11 确定性推理 part5

命题逻辑中的归结原理 谓词逻辑中的归结原理
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鲁滨逊归结原理
鲁滨逊归结原理包括
命题逻辑的归结
谓词逻辑的归结
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命题逻辑中的归结原理
归结式的定义及性质
若P是原子谓词公式，则称P与﹁P为互补文字 设C1和C2是子句集中的任意两个子句，如果C1 中的文字L1与C2中的文字L2互补，那么可从C1 和C2中分别消去L1和L2，并将C1和C2中余下的 部分按析取关系构成一个新的子句C12，则称这 一过程为归结，称C12为C1和C2的归结式，称C1 和C2为C12的亲本子句。
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归结演绎推理
归结演绎推理：
鲁滨逊归结原理把永真性的证明转化为关于不可满足 性的证明。
要证明P→Q永真，只需证明P∧﹁Q不可满足
因为：﹁ (P→Q) ⇔ ﹁(﹁ P∨Q) ⇔ P∧﹁ Q
海伯伦(Herbrand)定理为自动定理证明奠定了理论基础。 鲁滨逊(Robinson)提出的归结原理使机器定理证明成为 现实。
例如：上式消去全称量词后为
(﹁P(x , f(x))∨Q(x , g(x)) ∧(﹁P(x , f(x))∨﹁R(x , g(x))) Step 8：对变元更名，使不同子句中的变元不同名
例如：上式经更名后得到
(﹁P(x , f(x))∨Q(x , g(x)) ∧(﹁P(y , f(y))∨﹁R(y , g(y)))
式子中存在量词(y)及(z)都位于(x)的辖域内，所以需要用 Skolem函数替换，设替换y和z的Skolem函数分别是f(x)和g(x)， 则替换后得到：
(∀x)(﹁P(x , f(x))∨(Q(x , g(x))∧﹁R(x , g(x))))
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子句集及其化简
Step 5：把全称量词全部移到公式的左边
上式中由于只有一个全称量词，而且它位于公式的最左边，所 以这里不需要做任何工作。
如果在公式内部有全称量词，就需要把它们都移到公式的左边。
Step 6：利用等价关系 P ∨(Q∧R) ⇔(P∨Q) ∧ (P∨R) 把公式化为Skolem标准形
Skolem标准形的一般形式为
(∀x1)…(∀xn) M(x1,x2,……,xn)
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子句集及其化简
如下面的谓词公式： (∀x1)…(∀xn) (∃y)P(x1，x2 ,…, xn ,y) 则需要用Skolem函数f(x1，x2 ,…, xn)替换受该存在 量词约束的变元y，然后再消去该存在量词。
例如：继续上面的例子
(∀x)((∃y)﹁P(x，y)∨(∃z)( Q(x，z) ∧﹁R(x，z)))
2.
σ3=σ2°{g(y)/u}={a/z,f(a)/x,g(y)/u}
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归结演绎推理
归结演绎推理
子句集及其化简 鲁滨逊归结原理 用归结反演求取问题的答案 归结反演推理的归结策略
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鲁滨逊归结原理
鲁滨逊归结原理（消解原理）的基本思想 检查子句集S中是否包含空子句。若包含，则S 不可满足；若不包含，就在子句集中选择合适 的子句进行归结，一旦通过归结能推出空子句， 就说明子句集S是不可满足的。 鲁滨逊归结原理包括
如果经归结能得到空子句，根据空子句的不可满 足性，即可得到原子句集S是不可满足的结论。 在命题逻辑中，对不可满足的子句集S，其归结原 理是完备的。即：子句集S是不可满足的，当且仅 当存在一个从S到空子句的归结过程。
