空间解析几何简介多元函数的基本概念

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例1. 求三个坐标平面方程. 解 显然 xo y 平面上的点都满足方程 z = 0, 而满足方程 z = 0的点都在 xo y 平面上. 由定义4.1知: x oy 平面方程是 z = 0.
yo z 平面方程是 x = 0. 同理 ：
z ox 平面方程是 y = 0.
可以证明 ： 空间任意一个平面的方程为三元一次方程
2 2 2
xຫໍສະໝຸດ Baidu
My
l
这曲面叫做圆柱面.
2 2 2 叫做它的准线, y R xoy 面上的圆 x
这平行于z 轴的直线 l 叫做它的母线.
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平行于定直线并沿定曲线C移动的直线l 形成的轨迹叫做柱面， 定 曲线C叫做柱面的准线， 动直线l 叫做柱面的母线. 只含有x,y 的方程F(x,y)=0, 表示母线平行于z轴的柱面； 如：方程
表示球心在点 M 半径 R 5 的球面. ( 1 , 2 ,0 ), 0
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例4 方程 x y R 表示怎样的曲面? 2 2 2 解 在xoy平面上 x y R 表示一圆.
2 2 2
柱面
z
l
在三维空间中, 凡是通过 xoy 面内圆 2 2 x y2 R 上一点 M (x , y , o) 且平行于 z 轴的直线 l 都在这曲面上, 这曲面可以看作是由平行于z 轴的直线 l 沿xoy面上的圆 x y R 移动而成.
曲面方程的概念 定义6.1.1若曲面 S 与三元方程
z
F ( x ,y ,z ) 0
F ( x , y , z ) 0 ( 1 )
有下述关系： (1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);
S
x
O
y
(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1). 则方程(1)叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程(1)的图形.
y 2 2 px
表示抛物柱面；
x2 y2 方程 2 2 1 表示双曲柱面. a b 方程 z y2 x2表示双曲抛物面，又称鞍面.
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例5 方程 z x y 表示何种曲面?并作图.
2 2
2 2 截曲面 解 用平面 z z x y , c
2 2 截痕是 x y c ,z c .
Q1
Q
P
P1
P2
o
Q2
y
M P PN NM 1
2
2
2 2
x
2 2 2 d M M ( x x ) ( y y ) ( z z ) 12 2 1 2 1 2 1
2 2 2 M (x ,y ,z ),O (0 ,0 ,0 ), d OM x y z
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6.1.3 曲面与方程
坐标面和坐标轴上的点 , 其坐标各有一定的特征
y
Q
y
x 轴上的点, 其坐标为: (x,0,0) y 轴上的点, 其坐标为: (0, y,0) z 轴上的点, 其坐标为: (0,0, z)
(0,0,0) 原点坐标：
xoy 面内的点为： (x, y,0)
(0, y, z) yoz 面内的点为： 面内的点为：(x,0, z) zox
第六章 多元函数微积分
多元函数的概念 二元函数的极限与连续 偏导数与全微分 偏导数的计算 二元函数的极值 二重积分
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§6.1 空间解析几何简介
6.1.1 空间直角坐标系
坐标原点 ：O 坐标轴: 坐标面:
z
o
单位长度
y
右手系 空间直角坐标系
z

x 轴 (横轴), y 轴 (纵轴), z 轴 (竖轴). x xoy 平面; yoz 平面; zox 平面.

三个坐标面把空间分隔成八个部分, 每个部分称为卦限.
V

依次叫做第一至第八卦限.
V
0
V
y
xV
V
2
z
R
设 M 为空间内一点，
点P, Q, R为点 M 在坐标轴上的投影,
z
xo
x
P
M
M ( x ,y ,z ), ( x, y, z) 称为点 M 的坐标.
, y, z). 点 M 记为 M(x
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6.1.2 空间两点间的距离
设 M ( x , y , z ) , M ( x ,y ,z ) 1 1 1 1 2 2 2 2
z
R2
R
R1
M1
M 1 P x2 x1 PN y2 y1 NM 2 z2 z1
N NM d M 1 2 1M 2 M
2 2
2 2
M
2

N
z
xy0 , 当 c 0 时，
只有点O(0,0,0)满足方程. 当 c 0 时， 以 截痕是以点 (0,0, c)为圆心，
0 x 旋转抛物面
y
c 为半径的圆.
当 c 0 时，截面与曲面无交点.
用平面 x a 或 y b截曲面, 截痕是抛物线. 曲面：zox 面上的抛物线 z x 绕 z 轴旋转所得旋转曲面.
Ax By Cz D 0
其中 A, B, C, D 为常数，且 A, B, C 不全为零.
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例2
解
建立球心在点
M ( x ,y , z), 0 0 0 0
z
M0
半径为 R 的球面的方程 设 M (x,y,z) 是球面上的任一点，
R M
M M R 0
2 2 2 即 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
2


称为点
o
p 0 的 邻域.
U ( p , ) {|0| p p p | } 0 0 称为点 p 0 的 去心邻域.
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2.平面区域 ( P , ) E , 设E是平面上一个点集, P 是平面上一点, 若存在 U 称点P为点集E的内点. 若点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点,也有不属于 E 的点, y 称P为E的 边界点. 边界点的全体称为 E 的边界.
o
y
x 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R
2 0 2 0 2 0
2 2 2 2
2 2 2
如果球心在原点，则 x y z R
x 程 y z 2 x 4 y 0 例3 方 表示怎样的曲面? 2 2 2 解 通过配方，原方程可写为: ( x 1 ) ( y 2 ) z 5
2
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§6.2 多元函数的基本概念
6.2.1 邻域与平面区域
1.邻域: 设
p0(x0, y0) 为 xoy 面上一定点, 0,
U ( p , ) { p || pp | } 0 0
p 0
2

( p ,) {( x , y ) |( x x ) ( y y ) }, 即 U 0 0 0