华师大版-数学-七年级上册--基本方法-角

4.6角

4．与钟面有关的角度计算 时针、分针转动一周都经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动360°12

＝30°，每小时分针转动360°；每分钟时针转动30°60＝0.5°，每分钟分针转动360°60

＝6°. 解这类问题的常用方法是求差法，有时也可直接结合钟表图形来求解．

【例4】 3时22分时，时针与分针的夹角是______度．

解析：3时22分时，分针从0刻度到22分时所转动的角度为6°×22＝132°，时针从0

刻度到3时22分时所转动的角度为30°×⎝⎛⎭

⎫3＋2260＝101°，其度数差为132°－101°＝31°. ∴时针与分针的夹角是31°.

答案： 31

【例5】 如果∠α＝60°，那么∠α的余角的度数是( )．

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120° 解析：由互为余角的定义知，∠α的余角的度数是90°－60°＝30°.

答案：A

5.角的特殊关系的应用

(1)互为余角：两个角的和等于直角，即∠1＋∠2＝90°，∠1＝90°－∠2，∠2＝90°－∠1；

(2)互为补角：两个角的和等于平角，即∠1＋∠2＝180°，∠1＝180°－∠2，∠2＝180°－∠1.

(3)同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．例如：

①∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则∠2＝∠3；

②∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，则∠2＝∠3.

【例6】 如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走50 m 至点B ，乙从A 点出发向南偏西15°方向走80 m 至点C ，则∠BAC 的度数是( )．

A ．85°

B ．160°

C ．125°

D ．105°

解析：点B 在点A 的北偏东70°方向上，所以它的余角即∠BAD ＝90°－70°＝20°，这样

求∠BAC 的度数就转化为求三个角(∠BAD ，∠DAE ，∠EAC )的度数．

答案：C

6．求角的度数

在计算角的度数时常常用到以下知识：

(1)平角的度数是180°；周角的度数是360°；直角的度数是90°.

(2)如图，OC 平分∠AOB ，则

①∠AOC ＝∠BOC ；

②∠AOC ＝12

∠AOB ， 或∠BOC ＝12

∠AOB ； ③∠AOB ＝2∠AOC ，或∠AOB ＝2∠BOC .

(3)互余的两个角的和是90°，互补的两个角的和是180°.

(4)角的和差关系．

如图，∠AOD ＝∠AOE ＋∠EOD ，∠BOE ＝∠DOE ＋∠BOD ，∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝∠BOE －∠BOD .

析规律 求角的度数的关键 求角的度数是同学们在今后经常遇到的问题，解题时，要仔细地寻找题目中的相等关系以及和差关系．

【例7－1】 如图，点O 为直线BD 上一点，∠COA ＝90°，∠COD ＝2∠BOC ，求∠1.

分析：根据条件观察图形可知∠COD 与∠BOC 互补，再根据∠COD ＝2∠BOC ，可求出∠BOC ，又由∠COA ＝90°，可得∠COB 与∠1互余，即可求出∠1.

解：因为点O 为直线BD 上一点，

所以∠COD ＋∠BOC ＝180°，

又因为∠COD ＝2∠BOC ，

所以∠BOC ＝13

×180°＝60°， 所以∠1＝30°.

【例7－2】 如图，点O 在直线AB 上，∠BOC ＝60°，OE ，OD 分别为∠AOC 和∠BOC 的平分线，求∠EOD ，∠COE 的度数．

分析：OE ，OD 分别为∠AOC 和∠BOC 的平分线，所以∠COD ＋∠EOC ＝180°×12

＝90°；由∠BOC ＝60°，可知∠AOC 的度数，进而求出∠COE 的度数．

解：因为OE ，OD 分别为∠AOC 和∠BOC 的平分线，

所以∠EOD ＝∠COE ＋∠COD ＝12∠AOC ＋12∠BOC ＝180°×12

＝90°； 因为∠BOC ＝60°，所以∠AOC ＝120°，

又因为OE 为∠AOC 的平分线，

所以∠COE ＝12

×120°＝60°.