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鲁滨逊归结原理
鲁滨逊归结原理包括
命题逻辑的归结
谓词逻辑的归结
归结演绎推理：是一种基于鲁滨逊（Robinson） 归结原理的机器推理技术。
鲁滨逊归结原理亦称为消解原理，是鲁滨逊于1965年在 海伯伦（Herbrand）理论的基础上提出的一种基于逻 辑的“反证法”。 在人工智能中，几乎所有的问题都可以转化为一个定理 证明问题。定理证明的实质，就是要对前提P和结论Q， 证明P→Q永真。 要证明P→Q永真，就是要证明P→Q在任何一个非空的 个体域上都是永真的。这将是非常困难的，甚至是不可 实现的。
Artificial Intelligence (AI)
人工智能Байду номын сангаас
第三章：确定 性推理
主讲：罗林波
Email：lbluo@xidian.edu.cn
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内容提要
第三章：确定性推理
1.推理的基本概念
2.搜索策略
3.自然演绎推理
4.归结演绎推理
5.基于规则的演绎推理
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归结演绎推理
例如：上式经等价变换后为
(∀x)((∃y)﹁P(x，y)∨(∃y)( Q(x，y) ∧﹁R(x，y))
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子句集及其化简
Step 3：重新命名变元，使不同量词约束的变元有不同 的名字
例如：上式经重新命名变换后为
(∀x)((∃y)﹁P(x，y)∨(∃z)( Q(x，z) ∧﹁R(x，z))) Step 4：消去存在量词。消去存在量词时，需要区分以 下两种情况： 1）存在量词不出现在全称量词的辖域内，只要用一 个新的个体常量替换受该存在量词约束的变元，就 可消去该存在量词。 2）存在量词位于一个或者多个全称量词的辖域内
推论2：设C1和C2是子句集S中的两个子句，C12是C1
和C2的归结式，若把C12加入S中得到新的子句集S2， 则S与S2的不可满足性是等价的。即：
S2的不可满足性⇔S的不可满足性 西安电子科技大学
命题逻辑的归结
上述两个推论说明，为证明子句集S的不可满足性， 只要对其中可进行归结得子句进行归结，并把归 结式加入到子句集S中，或者用归结式代替他的亲 本子句，然后对新的子句集证明其不可满足性就 可以了。
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最一般的合一
求取最一般合一的算法：
1. 2. 3. 4.
令k=0,Fk=F, σk=ε。 ε是空代换。 若Fk只含一个表达式，则算法停止，σk就是最一般合一。 找出Fk的差异集Dk。 若Dk中存在元素xk和tk，其中xk是变元，tk是项，且xk不 在tk中出现，则置：
Fk+1=Fk{tk/xk} σK+1=σk°{tk/xk} k=k+1 然后转(2)。若不存在这样的xk和tk则算法停止。
例如，P(x)∨Q(x)，P(x，f(x))∨Q(x，g(x))都是子句。
不含任何文字的子句称为空子句。
由于空子句不含有任何文字，也就不能被任何解释所满足，因 此空子句是永假的，不可满足的。 空子句一般被记为NIL。
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子句集及其化简
子句和子句集 由子句或空子句所构成的集合称为子句集。 在子句集中，子句之间是合取关系 合取范式：C1 ∧C2 ∧C3… ∧Cn 子句集: S= {C1 ,C2 ,C3… ,Cn} 任何谓词公式F都可通过等价关系及推理规 则化为相应的子句集S
5. 算法终止，F的最一般合一不存在
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最一般的合一
例如，设 F={P(a,x,f(g(y))),P(z,f(z),f(u))} 求其最一般合一。
1. 2. 3. 4.
