事件的独立性习题课

(3)解法1："两人各射击一次，至少有一个击中目标” 的概率为P(AB)+[P(AB)+P(AB)]=0.64+0.32=0.96.
解法2："两人都未击中目标"的概率是 P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.2 0.2=0.04, 至少有一人击中目标的概率为 1-P(AB)=1-0.04=0.96.
点拨： (1)利用独立事件同时发生的概率求解. (2)恰有3次连续击中包括前3次和后3次连续击中这 两个互斥事件. (3)包括前2次击中，后2次连续不中和只有第二次 击中，其余3次均未击中这两个事件.
解： (1)记事件A表示"甲击中目标"，事件B表示"乙 击中目标"，依题意知事件A和事件B相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为 2 3 1 P(AB)=P(A)P(B)= . 3 4 2
事件 AB 为"既抽到 K 又抽到红牌"，即"抽到红桃K 2 1 或方块K", 故P(AB)= , 从而P(A)P(B)=P(AB), 52 26 因此A与B是相互独立事件。
(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到 K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K， 故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥， 1 1 由于P(A)= 0, P(C) 0, 而 P(AC) 0, 13 13 所以A与C不是相互独立事件.又抽不到K 不一定抽到J, 故A与C并非对立事件。
解：(1)记"他第一次遇到红灯"为事件A,"他第二次 遇到红灯"为事件B,由题意知A与B是相互独立的， 因此，"他两次都遇到红灯"就是事件AB, 根据相互独立事件的概率乘法公式， 得P(AB)=P(A)P(B)=0.6 0.6=0.36. 所以,他两次都遇到红灯的概率是0.36.
(2)解法1： A "他第一次没有遇到红灯"， B "他第二 次没有遇到红灯"，所以 AB="他第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯"， AB="他第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯"， 并且AB与AB是互斥的，
事件的相互独立性
----习题课
1.从一副扑克牌（去掉大、小王）中任抽一张，设 A= " 抽到K"，B="抽到红牌"，C="抽到J"，那么下列 事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(1) A 与B; (2) C 与 A.
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点拨：利用相互独立事件的定义（即P(AB)=P(A)P(B)） 可以判定两个事件是否为相互独立事件，这是用定量 的方法进行分析的，定量计算可以较为准确、果断地 判断两个事件是否相互独立，因此我们必须熟练掌握 这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件 之间的区别，也就是说若两个事件相互独立，则一定 不能互斥（对立）；反之，若两个事件互斥（对立）， 则一定不能相互独立。
解法2：他两次都未遇到红灯的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.4 0.4=0.16. 所以至少有1次遇到红灯的概率是1-0.16=0.84 所以他至少有1次遇到红灯的概率是0.84.
5.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 2 3 和 .假设两人射击是否击中目标之间没有影响， 3 4 每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； (3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终 止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.
解：设乙队连胜四局为事件A，有下列情况： 第一局中乙胜甲(A1 ),其概率为1-0.4=0.6， 第一局中乙胜丙(A 2 ),其概率为0.5， 第一局中乙胜甲(A 3 ),其概率为1-0.4=0.6， 第一局中乙胜丙(A 4 ),其概率为0.5， 因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜 四局的概率为P(A)=P(A1A 2 A 3A 4 )=0.6 2 0.52 =0.09.
(3)"恰有1个人译出密码"可以分为两类，即甲译出 乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥 事件，所以恰有1个人译出密码的概率为： P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) 1 1 1 1 5 = (1 ) (1 ) . 3 4 3 4 12
点拨：(1)利用古典概型公式求解.(2)利用条件概 率公式求解.
解：(1)设x为掷红色骰子所得的点数，y为掷蓝色骰子 所得的点数，对所有可能的事件与(x,y)建立对应关系， 可知： 12 1 10 5 5 P(A)= , P(B)= , P(AB)= . 36 3 36 18 36
n(AB) 5 (2)解法1： P(B | A) . n(A) 12
解：(1)由于事件A为"抽到K",事件B为"抽到红牌"， 故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能 抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是 互斥事件，更不是对立事件。 以下考虑它们是否为相互独立事件： 4 1 抽到K的概率为P(A)= , 52 13 26 1 抽到红牌的概率为P(B)= . 52 2 1 1 1 故P(A)P(B)= , 13 2 26
2.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的 概率都是0.8，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率。
点拨：甲、乙两人分别击中目标为相互独立事件，故 可以根据相互独立事件的概率公式求解。
解：设"甲射击一次，击中目标"为事件A,"乙射击 一次,击中目标"为事件B，则A与B相互独立，"甲、 乙两人都击中目标"是事件AB,"恰有一个击中目标" 是AB或AB，至少有一人击中目标 " "是AB或AB或AB.
