自动控制原理第五章

解：
T
du0 dt
u0
ui
T RC
uo t
取拉氏变换并带入初始条件uo0
1
1 A
Uo (s)
Ts
[U 1
i
(s)
Tuo0 ]
Ts
[ 1
s
2
2
Tuo0 ]
uo (t)
AT 1 2T2
t
eT
A sint cos cost sin
1 2T2
AT 1 2T2
t
eT
A sin(t - arctanT) 1 2T2
(2) 当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环 节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。 以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数 坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可， 从而简化了画图的过程。
(3) 在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统 的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一 定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性 曲线。
暂态分量
稳态分量
uos (t)
A sin t cos cost sin
1 2T2
A sin(t-arctanT) 1 2T2
AgA() sin[t ()]
其中：
A() 1 , 1 2T2
() -arctanT
分别反映RC网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化， 成为幅值比和相位差，且皆为输入正弦信号频率ω的函数。
注意：RC网络的传递函数为：
取s=jω，则有
G(s)
1
T CR
1
1T
CRs 1 Ts 1 s 1 T
G( j) G(s) s j
1
e-jarctanT A()e j ()
1 2T2
可得如下结论：A()和()分别为G(j)的幅值 G(j) 和相角G(j)这一结论非常重要， 它反映了A()和()与数学模型的本质关系,具有普遍性。
A(
)
N
Ai ()
i 1
N
() i ()
系统开环对数幅频特性：
i 1
系统开环频率特性表现 为组成开环系统的诸典型 环节频率特性的合成，而 系统开环对数频率特性则 表现为诸典型环节对数频 率特性叠加这一更为简单 的形式，
本章研究典型环节频率 特性的特点，并在此基础 上，介绍开环频率特性曲 线的绘制方法。
1 [(s s j
j)R(s)G(s)
s j ]
1 cos j sin G( j) 1 cos j sin G( j)
s j 2 j
s j 2 j
设
G( j) a() jb() G( j) e jG( j)
c() jd ()
因为G(s)的分子和分母多项式为实系数，a()和c()是关于的偶次幂实系数多项式， b()和d ()是关于的奇次幂实系数多项式，即a()和c()是关于的偶函数，b()和 d ()是关于的奇函数。
ξ <1 ➢ 二阶微分环节：(s/ωn)2-2 ξ s/ωn+1；式中ωn>0， 0 <
ξ <1
最小相位系统与非最小相位系统
除比例环节外，非最小相位环节和与之对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的 位置，非最小相位环节对应于s右半平面开环零点或极点，而最小相位环节对应于s左半 平面开环零点或极点。
1. 幅相频率特性曲线
对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅 频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。 当频率ω从零变化到无穷时，当频率ω从零变化到无穷时，相应 向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲 线，简称幅相曲线，又称极坐标图。
例：RC电路的幅相频率特性。
A G( j) s j
e j( G( j )) 2j
cs
(t)
A
G(
j)
[e
j (t G(
j ))
e 2j
j (t G (
j ))
]
A G( j) sin(t G( j))
与5-5式相比较，得
A() G( j) () G( j)
上式表明，对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的输入稳态分量仍然 是与输入同频率的谐波函数，而幅度和相位的变化是频率的函数，且与数学 模型相关，为此定义谐波信号输入下，输出响应中，与输入同频率的谐波分 量与谐波输出的幅度之比A(ω)称为幅频特性，相位之差φ(ω)成为相频特性， 并称其指数表达形式为系统的频率特性，即：
最小相位环节 :开环零点、极点位于S平面左半部分 ➢ 比例环节：K ➢ 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0 ➢ 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0 ➢ 积分环节：1/s ➢ 微分环节：s ➢ 振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ξs/ωn+1]；式中ωn>0，
0 < ξ <1 ➢ 二阶微分环节：(s/ωn)2+2 ξ s/ωn+1；式中ωn>0，
存在，可令s=j , 则有
g(t) 1
Gtd
2
2 R( j)
因而
G(
j)
C( R(
j) j)
G(s)
s
j
频率特性的物理意义：稳定系统的频率特性等于输出和输 入的傅氏变换之比，频率特性与微分方程和传递函数一样， 也表征了系统的运动规律，成为系统频域分析的理论依据。
R
ui
C
uo
Uo ( j ) G( j ) 1 1
Ui ( j )
1 RCj 1 Tj
G(jω)=R(ω)+jI(ω) =|G(jω)|∠G(jω) =A(ω)ejφ(ω)
代数式 极坐标式
A() 1 2T 2 1
指数式
∠G(jω)=－arctanTω
j
＝ ∞
0 ＝ 100 ＝ 0 1
0 < ξ <1
例 :G(s) K (1 2s) K (1 2s) 1 1
s(1 0.1s)
s 1 0.1s
比例环节
一阶微分环节
积分环节
惯性环节
非最小相位环节 ：开环零点、极点位于S平面右半 部分
➢ 比例环节：-K ➢ 惯性环节：1/(-Ts+1)，式中T>0 ➢ 一阶微分环节：(-Ts+1)，式中T>0 ➢ 振荡环节：1/[(s/ωn)2-2ξs/ωn+1]；式中ωn>0， 0 <
设有稳定的线性定常系统，其传递函数为
m
G(s)
bi smi
i0 n
ai sni
B(s) A(s)
i0
系统输入信号为谐波信号
r(t) Asin(t )
R(s)
A( cos s sin) s2 2
由于系统稳定，输出相应稳态分量的拉氏变换为
Cs (s)
1 [(s s j
j)R(s)G(s)
s j ]
(4) 若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数 频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递 函数。
3. 对数幅相曲线（Nichols）
对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表 示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称尼柯尔斯曲线。
§ 5.2 典型环节和开环频率特性
§5.2.1 典型环节
N
N
L() 20 lg A() 20 lg Ai () Li ()
i 1
i 1
§5.2.2 典型环节的频率特性
➢ 比例环节
✓ 频率特性 G(jω)=K L
K>1
K=1
0
K<1
0
比例环节的
对数频率特性曲线
✓ 对数幅频特性和对数相频特性分别是：
L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0
⑶ 控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方 面的要求。
⑷ 频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用 于某些非线性控制系统。
§ 5.1 频率特性
iR
ui t
C uo t
§5.1.1 频率特性的基本概念
ui t
0
RC 电路如图所示，ui(t)=Asinwt,初始电压为uo0，
求uo(t)=?