令F0=F, σ0=ε。 F0中有两个表达式，所以σ0不是最一般合一。 差异集：D0={a,z}。代换： {a/z} F1= F0 {a/z}={P(a,x,f(g(y))),P(a,f(a),f(u))} 。 σ1=σ0°{a/z}={a/z} D1={x,f(a)} 。代换： {f(a)/x} F2=F1{f(a)/x}={P(a,f(a),f(g(y))),P(a,f(a),f(u))} 。 σ2=σ1°{f(a)/x}={a/z,f(a)/x} D2={g(y),u} 。代换： {g(y)/u} F3=F2{g(y)/u}={P(a,f(a),f(g(y))),P(a,f(a),f(g(y)))} 。
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谓词逻辑的归结
在谓词逻辑中，由于子句集中的谓词一般都含有变元，因 此不能象命题逻辑那样直接消去互补文字。 例如：设有如下两个子句 C1=P(x)∨Q(x)，C2=﹁P(a)∨R(y)， 由于P(x)和﹁P(a)不同，所以C1和C2无法直接进行归结 因此需要进行合一操作，用最一般的合一
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子句集及其化简
Step 2：利用等价关系把“¬”移到紧靠谓词的位置上
反复使用
– 双重否定率：﹁(﹁P) ⇔ P – 摩根定律： ﹁(P∧Q) ⇔﹁P∨﹁Q ﹁(P∨Q) ⇔﹁P∧﹁Q – 量词转换率：﹁ (∀x)P(x) ⇔ (∃x) ﹁P(x) ﹁ (∃x)P(x) ⇔ (∀x) ﹁ P(x) 使得每个否定符号最多只作用于一个谓词上。
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归结演绎推理
归结演绎推理
子句集及其化简 鲁滨逊归结原理 用归结反演求取问题的答案 归结反演推理的归结策略
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子句集及其化简
子句和子句集
原子谓词公式及其否定统称为文字。
例如: P(x)、Q(x)、﹁ P(x)、 ﹁ Q(x)等都是文字。
任何文字的析取式称为子句。
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子句集及其化简
把谓词公式化成子句集的步骤
Step 1： 利用等价关系消去“→”和“↔” 反复使用如下等价公式：
– P→Q ⇔﹁ P∨Q – P↔Q ⇔ (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)
即可消去谓词公式中的连接词“→”和“↔”。
例如： (∀x)((∀y)P(x,y)→﹁ (∀y)(Q(x,y)→R(x,y))) 经等价变化后为： (∀x)(﹁(∀y)P(x,y)∨﹁ (∀y)(﹁Q(x,y)∨R(x,y)))
C12= NIL
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命题逻辑中的归结原理
例如：设C1 =﹁P ∨ Q ，C2=﹁Q，
解：若先对C1、C2归结，可得到
C12=﹁P
C3=P，求C1、C2、C3的归结式C123。 ﹁P ∨ Q
﹁P
﹁Q P
然后再对C12和C3归结，得到
C123=NIL
NIL
如果改变归结顺序，同样可以得到 ﹁P ∨ Q P 相同的结果，即其归结过程是不唯 一的。 ﹁Q Q 其归结归结过程可用右图来表示， NIL 该树称为归结树。
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命题逻辑中的归结原理
例如：设C1=P∨Q∨R，C2=﹁P∨S，求C1和C2的归
结式C12。 解：这里L1=P，L2=﹁P，通过归结可以得到
C12= Q∨R∨S
例如：设C1=﹁Q，C2=Q，求C1和C2的归结式C12。
解：这里L1=﹁Q，L2=Q，通过归结可以得到
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最一般的合一
定义: 设σ是公式集F的一个合一，如果对任一个 合一θ都存在一个代换λ，使得θ=σ ° λ 则称σ是一个最一般的合一。 通常记为mgu (most general unifer) 最一般的合一是唯一的 差异集：两个公式中相同位置处不同符号的集合。
例如：F1:P(x,y,z), F2:P(x,f(a),h(b)) 则D1={y,f(a)}, D2={z,h(b)}
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命题逻辑的归结
定理：归结式C12是其亲本子句C1和C2的逻辑结论。
推论1：设C1和C2是子句集S中的两个子句，C12是C1
和C2的归结式，若用C12代替C1和C2后得到新的子句 集S1，则由S1的不可满足性可以推出原子句集S的不可 满足性。即： S1的不可满足性⇔S的不可满足性
其中， M(x1,x2,……,xn)是Skolem标准形的母式，它由子句的 合取所构成。
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子句集及其化简
例如：前面的公式化为Skolem标准形后为
(∀x)( (﹁P(x , f(x))∨Q(x , g(x))) ∧(﹁P(x , f(x)) ﹁R(x , g(x))) )
Step 7：消去全称量词。由于母式中的全部变元均受全 称量词的约束，并且全称量词的次序已无关紧要，因此 可以省掉全称量词。
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子句集及其化简
Step 9：消去合取词，就得到子句集。 例如：消去合取词后，上式就变为下述子句集
﹁P(x , f(x))∨Q(x , g(x)) ﹁P(y , f(y))∨﹁R(y , g(y))
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最一般的合一
一个公式集的合一一般来说是不唯一的 例如，设有公式集 F={ P( x, f(y), B), P( x, f(B), B) } 它的一个合一为： s={A/x, B/y} 显然，s不是最简单的一个合一, 最简单的合一： g={B/y} s可以由g°s′ 得到，其中s′ ={A/x}