解：记"甲独立地译出密码"为事件A,"乙独立地译 1 出密码"为事件B,A与B为相互独立事件，且P(A)= , 3 1 P(B)= . 4
(1)"2个人都译出密码"的概率为：P(AB)=P(A)P(B) 1 1 1 . 3 4 12
(2)"2个人都译不出密码"的概率为：P(AB)=P(A)P(B) 1 1 1 =[1-P(A)][1-P(B)] (1 ) (1 ) . 3 4 2
(3)记事件Bi 表示"乙第i次射击击中目标"(其中i =1,2,3, 4)，并记事件D表示"乙在第4次射击后终止射击", 则D B1 B2 B 3 B 4 B1 B2 B 3 B 4 , 且B1 B2 B 3 B 4与B1 B2 B 3 B 4 是互斥事件，由于B1，B2，B3，B4之间相互独立， 所以Bi与B j (i, j 1, 2,3, 4, 且i j )之间也相互独立. 3 由于 P(Bi )= (i 1, 2,3, 4).故 P( D)= 4 P(B1 B2 B 3 B 4 B1 B2 B 3 B 4 )= P(B1 B2 B 3 B 4 ) P( B1 B2 B 3 B 4 ) = P( B1 ) P( B2 ) P( B 3 ) P( B 4 ) P( B1 ) P( B2 ) P( B 3 ) P( B 4 ) 3 2 1 2 3 1 3 3 ( ) ( ) ( ) . 4 4 4 4 64
(4)"至多1个人译出密码"的对立事件为"2个人都译出 密码"，所以至多1个人译出密码的概率为： 1 1 11 =1-P(AB) 1 P(A)P(B) 1 . 3 4 12
(5)"至少1个人译出密码"的对立事件为"2个人都未 译出密码"，所以至少1个人译出密码的概率为： 2 3 1 =1-P(AB) 1 P(A)P(B) 1 . 3 4 2
因此，他恰有一次遇到红灯的概率是P[(AB) (AB)] =P(AB)+P(AB)=(1-0.6) 0.6+0.6 (1-0.6) 0.48. 所以他至少有1次遇到红灯的概率是 P(AB) P[(A B) (A B)] 0.36 0.48 0.84. 所以他至少有1次遇到红灯的概率是0.84.
5 P(AB) 36 5 解法2： P(B | A) . 1 12 P(A) 3
4.某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个 交通岗，假设他在这两个交通岗外遇到红灯的事件 是相互独立的，并且概率都是0.6，计算： (1)两次都遇到红灯的概率； (2)至少有1次遇到红灯的概率；
点拨：本题考查相互独立事件，互斥(对立)事件概率 的计算方法，以及运用概率知识解决实际问题的能力. 对于"至多""至少"等问题，常常先求其对立事件的 概率。
解题归纳： 求某些事件的概率时，应首先确定事件间的关系， 即两事件是互斥事件或对立事件，还是相互独立 事件，然后再判断事件发生的情况，最后确定是 利用和事件概率公式还是积事件概率公式进行 概率计算.
6.甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出 1 1 密码的概率分别为 和 ，求： 3 4 (1)2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)恰有1个人译出密码的概率； (4)至多1个人译出密码的概率； (5)至少1个人译出密码的概率.
(2)记事件A i 表示"甲第i次射击击中目标"(其中i =1,2,3, 4)，并记"甲4次射击恰有3次连续击中目标"为事件C , 则事件 C A1A 2 A 3 A 4 A1 A 2 A 3A 4 , 且 A1A 2 A 3 A 4与A1 A 2 A 3 A 4 是互斥事件，由于 A1 ， A2 ， A3 ， A 4 之间相互独立， 所以 A i 与 A j (i, j 1, 2,3, 4, 且i j )之间也相互独立. 2 由于P(A1 )=P(A 2 )=P(A 3 )=P(A 4 )= , 3 故P(C)=P( A1A 2 A 3 A 4 A1 A 2 A 3A 4 ) = P(A1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) P(A 4 ) P(A1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) P(A 4 ) 2 3 1 1 2 3 16 ( ) ( ) . 3 3 3 3 81
7.三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙 队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序 是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者 对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者， 第四局是第三局的胜者对第二局的败者，求乙队连 胜四局的概率.
点拨：乙队每局胜利的事件是相互独立的，可由其 公式计算概率.
点拨：我们把"甲独立地译出密码"记为事件A,把 "乙独立地译出密码"记为事件B,显然A,B为相互 独立事件，问题(1)相当于事件A,B,同时发生，即 事件AB.问题(2)相当于事件AB. 问题(3)相当于事件 AB+AB.问题(4)"至多1个人译出密码"的对立事件是 2个人都译出密码(即事件AB).问题(5)"至少1个人 译出密码"的对立事件是2个人都未译出密码(即事件 AB).由于A与B是相互独立事件，故A与B，A与B， A与 B都是相互独立事件，可以用公式计算相关概率.
(1)"两人各射击一次，都击中目标"就是事件AB，又 事件A与B相互独立， P(AB)=P(A)P(B)=0.8 0.8=0.64.
(2)"两人各射击一次，恰有一人击中目标"包括两种情 况：一种是甲击中乙未击中，即AB ，另一种是甲未 击中乙击中，即AB.根据题意， 这两种情况在各射击一次时不可能同时发生， 即事件AB与AB是互斥的， 所求概率为P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8 (1-0.8)+(1-0.8) 0.8 =0.16+0.16=0.32.
解题归纳：在求事件的概率时，有时会遇到求“至 少”或“至多”等事件的概率问题，它们是诸多事 件的和或积，如果从正面考虑这些问题时，求解过 程烦琐。但这些事件的对立事件的概率易求出， 此时，可利用逆向思维，运用“正难则反”的思想 求解。
3.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为"蓝色骰子的点 数为3或6"，事件B为"两颗骰子的点数之和大于8". (1)求 P(A), P(B), P(AB); (2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点 数之和大于8的概率为多少？