第五章 线性系统的频域分析法
§5.1 频率特性 §5.2 典型环节和开环系统频率特性 §5.3 频率域稳定判据
特点:
⑴ 控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验 方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制 器设计可应用图解法进行，在工程上获得了广泛应用。
⑵ 频率特性物理意义明确。对于一阶和二阶系统，频域 性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统， 可建立近似的对应关系。
G( j) A()e j()
• 上述关于频率特性的定义，即适用于稳定系统，也 适用于不稳定系统。
• 对于稳定系统，系统的频率特性可以通过实验法获 得，即在输入端施加不同频率的正弦信号，然后测 量系统输出的稳态相应，再根据系统的幅值比和相 位差做出系统的频率特性曲线，频率特性也是系统 数学模型的一种表达形式。
频率特性、传递函数、微分方程的关系
s j
传递函数
s d dt
频率特性
系统
微分方程
G( j) G(s) s j
j d
dt
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传
递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映
了系统的固有特性。
例： G(s) 10 s(s 3)
s j
G( j) 10 j( j 3)
线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按 φ(ω) 线性分度，单位是度（°）。由此构成的坐标系称为 半对数坐标系。
ω和lgω的关系表
① ω轴为对数分度， 即采 用相等的距离代表相等的 频率倍增，在伯德图中横 坐标按μ=lgω均匀分度。 ② ω=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，ω =0不可能 在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴 趣的频率范围确定。 ③ 从表中可以看出，ω的数值每变化10倍， 在对数坐标 上lgω相应变化一个单位。 频率变化10倍的一段对数刻度 称为“十倍频程”， 用“dec”表示。
• 对于不稳定系统则不可以通过试验方法来确定，因 为输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳 定极点产生的发散或震荡分量。
线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比
其反变换为
G(s)= C(s) R(s)
g(t) 1 j G(s)estds
2 j j
式中 位于G(s)的收敛域。若系统稳定，则可取零，如果r(t)的傅氏变换
因而
1
G(
j)
b2 c2
() ()
a2 d2
() ()
2
,
G( j) arctan b()c() a()d() a()c() d()b()
G( j) a() jb() G( j) e jG( j) c() jd ()
根据公式5-11
Cs (s)
A G( j) s j
e j( G( j )) 2 j
开环传递函数的典型环节分解可将开环系统表示为若干个典型环节的串联形式
N
G(s)H (s) Gi (s) i 1
设典型环节的频率特性为：
Gi ( j) A(i )e ji ()
则系统开环频率特性为：
N
G( j)H ( j) [
N
j[ i ()] Ai ( )]e i1
i1
则系统开环频率特性为：
➢ 微分环节
➢ 积分环节
G(s) 1 ,G( j ) 1 1
s
j 2
L(ω)=-20lgω φ(ω)=-90o
L
20
0 0.1 1 -20
10
20 dB dec
40 dB dec
两重积分
G( j) 1 ( j)2
0
-90
L
20
lg
1
2
40 lg
-180
G j 180o
对数频率特性曲线
＝ 5
＝ 1
＝3 ＝2
G(
j)
1
1 RCj
1 1 Tj
1 jT 1 (T)2
[ReG( j) 1]2 Im2 G( j) (1)2
2
2
2. 对数频率特性曲线（Bode图）
又称为伯德曲线（伯德图），由对数幅频曲线和对数相 频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。
对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（μ=lgω），单位为 弧度/秒（rad/s），纵坐标按 L() 20lg G( j) 20lg A()
L 20lg G j
40 单位：dB
20
十倍频程 十倍频程 十倍频程
0 0.1
1
10
100
-20
180
90 十倍频程
十倍频程
十倍频程
0 0.1
1
90
180
10
100
半对数坐标纸
对数坐标图的特点
(1) 由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段 频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意 义)，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以 拓宽视野，又便于研究低频段的特性。
§5.1.2 频率特性的图示方法
频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从0到∞变 化时频率响应的幅值、 相位与频率之间关系的一组曲线。
常用频率特性曲线及其坐标系
序号 1
名称 幅相频率特性曲线
图形常用名
极坐标图 奈奎斯特图
坐标系 极坐标
2
对数频率特性曲线
伯德图
半对数坐标
3
对数幅相频率特性曲线 尼柯尔斯图 对数幅相坐标