (1) 当点P 在线段AB 上时,因为

PA=PB ，所以点P 为线段AB

的中点,故点P 在线段AB 的垂直平分线上; (2) 当点P 在线段AB 外时,PA=PB,△PAB 为等腰三角形,过点P 作PC ⊥AB,垂足为点C,又∵PA=PB ∴AC=BC;PC ⊥AB （三线合一）

故点P 在线段AB 的垂直平分

线上。

结论

线段垂直平分线的性质定理的逆定理: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 符号语言 ∵PA=PB,

∴点P 在线段AB 的垂直平分线上.

(三)典例研析

例1:已知，如图，在△ABC 中，AB ，BC 的垂直平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC.

求证：点O 在AC 的垂直平分线上.

证明 ∵点O 在线段AB 的垂直平分线上，

∴ OA=OB.同理OB=OC. ∴ OA=OC.

∴ 点O 在AC 的垂直平分线.

例2:在三角形ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，AB=8cm ，△ACD 的周长为10cm ，

求△ABC 的周长。

分析：∵△ACD 的周长=AC+CD+AD=10 而AD=BD (垂直平分线的性质)

∴AC+CD+BD=AC+BC=10

∴△ABC 的周长=AC+BC+AB=10+8=18

例3:老师课间听到两位同学对话，小红说:我家距学校500m ，小强说:我家距学校也是500m 呀，可是我们俩家并不在一起啊？你知道学校的位置在哪吗？ 那么怎样做已知线段的垂直平分线呢？

生:先取线段AB 的中点O ,在过点O 作AB 的垂线；

生:用尺规作图法； 生：…

师生共同作图

①分别以线段两端点为圆心，以大于线段AB 一半的长为半径画弧，两弧相交于两点；②过两弧的交点作直线即为线段的垂直平分线。

A B C P O C B A C A E D B B A

(四)课堂训练

1.如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为( )

A.6

B.5

C.4

D.3

2.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE 的度数。

3.若P 是线段AB 的垂直平分线上一点，且PB ＝6 cm ，则PA ＝________cm.

4.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点D ，E ，∠B=30°，∠BAC= 80°，求∠CAE 的度数。

5.已知，如图，点C ，D 是线段AB 外的两点，且AC =BC ，AD=BD ，AB 与CD 相交于点O. 求证：AO=BO.

(五) 课堂小结

畅所欲言：这节课你学到了哪些知识呢？

①垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线

②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

③到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

④…… A B C D E A B C D P 第1题图 第2题图 E D C B A D C B A O